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平行四边形 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．若点 ， 分别是边 ， 的中点，则 的长是
A． B． C．2 D．
2．如图所示，在四边形 中，点 是对角线 的中点，点 、 分别是 、 的中点， ， ，则 的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
3．已知 的周长为16，点 ， ， 分别为 三条边的中点，则 的周长为（　　）
A．8 B． C．16 D．4
4．如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点，点F在 的延长线上.添加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
5．如图， 分别是 的边 上的点， ． 将四边形 沿 折叠， 得到四边形 交 于点 ， 则 的周长为（　　）、
A．6 B．12 C．18 D．24
6．如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ， ，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直线l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（　　）
A． B．5 C． D．
10．如图，在中，，，平分，对角线相交于点O，连接，下列结论中正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平行四边形ABCD中， ， ，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　 　.
12．如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，如果，那么等于　 　．
13．如图，在中，是BC边上一点，，若，则的度数为　 　.
14．如图， 的对角线 相交于点 ， 其周长为 16 ， 且 的周长比 的周长小 2 ， 则 的长为　 　， 的长为　 　．
15．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=3，BC=5，则OA的取值范围为　 　
16．如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长线上，G为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F在直线AC上，并且AE=CF.
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若，求 ABCD的面积．
18． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
19．如图，等边的边长是4，D、E分别为、的中点，过E点作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形平行四边形；
（2）求的长．
20．如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
21．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A的平分线交BC于E，交DC延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，射线BG交AD于H，交CD延长线于M
（1）求CE的长
（2）求MF的长
22．在平行四边形纸片ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，将△ABE 沿AE 折叠，点 B 的对应点为B'.
（1）如图①，若点 B'恰好落在边AD上，求证：四边形 B'ECD 是平行四边形；
（2）如图②，若点 E，B'，D 在同一条直线上，求证：DA=DE.
23．
（1）如图1，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：．
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平行四边形 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，在四边形 中， ， ， ， ， ．若点 ， 分别是边 ， 的中点，则 的长是
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC，
∵点E，F分别是AD，DC的中点，
∴EF是△ADC中位线，
∴EF=；
∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA；
∵∠D=100°，
∴∠DAC=（180°-100°）÷2=40°；
∴∠BAC=130°-40°=90°，
在Rt△BAC中，
AC=，
∴EF=
故答案为：2
【分析】连接AC，易证EF是△ADC的中位线，利用三角形中位线定理可证得EF=，再利用等边对等角，求出∠DAC的度数，就可证得△ABC是直角三角形，利用勾股定理求出AC的长，继而可求出EF的长。
2．如图所示，在四边形 中，点 是对角线 的中点，点 、 分别是 、 的中点， ， ，则 的度数是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D
【解析】【解答】∵点Ｐ是BD的中点，点 、 分别是 、 的中点
∴PF、PE分别是 ， 的中位线
∴
∴
∴
∴ 是等腰三角形，即
∵
∴
故答案为：D
【分析】根据中位线定理和题中给定的相就条件，易证明 是等腰三角形，由此可得出结论.
3．已知 的周长为16，点 ， ， 分别为 三条边的中点，则 的周长为（　　）
A．8 B． C．16 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵ ， ， 分别为 三条边的中点，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】由 ， ， 分别为 三条边的中点，可知DE、EF、DF为 的中位线，即可得到 的周长．
4．如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点，点F在 的延长线上.添加一个条件，使得四边形 为平行四边形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、BC边的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
若DE=EF，又∠CEF=∠BED，CE=BE，
∴△CEF≌△BED（SAS），
∴∠B=∠FCE，
∴CF∥DB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∴添加DE=EF.
故答案为：B.
【分析】根据中位线定义及性质可得DE∥AC，再证出△CEF≌△BED，得∠B=∠FCE，从而得CF∥DB，即CF∥AD，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形，即可求解.
5．如图， 分别是 的边 上的点， ． 将四边形 沿 折叠， 得到四边形 交 于点 ， 则 的周长为（　　）、
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：由折叠的性质得∠DEF=∠GEF=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFG=60°，
∴∠GEF=∠EFG=60°，
∴△GEF是等边三角形，
∴GE=EF=GF=6，
∴△GEF的周长为6×3=18.
