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矩形、菱形与正方形 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若菱形的周长为 20 ， 它的一条对角线长 6 ，则菱形的另一条对角线长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．如图，正方形的对角线交于点O，E是正方形外一点，且，若，，则的长为（　　）
A． B．9 C． D．
3．如图，矩形的边在数轴上，点表示数，点表示数，，以点为圆心，的长为半径作弧与数轴负半轴交于点，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则（　　）
A． B． C．或 D．4
6．下列结论不一定正确的是（　　）
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．有三个是直角的四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
7．已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（　　）
A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1
8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（　　）
A． B．2 C． D．2
9．如图，直线 分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10；②直线BC的解析式为 ；③点D（ ， ）；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（ ， ）.正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
10．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和 ，则此平行四边形的面积为　 　．
12．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　．
13．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是　 　.
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则的度数为　 　．
15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A与点A′重合（点A在BC边上），点B落在点B′的位置上，若∠DEA′=40°，则∠1+∠2=　 　°．
16．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．
（1）若，求的度数；
（2）连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由．
18．如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：
（1）FC的长；
（2）EF的长．
19．如图， 在 中， 过点 作 于点 ， 点 在边 上， ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是矩形．
（2） 若 ， 求证： 平分 ．
20． 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作，分别交边、于点、，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
21．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
22．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为，，求．
23．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE.
（1）如图1，连接BG、DE.猜想：BG　 　DE（填＞、=、＜），并证明.
（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG=BD.
①求∠BDE的度数；
②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积.
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矩形、菱形与正方形 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若菱形的周长为 20 ， 它的一条对角线长 6 ，则菱形的另一条对角线长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵菱形ABCD的周长为20，
∴AB=BC=CD=DA=5，AC⊥BD，BD=2OB，AO=AC=3，
∴∠AOB=90°，
∴，
∴BD=2OB=8，即菱形的另一条对角线长为8.
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质得AB=BC=CD=DA=5，AC⊥BD，BD=2OB，AO=AC=3，进而在Rt△AOB中，利用勾股定理算出OB的长即可得出BD的长，从而得到答案.
2．如图，正方形的对角线交于点O，E是正方形外一点，且，若，，则的长为（　　）
A． B．9 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设CE=x，则BC=3x，
在Rt△BEC中，BE=6，
∴x2+62=（3x）2，
解得：x=，
∴BC=3x=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=BC=9；
故答案为：B.
【分析】在Rt△BEC中，利用勾股定理先求出CE，继而得出BC的长，根据正方形的性质可得BD=BC，继而得解.
3．如图，矩形的边在数轴上，点表示数，点表示数，，以点为圆心，的长为半径作弧与数轴负半轴交于点，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵矩形，，，，
由勾股定理得，
则点A到该交点E的距离为，
∵点A表示的数为，
∴点E表示的数为：，
故答案为：D
【分析】根据矩形的性质以及数轴上两点距离公式可得，，，在中，运用勾股定理可求得AC的长度，再结合“点A表示的数为”即可求得该点表示的数。
4．如图是铺设在人行道上地板砖的一部分，它由正六边形和菱形无缝隙镶嵌而成．为各多边形顶点，已知正六边形的边长为，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接、，，，过作于点，
由正六边形的性质得，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，即点、、共线，
同理：点、、共线，
∴、、、共线，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
同理：，
∴，，
∴，
同理可得，
∴四边形是菱形，是等边三角形，
∵，
∴，，
∴四边形的面积为．
故答案为∶．
【分析】连接、，，，过作于点，得到、、、共线，根据勾股定理求出，即可得到四边形是菱形，是等边三角形，然后根据勾股定理求出AJ长解题即可．
5．四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则（　　）
A． B． C．或 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，如图所示，
∴.AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，OB=BD=3，
∴OC=OA=，
∴AC=2OA=，
∵点E在AC上，可能在点O的左边或右边，OE=，
∴CE=OC+OE=或CE=OC-OE=，
故答案为：C．
【分析】先证明△ABD是等边三角形，利用勾股定理求出OC=OA的长，再分两种情况利用线段的和差求出CE的长即可。
6．下列结论不一定正确的是（　　）
A．两组对边相等的四边形是平行四边形
B．有三个是直角的四边形是矩形
C．对角线垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、两组对边相等的四边形是平行四边形，正确；
B、有三个是直角的四边形是矩形，正确；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项错误；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐一分析判断即可.
