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2025-2026学年江苏省泰州中学附属初级中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，一定是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列调查中，适合采用普查的是（　　）
A. 调查某品牌打印机的使用寿命 B. 调查某书稿中的科学性错误
C. 调查中国公民垃圾分类的意识 D. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量
3.下列式子从左到右变形一定正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.若四边形两条对角线互相垂直，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（　　）
A. 菱形 B. 矩形 C. 梯形 D. 平行四边形
5.如图，在 ABCD中，AB=5，BC=8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，则EF的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3
6.菱形ABCD的周长为32cm，则菱形ABCD的面积的最大值为（　　）
A. 16cm2 B. 32cm2 C. 64cm2 D. 128cm2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.今天的日期是：20260423，在这串数字中，0出现的频率是 .
8.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9.为了解某市八年级学生的身高情况，从该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是 .
10.在 ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠B= ．
11.已知如图在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60°，若AB=AD=2，则等腰梯形ABCD的周长为 .
12.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：= .
13.若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 .
14.如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB=14，BC=10，则EF的长为 .
15.如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF=α，则∠BEF的度数是 .（用含α的代数式表示）
16.如图，在△PMN中，PM=PN=5，点A为MN上一动点（不与点M、N重合），作AB∥PN，AC∥PM分别交PM、PN于点B、C，作△ABC关于直线BC的对称△A′BC，连接AA′，则△AA'C周长的最大值 .
三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
解方程：
（1）；
（2）.
18.(本小题8分)
老师所留的作业中有这样一个分式化简题：，下面是小明的化简过程，请仔细阅读，并解答下面的问题.
解：
=……①
=……②
=……③
（1）第一步的依据是______；
（2）从第______步开始出现错误（填序号）；
（3）请写出正确的化简过程.
19.(本小题8分)
某校计划组织八年级学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个.根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图.
（1）补全图1中的条形统计图；
（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校八年级共有1000名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数.
20.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（-3，2），B（-1，4），C（0，2）.
（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1.
（2）将△ABC作一次平移运动，若点A的对应点A2的坐标为（-5，-2），画出平移后对应的△A2B2C2，求线段BC在平移过程中扫过的面积；
（3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是______.
21.(本小题8分)
为改善生态环境，防止水土流失.某村计划在荒坡上种树480棵，由于志愿者支援，实际每小时种树的棵数是原计划的倍，结果提前2小时完成任务，原计划每小时种树多少棵？
22.(本小题10分)
如图，把一张矩形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合.
（1）连接CE，求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BC为9，AB为3，求EF的长.
23.(本小题10分)
如图，在矩形ABCD中，
（1）仅用圆规在AD上求作一点P，使得BP平分∠APC；
（2）在（1）的条件下，连接CP，若AB=1，∠DCP=45°，求AP的长.
24.(本小题12分)
综合与实践
正方形中十字模型
如图1，在正方形ABCD中，如果点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M，那么AE与BF相等吗？证明你的结论.
（1）对于上面的问题，我是这样思考的：（2）反思1：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？
对此可以做进一步探究：
如图2，在正方形ABCD中，如果点E、F、G、H分别在BC、AD、AB、CD上，且EF⊥GH，垂足为M，那么EF与GH相等吗？证明你的结论.
（3）反思2：对于两个端点分别在正方形ABCD一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？
对此可以做进一步探究：
如图3，正方形ABCD的边长为4cm,P为CD边上一点，CP=1，点Q是AP的中点，过点Q作直线分别与AD、BC相交于点M、N.若MN=AP，求AM的长.
任务：
（1）完成笔记中“我是这样思考的”证明过程；
（2）回答笔记中反思1的探究问题，并证明；
（3）回答笔记中反思2的探究问题，并写出过程.
25.(本小题12分)
【问题情境】如图，正方形ABCD中，将线段BA绕点A逆时针旋转得到线段B'A旋转角为α（0°＜α＜90°）.BB′的延长线交CD于点F，连接DB'、CB'，作AG⊥BB'交BC于点E，垂足为点G.
