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山东聊城市莘县多校2025-2026学年七年级第二学期期中学情调（5月）数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列运算中结果正确的是（）
A. B. C. D.
2.某校从3000名学生中随机抽取300名学生进行体育测试，下列说法正确的是（　　）
A. 该调查方式是普查
B. 被抽取的300名学生的体育测试成绩是样本
C. 每名学生是个体
D. 样本容量是3000
3.小杰同学选择用扇形统计图分析居民接种疫苗针数的情况．下面是制作扇形统计图的步骤（顺序被打乱）：
接种疫苗的针数
人数
①计算各部分扇形的圆心角分别为，，，；
②计算出接种不同针数的居民人数占总人数的百分比分别为，，，；
③在同一个圆中，根据所得的圆心角度数画出各个扇形，并注明各部分的名称及相应的百分比．
制作扇形统计图的步骤排序正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列说法正确的是（）
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 点到直线的垂线段就是点到直线的距离
C. 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
5.结合全民健身的热潮，小美同学在做仰卧起坐时发现身体与地面形成的夹角可以通过几何知识计算，如图，若躯干线段平行于地面支撑线，手臂辅助线平行于腿部线，已知，则身体扭转形成的角度的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
7.若a，b是正整数，且满足8个相加 8个相乘，则a与b的关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，小明按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出直线，如果，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.李白喝酒碰到朋友，诗里藏着算术题：现在有一些酒坛，如果每个酒坛装五斗酒，就会剩下四斗酒；如果每个酒坛装六斗酒，则空出一个酒坛，且有一个酒坛里仅装三斗酒．设一共有个酒坛，斗酒，那么正确的方程组是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是 ．
12.如图，将长方形纸片沿折叠，使点D，C落在点，处，的延长线与交于点G，若，则 °．
13.有一种新冠病毒直径为0.000000012米，数0.000000012用科学记数法表示为 ．
14.已知关于x,y的方程组的解满足x+y=3，则k= .
15.已知，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
16.解二元一次方程组
(1) ；
(2) ．
17.计算题
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在三角形中，点D，E分别在，上，且，．
(1) 与平行吗？为什么？
解：，理由如下：
因为，
所以（ ）．
因为，
所以 （等量代换），
所以（ ）．
(2) 若平分，，求的度数．
19.(本小题10分)
教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空： ；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为 度；
(2) 请补全条形统计图；
(3) 若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？
20.(本小题10分)
根据情境信息，探索并完成任务：
我为车间设计招聘方案
素材1 近几年，新能源汽车逐步普及，某新能源汽车制造厂开发一款新式电动汽车，现计划一年生产安装240辆．总部下派熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗也可以独立进行安装．
素材2 调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
素材3 工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元工资，每名新工人每月发4800元工资．
问题解决
任务一：分析数量关系 请你探究求出每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
任务二：确定可行方案 如果工厂招聘名新工人，请你探究计算并确定招聘方案：使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成这一年的安装任务，且每月应付工资总额较低，说明分别需要多少熟练工和新工人？
21.(本小题10分)
阅读材料：善于思考的李同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．
解：把，成一个整体，设，，原方程组可化为
解得：．∴，∴原方程组的解为．
(1) 若方程组的解是，则方程组的解是 ．
(2) 仿照李同学的方法，用“整体换元”法解方程组．
22.(本小题9分)
如图，已知，，垂足分别为H，F，．求证：．
23.(本小题12分)
小海同学在做完数学书中的一道题（图1）后产生了疑惑：为什么光线经过镜子反射时，．于是自己查阅资料，开展了光线与镜子夹角的项目探究：
【背景资料】
如图2，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角（）叫做入射角，反射光线与法线的夹角（）叫做反射角．反射角等于入射角，即．这就是光的反射定律．由可得．
(1) 【初步探究】如图3，两块平面镜和相交于点，如果入射光线与反射光线平行，求的度数．
(2) 【深入思考】如图4，两块平面镜的夹角为；光线射到平面镜上，分别经过平面镜两次反射后，进入光线与离开光线形成的夹角为．请写出与之间的数量关系并证明．
(3) 【拓展探究】如图5，有三块平面镜、、，镜子与的夹角，入射光线与平面镜的夹角，入射光线从镜面开始反射，依次经过平面镜、、的三次反射，当反射光线与入射光线平行时，请直接写出的度数．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】内错角相等，两直线平行
12.【答案】
13.【答案】1.2×10-8
14.【答案】8
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
②，得：③
①③，得，
解得：，
将 代入③得：
，
解此一元一次方程得，，
∴方程组的解为：
【小题2】
解：
①，得：
，
③，
③②，得，
将代入③，得，
解得：．
∴方程组的解为：

17.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

18.【答案】【小题1】
两直线平行，同位角相等

内错角相等，两直线平行
【小题2】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；

19.【答案】【小题1】
，

【小题2】
随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人），
补全条形统计图如下：
【小题3】
（人）
答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人．

20.【答案】解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，
根据题意得，，
解得，
答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车；
任务二：设抽调熟练工名，招聘新工人名，
由题意得，，
整理得，，
∵为正整数，且，
∴或，
∴工厂有种方案：
①抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
②抽调熟练工名，招聘新工人名，每月应付工资为元；
∵，
∴抽调熟练工名，招聘新工人名，此方案应付工资较低．

21.【答案】【小题1】

【小题2】
对于，令，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
解得：．

22.【答案】证明：，
，
，
∴，又，
∴，
∴，
∴.

23.【答案】【小题1】
解：如图所示：
依题意，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，．
【小题2】
解：，过程如下：
如图所示：
依题意，得，
∵，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小题3】
解：依题意，如图所示：
则，
∴
∵，
则，
∴，
则，
∴，
过点作，
∵反射光线与入射光线平行，
∴，
即，
∴，
则，
即，
∵，，
∴，
即．

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