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2025-2026学年辽宁省沈阳市沈北新区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算正确的是（　　）
A. a3 a2=a6 B. （a2）3=a5 C. （2a）3=8a3 D. a6÷a3=a2
2.下列成语所描述的事件是必然事件的是（　　）
A. 水中捞月 B. 守株待兔 C. 水涨船高 D. 画饼充饥
3.在△ABC中，若a=5，b=4，则c的值不可能为（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4.如图，直线道路l沿线有A，B，C三个水站（每家水站饮用水价格相同），三个水站到小区M分别有MB，MA，MC三条公路，住在小区M的居民总是选择最近的路线MA去A水站购买桶装水，其中蕴含的数学道理是（　　）
A. 两点确定一条直线
B. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两点之间，线段最短
D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
5.在一个不透明的口袋里，装有除颜色外都相同的红球、白球共15个.通过多次摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在60%，估计袋中红球个数是（　　）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
6.从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（　　）
A. （a-b）2=a2-2ab+b2 B. （a+b）（a-b）=a2-b2
C. b（a-b）=ab-b2 D. a（a-b）=a2-ab
7.如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面EF与槽底HG平行，一束激光AC从空气斜射入水，入射光线AB在水面EF的点B处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与HG交于点D.若∠ABE=39°，∠BDH=72°，光线射入水中偏折的角度（∠CBD）为（　　）
A. 39°
B. 108°
C. 33°
D. 35°
8.如图，点E、C为线段BF上的点，满足△ABC≌△DEF，若BC=12，EC=8，则CF=（　　）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
9.下列说法正确的有（　　）个.
①对顶角相等；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③若∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，则∠2=∠3，应用的几何原理是“同角的余角相等”.
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
10.已知AB⊥AC，∠B=60°，以C为圆心，以CP为半径画弧，交AC于点Q，以A为圆心，以CP为半径画弧，交AC于点M，以M为圆心，以PQ为半径画弧，交前弧于点N，连接AN并延长至点E，若CF平分∠ACD，∠CAF=2∠EAF，则∠AFC的度数为（　　）
A. 85° B. 90° C. 95° D. 60°
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.草履虫的身体很小，呈圆筒形，全身由一个细胞组成，体长大约只有0.0000798米.把0.0000798用科学记数法表示为 .
12.如图，△AOB≌△COD，若∠C=44°，∠B=26°，则∠AOB= .
13.李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是 .
14.若2x=5，2y=3，则22x-y的值为______．
15.如图，在△ABC中，∠A=70°，点D、E分别为AC、AB边上的点，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD、CE相交于点O，若∠ACB=2∠F，则∠BDF= .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题16分)
计算：
（1）1502-148×152；（简便运算）
（2）；
（3）；
（4）（x+y+2）（x+y-2）.
17.(本小题5分)
先化简，再求值：[（3a+b）（b-a）-（a-b）2]÷2a,其中a=-2，b=3.
18.(本小题8分)
请把下面证明过程补充完整：
如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边AC，BC，AB上的点，点G是△ABC外一点，连接DG、CG、DE、EF.
已知∠1=∠B，∠2=∠A，AC∥EF，∠G=90°，求证：DE⊥DG.
证明：∵∠1=∠B，
∴AB∥①______（内错角相等，两直线平行），
∵AC∥EF，
∴∠3+②______=180°（③______），
∵∠2=∠A，
∴∠3+④______=180°（等量代换），
∴AB∥⑤______（⑥______），
∴⑦______∥CG（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴⑧______=∠G=90°（两直线平行，内错角相等），
∴DG⊥DE（垂直的定义）.
19.(本小题8分)
“七星山的传说，辽河的水.”小华和小颖决定周末去辽河边的七星山春游，小华想先去七星山爬山，小颖想先去辽河渡口观水，最后两个人设计了一个转盘游戏，谁胜听谁的，如图是小华和小颖共同设计的自由转动的等分转盘，上面写有8个自然数.（指针指向分界线时重新转动）
（1）求转动一次转盘，转得的数是3的倍数的概率；
（2）若转动一次转盘，转得的数是奇数，则小华胜；转得的数是偶数，则小颖胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由.
