资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
分式与分式方程 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简： （　　）
A． B． C． D．
2．若分式 的值等于0，则x的值为（　　）
A． B．x =1 C． D．x = 0
3．解分式方程时，去分母后变形为（　　）
A． B．
C． D．
4．以下是小明同学解方程 的过程：解：方程两边同时乘以 ，
得 ，第一步
即x十x=-2＋1+3，第二步
解得x=1，第三步
检验：当x=1时，x-3=1-3≠0.
所以原方程的解是x=1.第四步
针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　）
A．从第一步开始有错 B．从第二步开始有错
C．从第三步开始有错 D．完全正确
5．若分式方程 有增根，则m等于（　　）
A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1
6．意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《计算之书》一书中记载了大量的分式方程问题.有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同.设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
7．将分式 中的 ， 的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的 倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
8．2024年龙年春晚吉祥物“龙辰辰”引爆购买热潮，导致“一辰难求”．某工厂承接了 30万只吉祥物的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了，提前 5 天完成任务．设原计划每天生产x万只吉祥物，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．若关于x的一元一次不等式组恰好有1个整数解，且关于y的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（　　）
A．－6 B．8 C．24 D．6
10．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某工厂计划加工240个零件，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5 倍，结果比原计划提前2 天完成，求原计划每天加工零件的个数.若设原计划每天加工零件 x个，则根据题意可列方程为　 　.
12．若关于x的分式方程 + =3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　．
13．化简 得　 　；当m=﹣1时，原式的值为　 　．
14．在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格
为　 　元．
15．已知 ，则 　 　．
16．若，则A+B+C=　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：，其中x的值是不等式的最大整数解．
18．计算： +（3x+1）
19．如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程．
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
嘉嘉：．
淇淇：．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）嘉嘉同学所列方程中的x表示__________；
淇淇同学所列方程中的y表示___________；
（2）在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系；
（3）解（2）中你所选择的方程，并解答该例题．
20．某文具店王老板用120元购进一批文具，很快售完；王老板又用400元购进第二批文具，所购套数是第一批的3倍，但进价比第一批每套多了2元．
（1）第二批文具每套进价多少元
（2）王老板以每套25元的价格销售第二批文具，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批文具的销售总利润不少于60元，剩余的文具每套售价最低打几折
21．某中学开学初在体育用品商城购进A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花了2500元，购买B品牌足球花了2000元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习近平总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进一些足球，使得两次购进的A，B两种品牌的足球总数达到125个．本次恰逢该体育用品商城对这两种品牌足球的．售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果该中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
22．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
23．对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
分式与分式方程 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．化简： （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A。
【分析】根据同分母分式减法，分母不变，分子相减；然后将分子利用平方差公式分解因式后约分化为最简形式即可。
2．若分式 的值等于0，则x的值为（　　）
A． B．x =1 C． D．x = 0
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ =0
∴ ，解得x=1．
故答案为：B．
【分析】根据题意由分式值为0，即可得到分子为0，分式有意义，则分母不为0，即可得到x的值。
3．解分式方程时，去分母后变形为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】将分式方程两边同时乘（x-1），
可得：2-（x+2）=3（x-1），
故答案为：C.
【分析】将分式方程两边同时乘（x-1），再化简可得答案.
4．以下是小明同学解方程 的过程：解：方程两边同时乘以 ，
得 ，第一步
即x十x=-2＋1+3，第二步
解得x=1，第三步
检验：当x=1时，x-3=1-3≠0.
所以原方程的解是x=1.第四步
针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　）
A．从第一步开始有错 B．从第二步开始有错
C．从第三步开始有错 D．完全正确
【答案】B
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以 ，
得 ，
即x+x=-2-1+3，
解得x=0，
检验：当x=0时，x-3≠0，
∴原方程的解释x=0.
∴从第二步开始有错.
故答案为：B.
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验，即可得出答案.
5．若分式方程 有增根，则m等于（　　）
A．2 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【答案】C
【解析】【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得，m＝x﹣1﹣3（x﹣2），
∵分式方程有增根，
∴x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴m＝2﹣1﹣3（2﹣2）＝1．
故答案为：C．
【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m的方程即可得解．
6．意大利数学家斐波那契早在13世纪就提出了分式方程，在其《计算之书》一书中记载了大量的分式方程问题.有一个“分钱问题”是这样的：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同.设第一次分钱的人数为x人，则可列方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为人，第二次分钱的人数为，根据题意得：.
故答案为：C.
【分析】设第一次分钱的人数为人，第二次分钱的人数为，根据第二次每人所得与第一次相同可列方程.
