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山东淄博市桓台县2025--2026学年下学期七年级期中测试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列事件中是必然事件的是（）
A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定会中奖
2.下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列命题中，是真命题的是（　　）
A. 相等的角是对顶角 B. 两直线平行，同旁内角相等
C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 若a2=b2，则a=b
4.用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ）
A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得y＝2x-5
5.现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.端午节是我国四大传统节日之一, 吃粽子是端午节的传统习俗, 端午节这天小颖的妈妈买了2只红豆粽和4只红枣粽, 这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同.小颖从中随意选一个, 她选到红豆粽的概率是( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（　　）
A.
B.
C.
D.
9.某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ）
A. B. C. D.
10.甲骑电动车，乙骑自行车从红莲湖公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，甲、乙两人相距时，乙出发时间为（ ）
A. 或 B. C. D. 或或
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
12.把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式 ．
13.在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有 个．
14.写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件 ．
15.已知关于x,y的二元一次方程ax-y-3-a=0（a≠0）.当-4≤y≤-1时，x的负整数值恰好有2个，则a的取值范围为 .
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
16.解方程组：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
本市中考体育项目，排球已经列入考核范围，为了应对广大考生的需求，桓台某文体店打算从某厂采购一批排球．为保证商品质量，该文体店对该厂排球的质量进行随机抽查，结果如下表所示：
随机抽取的排球数
优等品数
抽到优等品的频率
(1) 上表中的 ， ；
(2) 根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是 ；（精确到）
(3) 该文体店共需采购大约多少个排球，才能使本次采购中有个优等品？
18.(本小题9分)
如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积．
19.(本小题9分)
如图，已知，
(1) 求证：
(2) 若平分，于点，，求的度数
20.(本小题9分)
某一次函数图象表格如下：
(1) 试求出这个一次函数的解析式；
(2) 函数的图象与的图像交于点，且分别交轴，轴于、两点，，求方程组的解．
21.(本小题9分)
为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下．
(1) 若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2) 运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
22.(本小题9分)
【问题情境】
某数学小组在某套中考模拟题中发现一道涉及平行的题目，如下：
如图，四边形中，．若，，，分别是，，，上的点，且．求证：．
【探究感悟】
小组成员对该题进行了一题多解的探究，请在以下同学的思路基础上完成辅助线的绘制并证明．
(1) 子皓同学做法如下：连接．
(2) 馨予同学做法如下：延长并与的延长线交于点．
(3) 【深入探究】
正宇同学认为，以上两位同学采用的解题方法本质上相同，即构造一条与两条平行直线相交的直线．他在这个发现的基础上，对以下常见题目进行一题多解的尝试：
如图，，，分别是，上的点，证明：．(使用两种构造辅助线的方法)
23.(本小题12分)
【发现与提出问题】
在学习方程和一次函数之后，某数学小组认识到，一次函数是将二元一次方程与直线建立联系的“桥梁”，“数”与“形”产生了美妙联系．在此基础上，小组成员对用点的坐标表示两点间距离产生了兴趣．具体探究过程如下：
(1) ①若，，则两点间距离 ；②若，，则两点间距离 ；
(2) 【分析与解决问题】
小组成员发现，对于平面内任意两点，当不与坐标轴平行时，两点间的距离无法用横坐标或纵坐标的差来表示．为解决此问题，小组又做了以下探究：
①若，，则两点间距离 ；
②通过（3）的探究，小组发现，可以用构建直角三角形的方法解决任意两点间距离的问题．若平面直角坐标系内任意两点，则两点间的距离 ；
(3) 【公式应用】利用以上公式计算：已知点，且，求的值；
(4) 简单阐述代数式的几何意义，并求其最小值．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】0
12.【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
13.【答案】
14.【答案】/（答案不唯一）
15.【答案】＜a≤或-≤a＜-．
16.【答案】【小题1】
解：
①，得③，
②③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
∴方程组的解为
【小题2】
解：
原方程组可化为：，
②，得③，
③①，得，
解得：，
把代入②，得，
解得：，
原方程组的解为：．

17.【答案】【小题1】
0.86
825
【小题2】
0.8
【小题3】
（个），
答：该文体店共需采购大约个排球，才能使本次采购中有个优等品．

18.【答案】解：设小长方形的长为，宽为，
由图可知，
解得，
∴，
∴阴影部分的面积是．

19.【答案】【小题1】
证明：，
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
，
（等量代换），
（同旁内角互补，两直线平行）；
【小题2】
解：，，
，
平分，
（角平分线定义），
（已证），
又，
（垂直定义），
（已证），
（两直线平行，同位角相等），
．

20.【答案】【小题1】
解：由题意，根据表格数据可得，
解得：
∴
【小题2】
当时，，
∴，则
当时，，
解得：
∴，则
∴
当在线段上时，作轴于，如图，
，
∴
即
∴
当时，
解得：

∴方程组的解为．
当点在的延长线上时，如图
，
∴
即
∴
当时，
解得：

∴方程组的解为．
综上所述，方程组的解为或

21.【答案】【小题1】
解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包．
【小题2】
解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得．
∴．
设总热量为，则．
∵，
∴w随a的增大而减小．
∴当时，w最小．
∴．
答：选用A种食品3包，B种食品4包．

22.【答案】【小题1】
证明：连接，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
延长并与的延长线交于点．
，
，
，
，
；
【小题3】
方法一：如图，延长交于点，
，
，
是的外角，
，
．
方法二：如图，过作，
则，
，，
，
．

23.【答案】【小题1】
6
4
【小题2】


【小题3】
解：∵点，且，
∴，
∴，
∴或，
解得：或.
【小题4】
解：代数式的几何意义为：
平面直角坐标系中动点到定点、的距离之和，
如图，
当在线段上时，，此时最小，
最小值为：.

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