20.(本小题8分)
在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是线段BC上一点.
（1）如图1，若AE平分∠BAC，∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数.
（2）如图2，若AE是△ABC的中线，AD=3，△ABE的面积为5，求BC的长.
21.(本小题9分)
如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD始终都平行于地面EF，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，支架OE、OF可调节，扶手AB与靠背DM交于点N，且在调节过程中，始终保持∠AOE=∠BNM.
（1）请判断前支架OE与靠背DM的位置关系，并说明理由；
（2）小明测量发现，当爸爸躺下时，发现若OE平分∠AOF，∠AOF=5∠BOF，求此时靠背DM与后支架OF的夹角∠MDF的度数.
22.(本小题9分)
综合与探究
【阅读理解】
某数学学习小组在研究数形结合思想方法时，准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中，甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y、宽为x的长方形，并用甲种纸片一张、乙种纸片一张、丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形.
（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______.
（2）利用（1）中的等式解决问题：若x+y=9，xy=10，则x2+y2的值为______.
【拓展探究】
该学习小组在研究过程中还发现一些较为复杂的式子也能用类似方法求解.
例：若x满足（30-x）（x-20）=10，求（30-x）2+（x-20）2的值.
解：设a=30-x,b=x-20，
则（30-x）（x-20）=ab=10，a+b=（30-x）+（x-20）=30-20=10.
∴（30-x）2+（x-20）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=102-2×10=80.
（3）如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL=3，CK=8.沿着LD，KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为39，设AB=x,求长方形NDMH的面积.
23.(本小题12分)
已知，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，点H为AB上一点，点M在直线EF右侧，且在直线AB和CD之间，连接MF、MH，FE平分∠CFM.
（1）如图1，∠BEF=70°，连接EM并延长交CD于点G，若∠EGC=30°，HM∥EF，求∠EMH的度数；
（2）如图2，∠BHM的角平分线HK所在直线交EF于点N，探究∠HMF与∠HNF之间的数量关系为______；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接HF，若∠HMF-∠HNF=45°，∠EFH+45°=3∠NHE，判断HM是否平分∠FHB？请说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】7.98×10-5．
12.【答案】110°．
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】125°．
16.【答案】4 -2 a7b3c3 4 x2+2xy+y2-4
17.【答案】2b-2a；10．
18.【答案】CG；∠A；两直线平行，同旁内角互补；∠2；DE；同旁内角互补，两直线平行；DE；∠EDG．
19.【答案】 这个游戏对双方公平，
∵转动一次转盘，转得的数共有8种等可能的结果，其中，转得的数是奇数的结果是自然数1，3，5，7，共4种结果；转得的数是偶数的结果是自然数2，4，6，8，共4种结果，
∴小华胜的概率为，小颖胜的概率为，
∴两人获胜的概率相等，
∴这个游戏对双方公平
20.【答案】10°
21.【答案】OE∥DM，理由如下：
∵∠AOE=∠BNM，∠BNM=∠OND，
∴∠AOE=∠BNM，
∴OE∥DM 105°
22.【答案】（x+y）2-2xy=x2+y2 61 7
23.【答案】40° ∠ HMF+2∠HNF=180° HM平分∠FHB，理由如下：
由（2）知：∠HMF+2∠HNF=180°，
∵∵∠HMF-∠HNF=45°，
∴∠HNF=∠HMF-45°，
∴∠HMF+2∠HNF=∠HMF+2（∠HMF-45°）=180°，
∴∠HMF=90°，
∴∠HNF=∠HMF-45°=45°，
由（2）可知：∠HNF=∠CFN-∠BHK，
∴∠CFN-∠BHK=45°，
∵∠EFH+45°=3∠NHE=3∠BHK，
∴3∠BHK-∠EFH=45°，
∴∠CFN-∠BHK=3∠BHK-∠EFH，
∴∠CFN+∠EFH=4∠BHK=2∠BHM，
∴∠CFH=2∠BHM，
∵AB∥CD，
∴∠BHF=∠CFH，
∴∠BHF=2∠BHM，
∴HM平分∠FHB
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