故答案为：C.
【分析】由折叠的性质得∠DEF=∠GEF=60°，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DEF=∠EFG=60°，从而根据有两个角为60°的三角形是等边三角形可得△GEF是等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等及周长的计算方法可算出答案.
6．如图，在中，平分，交于点F，平分交于点E，，则长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，
AD=BC=10，AB=CD=6，AD//BC，
∠FBC=∠AFB，∠DEC=∠BCE，
平分，平分，
∠ABF=∠CBF，∠DCE=∠BCE，
∠ABF=∠AFB，∠DEC=∠DCE，
AB=AE=6，DE=DC=6，
EF=AF+DE-AD=6+6-10=2，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质，得到AD//BC，AD=BC，AB=CD，然后根据BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，得到△ABF和△CDE为等腰三角形，然后利用线段的和差计算即可得到EF的长.
7．如图，在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，且 ， ，下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 四边形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ， ，
四边形 为平行四边形，
， ， ， ．
∴
所以 、 、 三项均成立，D不一定成立．
故答案为： ．
【分析】根据性质可以推出此四边形 为平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可判断．
8．如图，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE//AB，
∴∠BFD=∠ABF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF=∠ABF，
∴∠BFD=∠DBF，
∴DF=DB=BC=3，
故答案为：A．
【分析】先利用平行线的性质可得∠BFD=∠ABF，再利用角平分线的定义可得∠DBF=∠ABF，因此∠BFD=∠DBF，再利用等角对等边的性质可得DF=DB=BC=3。
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4直线l经过点B，AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，则AE+CF的最大值为（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图1，点E、F在AC的同侧，取AC的中点G、EF的中点H，连接并延长EG交FC的延长线于点M，连接GH，
∵AE⊥l于点E，CF⊥l于点F，
∴.AE//CF，
∴∠GAE =∠GCM，
在ΔGAE和ΔGCM中，
∴△GAE≌△GCM（ASA），
∴AE = CM，GE = GM，
∴GH∥FM，，
∴AE∥HG，
∴GH⊥l，
，
∵∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，
，
，
，
，
此时，AE+ CF的最大值为；
如图2，点E、F不在AC的同侧，作CN⊥AE交AE的延长线于点N，
∵∠N =∠NEF =∠EFC = 90°，
∴四边形NEFC是矩形，
∴NE= CF，
∴AE + CF = AE + NE = AN，
∵AN ≤AC，
∴AE + CF≤3，
此时，AE+CF的最大值为3，
∵，
∴AE+ CF的最大值为，
故答案为：D.
【分析】分类讨论：①点E、F在AC的同侧，取AC、EF的中点G、H，连接并延长EG交FC的延长线于点M，连接GH，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AE∥CF，根据二直线平行，内错角相等得∠GAE =∠GCM，从而利用ASA判断出△GAE≌△GCM，得AE = CM，GE = GM，根据三角形的中位线定理得GH∥FM，，由平行同一直线的两条直线互相平行得AE∥HG，则GH⊥l，根据垂线段最短得GH≤BG，利用勾股定理算出BG，即可得出结论；②点E、F不在AC的同侧，作CN⊥AE交AE的延长线于点N，易得四边形NEFC是矩形，得NE= CF，则AE + CF = AE + NE = AN，根据垂线段最短得AN ≤AC，从而即可得出结论，综上即可得出答案.
