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2025-2026学年重庆市渝北区两江育才中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.从混有5件次品的20件产品中依次抽取2件，在第1次抽到次品的条件下，第2次抽到次品的概率为（　　）
A. B. C. D.
2.若（x-2y）n的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则n=（　　）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
3.设离散型随机变量X的分布列如表，若离散型随机变量Y满足Y=2X+2，则下列结果错误的是（　　）
X 0 1
P 0.6 m
A. E（X）=0.4 B. D（X）=0.24 C. E（Y）=2.8 D. D（Y）=0.48
4.调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到χ2=3.689，依据小概率值α=0.1的独立性检验，下列说法正确的是（附：x0.1=2.706）（　　）
A. 婴儿90%在白天出生
B. 婴儿性别与出生时间无关联
C. 有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联
D. 婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1
5.某中学第一党支部拟选4名党员到A，B，C三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种
A. 12 B. 24 C. 36 D. 72
6.某医院有现场和在线两种挂号方式，其中现场挂号的比例为20%，通过调查问卷，得知80%的现场挂号患者对医院的服务满意，90%的在线挂号患者对医院的服务满意，随机调查该医院的一名患者，他对医院的服务满意的概率为（　　）
A. 0.88 B. 0.86 C. 0.85 D. 0.84
7.下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，…，6，用X表示小球落入格子的号码，则（　　）
A. B.
C. D.
8.给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（　　）
A. 320
B. 630
C. 720
D. 1560
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的是（　　）
A. 若变量x与y的线性回归方程为，则x与y负相关
B. 残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型的回归效果越好
C. 样本相关系数r的绝对值越大，成对数据的线性相关程度越强
D. 回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点
10.若3男3女排成一排，则下列说法正确的是（　　）
A. 共计有360种不同的排法
B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为240种
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为240种
D. 男女生相间排法总数为72种
11.若，则（　　）
A. n=5 B. a4=130
C. a1+a2+…+a6=28 D. a1+2a2+3a3+…+6a6=17
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），若P（X≤0）=0.2，则P（X≤4）= .
13.（x-2y+1）6展开式中含x2y3项的系数为 .
14.10个名额随机分给10个班级，允许有的班级没分到名额，设X表示分到名额的班级个数，若X=k的概率最大，则k= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，某校从高三年级选取了200名学生进行问卷调查，得到如下的2×2列联表.已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步学生的概率为0.6.
性别 跑步
喜欢跑步 不喜欢跑步 总计
男生 80
女生 20
总计
（1）完成上面表格，判断能否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关并说明理由？
（2）从上述不喜欢跑步的学生中用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及数学期望.
附：，其中n=a+b+c+d.
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AB=2PD=2.
（1）求证：AC⊥平面PBD；
（2）求二面角D-PB-C的余弦值.
17.
18.(本小题17分)
已知椭圆C：过点（0，1）和点，A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上的两个动点，且分别位于x轴上、下两侧，△APQ和△BPQ的面积分别为S1，S2，记.
（1）求C的方程；
（2）若λ=2，证明：直线PQ过x轴上定点；
（3）若λ＞1，设直线AP和直线BQ的斜率分别为k1，k2，求的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=e2x-2x-1.
（1）求函数f（x）的极值；
（2）设g（x）=mx-lnx+1， x1∈R， x2∈（0，+∞），x2f（x1）+g（x2）＞0恒成立，求实数m取值范围；
（3）若f（x1）=f（x2）（x1＜x2），求证：x1+x2＜0.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】0.8
13.【答案】-480
14.【答案】5
15.【答案】列联表为：
性别 跑步
喜欢跑步 不喜欢跑步 总计
男生 80 60 140
女生 60 20 60
总计 120 80 200
没有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关 则X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望为
16.【答案】PD⊥面ABCD，又AC 面ABCD，故PD⊥AC，
易知AC⊥BD，
又PD∩BD=D，PD，BD 面PBD，
故可以证得AC⊥面PBD
17.【答案】

18.【答案】 证明：由（1）知A（-2，0），B（2，0），
设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ与x轴的交点为M（x0，0），
则，
解得，
即直线PQ过定点 （0，1）
19.【答案】极小值为0，无极大值 证明：若f（x1）=f（x2），由（1）可知x1，x2在极值点的两侧，则有x1＜0＜x2，
x1+x2＜0等价于x1＜-x2，考虑m（x）=f（x）-f（-x），
则，
等号在e2x=e-2x，即x=0时取得，所以m（x）单调递增，
因为x2＞0，则m（x2）=f（x2）-f（-x2）＞m（0）=f（0）-f（0）=0，
即f（x2）＞f（-x2），又因为f（x1）=f（x2），即得f（x1）＞f（-x2），
因为x1＜0，-x2＜0且由（1）可知f（x）在（-∞，0）单调递减，
所以x1＜-x2，原不等式得证
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