7．将分式 中的 ， 的值同时扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的 倍 B．缩小到原来的
C．保持不变 D．无法确定
【答案】C
【解析】【解答】解：将分式 中的x、y的值同时扩大到原来的2倍为 ，
∴分式的值不变，
故答案为：C．
【分析】按照要求进行化简即可得出答案。
8．2024年龙年春晚吉祥物“龙辰辰”引爆购买热潮，导致“一辰难求”．某工厂承接了 30万只吉祥物的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了，提前 5 天完成任务．设原计划每天生产x万只吉祥物，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设原计划每天生产x万只吉祥物，
根据题意可得：，
故选：D．
【分析】设原计划每天生产x万只吉祥物，实际每天生产万只吉祥物，根据“ 提前 5 天完成任务 ”列方程即可．
9．若关于x的一元一次不等式组恰好有1个整数解，且关于y的分式方程有正数解，则符合条件的所有整数a的积为（　　）
A．－6 B．8 C．24 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：3x≥a-10，解得，x≥；
2x+1＜，解得，x＜-1；
∵ 不等式恰好有1个整数解，
∴-3＜ ≤-2，
解得1＜a≤4，
，解得y=且y≠1，
∴＞0，≠1，
解得，a＞-1，且a≠3，
∴ a的整数解有2，4，
∴ 所有整数a的积为8.
故答案为：B.
【分析】先解一元一次不等式组可得＜x＜-1，根据只有一个整数解可得-3＜ ≤-2，再解分式方程求得a＞-1，且a≠3，最终确定a的整数解，再求积即可.
10．如果 ， ， 是正数，且满足 ， ，那么 的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a，b，c是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，
∴
=
=
=
=2
故答案为：C
【分析】先根据题意得到a=1-b-c，b=1-a-c，c=1-a-b，再代入原式计算即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某工厂计划加工240个零件，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5 倍，结果比原计划提前2 天完成，求原计划每天加工零件的个数.若设原计划每天加工零件 x个，则根据题意可列方程为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：设原计划每天加工零件 x个，
∴，
故答案为：.
【分析】设原计划每天加工零件 x个，根据题干"加工240个零件，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5 倍，结果比原计划提前2 天完成"，据此列出方程即可.
12．若关于x的分式方程 + =3的解为正实数，则实数m的取值范围是　 　．
【答案】m＜6且m≠2
【解析】【解答】解： + =3，
方程两边同乘（x﹣2）得，x+m﹣2m=3x﹣6，
解得，x= ，
由题意得， ＞0，
解得，m＜6，
∵ ≠2，
∴m≠2，
故答案为：m＜6且m≠2．
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
13．化简 得　 　；当m=﹣1时，原式的值为　 　．
【答案】；1
【解析】【解答】解： ，
= ，
= ，
当m=﹣1时，原式= =1，
故答案为： ，1．
【分析】先把分式的分子和分母分解因式得出 ，约分后得出 ，把m=﹣1代入上式即可求出答案．
14．在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格
为　 　元．
【答案】150
【解析】【解答】解：设第二批绿植每盆x元．
依题意，得
解得 x=150．
经检验，x = 150是原方程的解，且符合题意.
答：第二批绿植每盆150元．
【分析】本题考查分式方程的应用，注意分式方程的解一定要检验。
15．已知 ，则 　 　．
【答案】
【解析】【解答】∵ ，
把 代入上式，得：原式=1+ = .
故答案为
【分析】把所求的式子 变形为：1+ ，然后把 代入求值即可.
16．若，则A+B+C=　 　
【答案】5
【解析】【解答】解：∵
=
=
=
且=
∴A +B=6，-2A +B +C=-7，2A +C=7，解得A=4，B=2，C=-1，A +B+C=5．
故答案为：5.
【分析】对等式右侧通分，进一步利用待定系数法得出等量关系并解方程组即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．先化简，再求值：，其中x的值是不等式的最大整数解．
【答案】解：解不等式，得，
∴不等式的最大整数解是－3，
．
【解析】【分析】先解不等式，求出x的值，再根据分式混合运算的法则把原式进行化简，然后代入求值．
18．计算： +（3x+1）
【答案】解： +（3x+1）
= +（3x+1）
=x（x﹣1）+（3x+1）
=x2﹣x+3x+1
=x2+2x+1．
【解析】【分析】结合分式混合运算的运算法则进行求解即可．
19．如下是学习“分式方程应用”时，老师板书的例题和两名同学所列的方程．
例：有甲、乙两个工程队，甲队修路400米与乙队修路600米所用时间相等，乙队每天比甲队多修20米，求甲队每天修路的长度．
嘉嘉：．
淇淇：．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）嘉嘉同学所列方程中的x表示__________；
淇淇同学所列方程中的y表示___________；
（2）在嘉嘉和淇淇所列方程中任选一个，并直接写出其所列方程依据的等量关系；
（3）解（2）中你所选择的方程，并解答该例题．
【答案】（1）甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）.
（2）解：根据题意得：嘉嘉用的等量关系是：
甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间.
（3）解：选嘉嘉的方程：，解得.
经检验是原分式方程的解．
∴甲队每天修路的长度为40米．
【解析】【解答】（1）解：根据两位同学的方程得：
嘉嘉同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度，
淇淇同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间），
故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）.
