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2025-2026学年甘肃省兰州市第二十二中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值.下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（　　）
A. a（x+y）=ax+ay B. x2-4x+4=x（x-4）+4
C. 10x2-5x=5x（2x-1） D. （x-1）2=x2-1
3.设a＞b,则下列不等关系正确的是（　　）
A. a+5＜b+5 B. a-2＜b-2 C. -3a＞-3b D.
4.我国古建筑墙上采用的八角形空窗的轮廓是一个正八边形.正八边形的一个外角是（　　）
A. 45° B. 60° C. 110° D. 135°
5.在平面直角坐标系中，将点（10，25）向左平移5个单位长度后得到的点的坐标为（　　）
A. （5，25） B. （15，25） C. （10，30） D. （10，20）
6.如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）
A. 2a+b B. 4a+b C. a+2b D. a+3b
7.若关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞1，则下列各点可能在一次函数y=kx+b图象上的是（　　）
A. （2，0） B. （0，1） C. （-1，-4） D. （-1，2）
8.如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）
A. 45°
B. 55°
C. 60°
D. 75°
9.若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（　　）
A. a≤-1 B. -1≤a＜0 C. a＜-1 D. -1＜a≤0
10.如图，在平面直角坐标系中，点A（1，2），线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，则点B坐标为（　　）
A. （-1，2）
B. （-2，1）
C.
D. （-1，-2）
11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D是斜边上任意一点，将点D绕点C逆时针旋转60°得到点E，则线段DE长度的最小值为（　　）
A.
B.
C.
D. 3
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.因式分解：2a2-8a+8= ．
13.如图，已知A，B两点的坐标分别为A（-3，1），B（-1，3），将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C（1，2），则点B的对应点D的坐标是 .
14.北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色及时长，一辆小车行驶在限速60km/h的路段上，当距离下一路口900m时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为60s,此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度x km/h的取值范围是 .
15.如图，两面镜子AB，BC的夹角为∠α，当光线经过镜子后反射，∠1=∠2，∠3=∠4.若∠α=68°，则∠β的度数是 .
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
解不等式组：，并将不等式组的解集在数轴上表示出来.
17.(本小题5分)
先因式分解，然后计算求值.
已知，ab=8，求-2a2b2+ab3+a3b的值.
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE交AD于点F，且BF=AC，DF=DC.求证：AD=BD.
19.(本小题6分)
在学习了等腰三角形之后，勤思学习小组进行了拓展性研究.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，∠DEB=90°，用尺规作图完成基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为点F，他们发现DE=DF.请按照题目要求完成尺规作图并根据以下证明思路完成证明过程（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）.
（1）用尺规作图完成基本作图：过点D作AC的垂线，垂足为点F.
（2）证明：∵AB=AC，
∴①______，
∵点D是BC的中点，
∴②______，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°，∠DEB=90°，
∴③______，
∴△DEB≌△DFC，
∴DE=DF.
完成上述证明后，勤思学习小组用下列命题来表述这个结论，请帮他们完成下列命题：等腰三角形底边上的中点④______.
20.(本小题7分)
《七律 长征》生动地描述红军长征这一伟大历史事件，展现了红军战士英勇无畏的精神和革命乐观主义态度.将这首诗放入如图直角坐标系内，如万的对应坐标为（1，2）.请回答下方问题：
（1）“铁”和“喜”的坐标依次是______；
（2）请直接写出（7，-2），（-3，2），（-5，-1）依次对应的文字；
（3）若将平面直角坐标系向右平移3个单位，向上平移1个单位，诗句不动.则坐标系平移后“雪”字的新坐标为______.
21.(本小题7分)
【背景调查】龙门石窟始建于北魏孝文帝时期，现有2345座佛龛（kan），十万余尊造像，2800余块碑刻题记，是世界上建造时间最长，造像最多，规模最大的石窟，与敦煌莫高窟，大同云冈石窟并称为中国三大石窟.
【数学情境】龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A，B两种文创产品.如表是店里的一张进货单（墨迹覆盖了部分数据）：
序号 规格 单位 数量 单价 金额
1 A种 件 50 ■ 4000
2 B种 件 50 ■ 3250
店员说：“这次进货，B种文创产品的单价比A种文创产品的单价少15元，A，B种文创产品的数量相同”.
