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2025-2026学年四川省成都市外国语学校高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.根据数列，…，该数列的第9项是（　　）
A. B. C. D. 以上均不对
2.某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（　　）
A. 11种 B. 22种 C. 30种 D. 60种
3.双曲线-=1的渐近线方程是（　　）
A. y=±x B. y=±x C. y=±x D. y=±x
4.曲线在点（0，-1）处的切线方程为（　　）
A. x-2y+2=0 B. x-y+1=0 C. x-2y-2=0 D. 2x+y+2=0
5.半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
6.已知数列{an}是等比数列，公比q＞0，前n项和为Sn，满足，且S1+S3=2S2+1，则q=（　　）
A. B. 4 C. D. 2
7.如图，四边形ABCD中，△ABD是边长为2的正三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，现将△ABD沿BD折起，当二面角A-BD-C的平面角大小时，直线AD与BC所成角的余弦值是（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），f（1）=0，当x＜0时，，则不等式（x-1） f（x）＞0的解集为（　　）
A. （-1，0） B. （-1，0）∪（1，+∞）
C. （-∞，-1）∪（0，1） D. （-1，0）∪（0，1）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=（x2-3x+1）ex，则下列说法中正确的是（　　）
A. f（x）在R上有两个极值点 B. f（x）在x=-1处取得最大值
C. f（x）在x=2处取得最小值 D. f（x）在R上有三个不同的零点
10.已知数列{an}中，a1=-7，an+1=an+2，n∈N*，其前n项和为Sn，则（　　）
A. an=2n-9
B. S8=0
C. 当Sn取最小值时，n=3
D. 数列的前n项和为
11.已知函数f（x）=ex-x,g（x）=x-lnx,则下列说法正确的是（　　）
A. g（ex）在（0，+∞）上是增函数
B. x＞1，不等式f（ax）≥f（lnx2）恒成立，则正实数a的最小值为
C. 若f（x）=t有两个零点x1，x2，则x1+x2＞0
D. 若f（x1）=g（x2）=t（t＞2），且x2＞x1＞0，则的最小值为e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设f′（x）是函数f（x）的导函数，若f（x）=ln（2x-1），则f′（1）= .
13.甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有 .（用数字作答）
14.已知椭圆C：的左、右焦点分别是F1和F2，下顶点为点A，直线AF2交椭圆C于点B，△ABF1的内切圆与BF1相切于点P，若，则椭圆的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=（x2-4）（2x-1）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求当x∈[0，2]时，函数f（x）的最值.
16.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AC=BC，AC⊥BC，D，E分别是A1B1，CC1的中点.
（Ⅰ）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
（Ⅱ）求直线BD与平面A1BE所成角的正弦值.
17.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足，b1=-1，.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式bn；
（Ⅲ）若，求数列{cn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
已知抛物线C的顶点为原点，焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：y=-1的距离为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设P（t,-1）为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点.
（i）证明：直线AB的方程为过定点；
（ii）求△PAB面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数存在极值点x0.
（1）当b=0时，讨论f（x）的单调性；
（2）求b的取值范围并证明f（x）≥f（x0）；
（3）若且，求a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】2
13.【答案】36．
14.【答案】
15.【答案】单调递增区间为（-∞，-1）和，单调递减区间为 最小值为，最大值为4
16.【答案】证明见解答 直线BD与平面A1BE所成角的正弦值为
17.【答案】；
；
．
18.【答案】x2=4y （i）证明：P（t，-1）为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
设切点A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线，
求导得切线斜率，
切线PA方程为：，
同理切线PB方程为：，因为P（t，-1），
所以，，
因为A（x1，y1），B（x2，y2）都满足方程，
所以直线AB的方程为：tx-2y+2=0，
当x=0时，y=1，故对任意的t，直线AB恒过定点（0，1）；（ii）4
19.【答案】在上单调递增，在上单调递减；
（-1，+∞）；
证明：由题意，，，
记g（x）=exlna（xlna-1）-b，g′（x）=exlna xln2a＞0，
所以g（x）在（0，+∞）单调递增，g（x）＞g =-1- b．
若b≤-1，则g（x）＞g ≥0，f′（x）＞0，f（x）无极值点，不符合题意，
若b＞-1，则g ＜0，取，则g（x1）＞0，
所以 x0∈（0，x1），使得g（x0）=0，即f′（x0）=0，
且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．
所以f（x）≥f（x0）．
综上，b的取值范围为（-1，+∞），并且有f（x）≥f（x0）；

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