【分析】
（1）根据嘉嘉同学，淇淇同学所列方程 得嘉嘉同学所列方程中的x，淇淇同学所列方程中的y表示的量.
（2）根据 嘉嘉同学所列方程即可得答案.
（3）选嘉嘉的方程：，根据分式方程的解法解出即可，经检验后即可得解.
（1）解：由题意，得：嘉嘉同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度；淇淇同学所列方程中的y表示甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）；
故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路400米所需时间（或乙队修路600米所需时间）；
（2）由题意，得：
嘉嘉用的等量关系是：甲队修路400米所用时间乙队修路600米所用时间；
淇淇用的等量关系是：乙队每天修路的长度甲队每天修路的长度20米；
（3）（3）①选嘉嘉的方程：，
解得；
经检验是原分式方程的解．
答：甲队每天修路的长度为40米．
②选淇淇的方程：．
解得；
经检验是原分式方程的解．
所以．
答：甲队每天修路的长度为40米．
20．某文具店王老板用120元购进一批文具，很快售完；王老板又用400元购进第二批文具，所购套数是第一批的3倍，但进价比第一批每套多了2元．
（1）第二批文具每套进价多少元
（2）王老板以每套25元的价格销售第二批文具，售出60%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批文具的销售总利润不少于60元，剩余的文具每套售价最低打几折
【答案】（1）解：设第二批文具每套进价元，则第一批文具每套进价元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
答：第二批文具每套进价20元．
（2）解：第二批购进文具的套数为：（套），
设剩余的文具每套售价打折，
依题意得：，
解得：，
答：剩余的文具每套售价最低打8折．
【解析】【分析】（1）设第二批文具每套进价元，则第一批文具每套进价元，根据“王老板用120元购进一批文具，很快售完；王老板又用400元购进第二批文具，所购套数是第一批的3倍，但进价比第一批每套多了2元”即可列出分式方程，进而解方程，最后检验即可求解；
（2）先根据题意得到第二批购进文具的套数，设剩余的文具每套售价打折，进而根据题意列出不等式，从而解不等式即可求解。
21．某中学开学初在体育用品商城购进A，B两种品牌的足球，购买A品牌足球花了2500元，购买B品牌足球花了2000元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习近平总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进一些足球，使得两次购进的A，B两种品牌的足球总数达到125个．本次恰逢该体育用品商城对这两种品牌足球的．售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果该中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么该中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
【答案】（1）解：设购买一个品牌的足球需元，则购买一个品牌的足球需元．
由题意得，
解得：．
经检验是原分式方程的解，且符合题意．
．
答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元．
（2）解：由题意得，本次购买的足球总数为（个）．
设此次购买个品牌足球，则还需购买个品牌足球．
由题意得，解得．
又是正整数，
的最大值为31．
答：该中学此次最多可购买31个品牌足球．
【解析】【分析】（1）设购买一个品牌的足球需元， 则购买一个品牌的足球需元． 根据总价除以单价等于数量及购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，列出方程进行求解即可；
（2）根据总价除以单价等于数量分别求出第一次购买A、B两种品牌足球的数量，然后根据两次购买A、B品牌足球总数为125求出第二次购买A、B两种足球的数量为50个，设此次购买个品牌足球，则还需购买个品牌足球，根据单价乘以数量等于总价及该中学此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式，求出最大整数解即可.
（1）解：设购买一个品牌的足球需元，则购买一个品牌的足球需元．
由题意得，
解得：．
经检验是原分式方程的解，且符合题意．
．
答：购买一个品牌的足球需50元，购买一个品牌的足球需80元．
（2）解：由题意得，本次购买的足球总数为（个）．
设此次购买个品牌足球，则还需购买个品牌足球．
由题意得，解得．
又是正整数，
的最大值为31．
答：该中学此次最多可购买31个品牌足球．
22．对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.
（1）判断方程6-4(1-x)=2x与是否为“相似方程”，并说明理由；
（2）已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值.
【答案】（1）解：方程6－4（1-x）与方程是＂相似方程＂，理由如下：
解方程6－4（1-x）＝2x得：，
解方程得：，
检验：是该分式方程得解．
两个方程是＂相似方程＂；
（2）由条件可知，
均为整数，
，
，
又为正整数，
或．
【解析】【分析】（1）需要分别求解两个方程，然后对比它们的解，若解相同，则这两个方程是“相似方程”；
（2）先通过联立两个二元一次方程求出x关于m的表达式，再根据“相伴方程”的定义，即x为整数解，分析m-1可能的取值，从而求出m的值。
23．对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：存在，理由如下：
由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
【解析】【分析】（1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解；
（2）根据题意得出，结合新定义，即可求解；
（3）根据，可得，把等式中的和替换掉，再利用完全平方公式进行展开，化简得到.再根据定义，代入计算即可求解．
（1）解：由题意得；
（2）解：由（1）可知，则
；
（3）解：由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