【建立模型】请你解决下列问题.
（1）求A，B两种文创产品的进货单价各是多少元.
（2）已知A种文创产品每件的售价为100元，B种文创产品每件的售价为80元.根据市场需求，该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两种文创产品共100件进行销售.问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大？最大利润是多少元？
22.(本小题8分)
阅读材料，解决问题
【材料1】将形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）.
如，x2+4x+3中，常数项3=1×3，一次项系数4=1+3，∴x2+4x+3=（x+1）（x+3）；同理，x2-4x-12中，常数项“-12”=-6×2，一次项系数“-4”=-6+2，
∴x2-4x-12=（x-6）（x+2）.
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1
解：把x+y看成一个整体，令x+y=A，则
原式=A2+2A+1=（A+1）2，再将A=x+y重新代入，得：原式=（x+y+1）2.
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法.请你解答下列问题：
（1）根据材料1，因式分解x2-6x+8；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：
①分解因式：（x-y）2+4（x-y）+3；
②分解因式：m（m+2）（m2+2m-2）-3.
23.(本小题8分)
如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AD=13，DE=5，CF=3，求AB的长.
24.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，过点（1，3）的直线l1：y1=kx+b和直线l2：y2=x交于点A（m,2），与x轴交于点B.
（1）求直线l1的解析式；
（2）当y1＞y2时，自变量x的取值范围是______；
（3）求△ABO的面积.
25.(本小题8分)
如图①，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁，直线L1，L2是街道两边沿，现规划修建一座过街人行天桥.
（1）天桥应建在何处才能使由单位A经过天桥走到单位B的路程最短？在图②中作出此时桥PQ的位置（注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直）.
（2）根据图①中提供的数据计算由单位A经过天桥走到单位B的最短路线的长（单位：m）.
26.(本小题9分)
在全等三角形的学习中，同学们发现全等不仅是图形间的重要关系，更是推导线段相等、角相等的重要理论依据.基于这一知识基础，数学综合实践课上，老师组织同学们开展探究活动，进一步挖掘全等三角形在几何问题解决中的应用价值，深化对知识的理解与灵活运用.
（1）【观察猜想】
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.
①∠AEB的度数为______；
②线段AD、BE之间的数量关系为______.
（2）【拓展探究】
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请写出线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.
（3）【解决问题】
在Rt△ABP中，∠APB=90°，BP=4，AP=6，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，请求出点C到AP的距离.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】A
12.【答案】2（a-2）2
13.【答案】（3，4）
14.【答案】54≤x≤60
15.【答案】44°．
16.【答案】1＜x＜5，．
17.【答案】2．
18.【答案】在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
在Rt△BDF和Rt△ADC中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴AD=BD．
19.【答案】见解析；
∠ B=∠C，DB=DC，∠DEB=∠DFC，到两边的距离相等．
20.【答案】（5，-1）和（-6，-2） 颜，远，水 （-4，-3）
21.【答案】A种文创产品的单价为80元，B种文创产品的单价为65元 购进A种文创产品60件、B种文创产品40件才能使销售完这批货后获得的利润最大，最大利润是1800元
22.【答案】解：（1）x2-6x+8=（x-2）（x-4）；
（2）①把x-y看成一个整体，令x-y=A，则
原式=A2+4A+3=（A+1）（A+3），
再将A=x-y重新代入，得：原式=（x-y+1）（x-y+3）；
②m（m+2）（m2+2m-2）-3
=（m2+2m）（m2+2m-2）-3
=（m2+2m）2-2（m2+2m）-3，
把m2+2m看成一个整体，令m2+2m=A，则
原式=A2-2A-3=（A-3）（A+1），
再将A=m2+2m重新代入，得：原式=（m2+2m-3）（m2+2m+1）=（m+3）（m-1）（m+1）2．
23.【答案】∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC 9
24.【答案】y1=-x+4 x＜2 4
25.【答案】天桥建在PQ处能使由A经过天桥走到B的路程最短，如图， 由A经过天桥走到B的最短路线的长85米
26.【答案】120°;AD=BE （2）AE=BE+2CM；理由如下；由（1）知BE=AD，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴CD=CE，CM⊥DE．
∴DM=ME=CM=DE，即DE=2CM．
∴AE= AD+DE=BE+2CM 或
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