10．如图，在中，，，平分，对角线相交于点O，连接，下列结论中正确的有（　　）
①；②；③；④；⑤
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC =120°，
∴∠BCD = 180°-∠ABC= 60°，AB= CD，∠ADC = 120°， BO = OD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC = ∠ADE= 60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴CD = CE，∠EDC= 60°，
∵BC = 2AB，
∴BC =2CD = 2CE，
∴E是BC的中点，
∴BE=CE，
又∵DE= EC，
∴BE= DE，
∴∠EBD=∠EDB= ∠DEC =30°，
∴∠BDC=∠BDE+∠EDC=90°，
∴∠ADB=30°，
∴结论①正确；
∵BE = EC，BO = DO，
∴OE=DC=AB，
即AB = 2OE，
∴结论②正确；
∵DE = DC = AB，
∴DE = AB，
∴结论③正确；
∵OD=BD，CD=BC，BD≠ BC，
∴OD ≠ CD，
∴结论④不正确；
∴∠ABD = ∠BDC = 90°，
∴S平行四边形ABCD=AB·BD，
∴结论⑤正确；
综上所述：结论中正确的有4个，
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线等计算求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在平行四边形ABCD中， ， ，将平行四边形ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=4，
∴BE=2，
.
故答案为： .
【分析】由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可.
12．如图，点D，E，F分别是的边，，的中点，如果，那么等于　 　．
【答案】50°
【解析】【解答】解：
D，E，F分别是
的边
，
，
的中点，
是
的中位线
，
，
故答案为：
【分析】根据三角形中位线的性质可得
，再利用平行线的性质可得
，
，所以
。
13．如图，在中，是BC边上一点，，若，则的度数为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠B=70°，
∴∠BEA=∠DAE，
又∵，
∴∠B=∠AEB=∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠ADE=180°-∠DAE-∠DEA=180°-70°-70°=40°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-40°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ADC=∠B=70°，∠BEA=∠DAE，然后根据等边对等角得到∠B=∠AEB=∠DAE=∠DEA=70°，即可求出∠ADE的度数，利用角的和差计算解题.
14．如图， 的对角线 相交于点 ， 其周长为 16 ， 且 的周长比 的周长小 2 ， 则 的长为　 　， 的长为　 　．
【答案】3；5
【解析】【解答】解：
∵ 的周长比 的周长小 2 ，
∴OB+OC+BC-（OB+OA+AB）＝2
∴OB+OC+BC-OB-OA-AB＝2
由平行四边形ABCD可知OA＝OC，OB＝OD，
∴BC-AB＝2，①
∵平行四边形ABCD的周长为16，
∴2（BC+AB）＝16，∴BC+AB＝8，②
由①②得，BC＝5，AB＝3
故答案为：3，5.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分和对边相等的性质，由 的周长比 的周长小 2 可得出BC-AB的值，由平行四边形ABCD的周长为16可得出BC+AB的值，联立可求出BC和AB的值。
15．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=3，BC=5，则OA的取值范围为　 　
【答案】1＜OA＜4
【解析】【解答】解：∵AB=3cm，BC=5cm，
∴2＜AC＜8，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO= AC，
∴1＜OA＜4，
故答案为：1＜OA＜4．
【分析】根据三角形的三边关系定理得到AC的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出OA的取值范围．
16．如图， 的顶点C在等边 的边 上，点E在 的延长线上，G为 的中点，连接 ．若 ， ，则 的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，
， ，
平行四边形 的顶点C在等边 的边 上，
，
是等边三角形，
．
在平行四边形 中， ， ，
又 是等边三角形，
，
．
G为 的中点， ，
是 的中点，且 是 的中位线，
．
故答案为： ．
【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质，可得出CG= ，代入数值即可得出答案．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知：如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E、F在直线AC上，并且AE=CF.
（1）求证：四边形是平行四边形
（2）若，求 ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形.
（2）解：∵AB⊥AC， BO=13， AB=12，
在Rt△AOB中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC =5， 即AC=10，
【解析】【分析】(1)根据对角线相互平分的四边形为平行四边形，即可证明.
(2)根据AB⊥AC可知△AOB为直角三角形， 由勾股定理可求得OA=OC=5， ABCD的面积可看成由两个Rt△ABC组成，即可求得答案.
18． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴
∴∠BMA=90°，
∴AE⊥BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5，
∴CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴DE=DA=3，
同理可得，BC=CF=AD=3，
∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2，
∴EF=CF-CE=3-2=1
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论.