【实践探究】
（1）如图1，当点B′落在AC上时，
①∠DB′F的度数=______；
②若BE=1，则AB=______；（直接写出答案）
（2）当点B′在运动过程中，试证明∠DB′F的大小总保持不变；
【拓展提升】
（3）如图3，当点F为CD中点时，连接CG，试判断△B'CG的形状，并说明理由.
26.(本小题14分)
如图，在矩形ABCD中，点P、Q分别是AD、BC上一点，AP=a（a是常数），BP平分∠APQ.
（1）求证：PQ=BQ；
（2）若a=2
①当AB=6，AD=10，判断点Q与点C是否重合？说明理由；
②连接DQ，当四边形BPDQ是菱形时，求AB长；
（3）设AB=m,BQ=n,是否存在常数a,使得无论m、n取何值，恒成立？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】0.25．
8.【答案】x≥3
9.【答案】1500
10.【答案】120°
11.【答案】10．
12.【答案】c-a
13.【答案】m＜-3且m≠-5．
14.【答案】2
15.【答案】90°-2α．
16.【答案】10．
17.【答案】x=6 无解
18.【答案】（1）分式的基本性质；
（2）②；
（3）原式=
=
=
=．
19.【答案】解：（1）本次调查的学生人数为：20÷20%=100（人），
最喜欢去A地的人数为：100-20-40-25-5=10（人），
补全条形统计图如下：
（2）研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数为：360°×=144°；
（3）1000×=250（名），
答：估计最喜欢去D地研学的学生人数约250名．
20.【答案】如图，△A1B1C1即为所求 如图，△A2B2C2即为所求，线段BC在平移过程中扫过的面积=四边形BCC2B2的面积=8； （2，4）或（-4，4）或（-2，0）
21.【答案】解：设原计划每小时种树x棵，
根据题意得：=+2，
解得x=60，
经检验，x=60是原方程的解，也符合题意，
∴x=60，
答：原计划每小时种树60棵．
22.【答案】连接AC交EF于点O，连接CE，如图所示：
由折叠性质得：EF是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AF=CF，OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△OAE≌△OCF（ASA），
∴AE=CF，
∴AE=CE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形
23.【答案】如图，点P即为所求； -1
24.【答案】AE=BF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，AE⊥BF，
∴∠BAE+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF EF=GH；证明：如图1，作BP∥GH交CD于P，作AN∥EF交CB于N，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ANEF四边形BPHG都是平行四边形，
∴AN=EF，BP=GH，
由（1）知，AN=BP，
∴EF=GH AM的长为cm或cm
25.【答案】45°;+1 在四边形ABB'D中，∠BAD=90°，AB=AB'=AD，
∴∠ABB'=∠AB'B，∠AB'D=∠ADB，
∴∠AB'B+∠AB'D=+
=
=
=135°，
∴∠DB'F=180°-135°=45°，
故∠DB′F的大小总保持不变，恒为45° △B'CG为等腰直角三角形．
理由：∵AG⊥BB'，
∴∠AGB=90°，
∴∠BAE=∠CBF=90°-∠ABF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE=CF，
∵F为CD中点，
∴E为BC中点，
∴BE=CE，
连接EB'，
∵AB=AB'，AG⊥BB'，
∴AE垂直平分BB'，BG=B'G，
∴EB=EB'=EC，
∴∠EBB'=∠EB'B，∠EB'C=∠ECB，
∴∠BB'C=∠EB'B+∠EB'C=×180°=90°，
∴∠EBG=∠FCB'=90°-∠BCB'，
∵BE=CF，∠BGE=∠FB'C=90°，
∴△BGE≌△CB'F（AAS），
∴BG=CB'=B'G，
∴△B'CG为等腰直角三角形
26.【答案】∵四边形ABCD是矩形，
∴A∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
∵BP平分∠APQ．
∴∠APB=∠BPQ，
∴∠BPQ=∠PBQ，
∴PQ=BQ ①点Q与点C重合；②2 存在，a=
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