19．如图，等边的边长是4，D、E分别为、的中点，过E点作交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形平行四边形；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：、分别为、的中点，
是的中位线，
，
∵，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
为的中点， 等边的边长是4，
，，，
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理得出DE//BC，再利用平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形，是平行四边形”得出答案；
（2）利用平行四边形的性质得出DC=EF，进而根据等边三角形的三线合一可得AD=BD=2，CD⊥AB，然后用勾股定理算出DC，此题得解.
20．如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，，
点E，F分别为，的中点，
，，
．
在和中，
，
，
（2）解：，，
，则，
又，
，
，设，
在中，，则，
在中，，
则，
得，
，
，
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质及中点得线段相等，通过SAS证得和q全等，再根据全等三角形性质得证；
（2）根据题意及平行四边形的性质得出AO=AB，再设AB=x，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可得出答案.
21．已知：如图，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=6，∠A的平分线交BC于E，交DC延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，射线BG交AD于H，交CD延长线于M
（1）求CE的长
（2）求MF的长
【答案】（1）解：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD=4，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴BE=AB=4，
∴CE=BC﹣BE=6﹣4=2
（2）解：
∵BG⊥AE，
∴∠AGB=∠AGH，
在△ABG和△AHG中，
，
∴△ABG≌△AHG（ASA），
∴AH=AB=4，∠ABG=∠AHG，
∴HD=AD﹣AH=6﹣4=2，
∵AB∥MF，
∴∠ABG=∠M，
∵∠AHG=∠MHD，
∴∠M=∠MHD，
∴DM=DH=2，
同理可得：CF=CE=2，
∴MF=DM+CD+CF=2+4+2=8．
【解析】【分析】（1）由角平分线得出∠BAE=∠DAE，由平行四边形的性质得出AD∥BC，BC=AD=6，证出∠DAE=∠AEB，∠BAE=∠AEB，得出BE=AB=4，即可得出结果；
（2）由ASA证明△ABG≌△AHG，得出AH=AB=4，∠ABG=∠AHG，得出HD=2，由平行线的性质和角的关系得出∠M=∠MHD，得出DM=DH=2，同理得出CF=CE=2，即可得出结果．
22．在平行四边形纸片ABCD 中，E 为BC 边上任意一点，将△ABE 沿AE 折叠，点 B 的对应点为B'.
（1）如图①，若点 B'恰好落在边AD上，求证：四边形 B'ECD 是平行四边形；
（2）如图②，若点 E，B'，D 在同一条直线上，求证：DA=DE.
【答案】（1）由折叠的性质可得∠BAE=∠B'AE，∠BEA = ∠B'EA， BE =B'E，AB=AB'.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB'∥BE，AB∥CD，
∴∠B'AE =∠BEA，∴∠BAE =∠B'AE=∠BEA=∠B'EA，
∴AB∥B'E，∴B'E∥CD，
∴四边形 B'ECD 是平行四边形
（2）由折叠的性质 可得∠AEB =∠AEB'.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DAE=∠AEB'，即∠DAE=∠AED，
∴DA=DE
【解析】【分析】(1)由折叠的性质结合平行四边形的性质得到 ，推出即可证明四边形B'ECD是平行四边形；
(2)由折叠的性质结合平行四边形的性质证明， 是等腰三角形，即可得出结论.
23．
（1）如图1，在四边形中，与相交于点，，，分别是，的中点，连接，分别交，于点，，判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，在四边形中，，，分别是，的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，．求证：．
【答案】（1）是等腰三角形，理由如下：
如图，取的中点，连接，，
分别是，的中点，
，分别是，的中位线，
，，
，，，
，
，
是等腰三角形．
（2）如图，连接，取的中点，连接，，
分别是，的中点，
，分别是的中位线，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线，得出∠HFE=∠HEF，再根据平行线的性质∠HFE=∠ONM，∠HEF=∠OMN，从而得∠ONM=∠OMN，最后得出OM=ON，即可得为等腰三角形；
（2）根据题意作出三角形的中位线，证明∠HFE=∠HEF，再依据平行线的性质求出。
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