7．已知一个正方形的边长为a，将该正方形的边长增加1，则得到的新正方形的面积为（　　）
A．a2+2a+1 B．a2﹣2a+1 C．a2+1 D．a+1
【答案】A
【解析】【解答】解：新正方形的边长为a+1，
∴新正方形的面积为（a+1）2＝a2+2a+1，
故答案为：A．
【分析】依据新正方形的边长为a+1，即可得到新正方形的面积．
8．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形，转动这个四边形，使它形状改变，当时，如图1，测得，当时，如图2，（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
如图1，∵，
∴四边形ABCD的菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，
则，
如图2，，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：A．
【分析】图1中证明四边形是正方形，可根据勾股定理即可求得正方形的边长，在图2根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可求得AC长．
9．如图，直线 分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10；②直线BC的解析式为 ；③点D（ ， ）；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是（ ， ）.正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线 分别与 轴交于点A、B，
∴点A（8，0），点B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB= ，故①正确；
∵线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处，
∴OB=BD=6，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°，
∴AD=AB-BD=4，
∵AC2=AD2+CD2，
∴（8-OC）2=16+OC2，
∴OC=3，
∴点C（3，0），
设直线BC解析式为： ，
∴ ，
∴ ，
∴直线BC解析式为： ，故②正确；
如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵CD=OC=3，
∴CA=5，
∵S△ACD= AC DH= CD AD，
∴DH= ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴点D( ， )，故③正确；
∵线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，
∴PD∥OC，
∴点P纵坐标为 ，故④错误，
综上，①②③正确.
故答案为：B.
【分析】易得A（8，0），B（0，6），则OA=8，OB=6，利用勾股定理取出AB，据此判断①；根据折叠的性质可得OB=BD=6，OC=CD，∠BOC=∠BDC=90°，则AD=4，利用勾股定理求出OC，得到点C的坐标，然后求出直线BC的解析式，据此判断②；过点D作DH⊥AC于H，则CA=5，根据△ACD的面积公式可得DH，令直线解析式中的y=DH，求出x的值，可得点D的坐标，据此判断③；根据菱形的性质可得OC=CD，推出PD∥OC，则点P的纵坐标与点D的纵坐标相等，据此判断④.
10．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转得到．若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解；∵绕点A顺时针旋转得到，
，
，，
三点共线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
， 则，
，
，
，
解得：，
的长为2．
故选：B．
【分析】根据旋转性质可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，则， 则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个平行四边形的一边长是3，两条对角线的长分别是4和 ，则此平行四边形的面积为　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和 ，
∵22+（ ）2=32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S= 4×2 =4 ．
故答案为：4 ．
【分析】根据勾股定理的逆定理可得对角线互相垂直，然后根据菱形性质可求出面积．
12．小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解 ：
根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，
根据平行线的性质易证S1=S2，故阴影部分的面积占一份，
故针头扎在阴影区域的概率为.
【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再求出S1=S2即可．
13．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸片垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是　 　.
【答案】17
【解析】【解答】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，、
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2=(8-x)2+22，
解得：
∴4x=17，
即菱形的最大周长为17.
故答案为：17.
【分析】画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可.
14．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：四边形ABCD是正方形，三角形ADE是等边三角形，
∠ABC=∠BAD=90°，∠ACB=45°，∠DAE=60°，AE=AB，
∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，
AE=AB，
，
∠CBF=∠ABC-∠ABE=90°-15°=75°，
∠BFC=180°-∠CBF-∠ACB=180°-75°-45°=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据正方形和等边三角形的性质得到∠ABC=∠BAD=90°，∠ACB=45°，∠DAE=60°，AE=AB，进而求得∠BAE=150°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABF的度数，进而得到∠CBF的度数，然后利用三角形的内角和定理求解即可.
15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A与点A′重合（点A在BC边上），点B落在点B′的位置上，若∠DEA′=40°，则∠1+∠2=　 　°．
【答案】120
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠DEA′=40°，
∴∠EA'F=40°，
又∵∠B'A'E=∠BAD=90°，
∴∠2=90°-40°=50°，
由折叠可得，∠1= ∠AEA'= （180°-∠DEA'）= （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=70°+50°=120°．
故答案为：120．
【分析】根据两直线平行内错角相等可得∠EA'F=∠DEA′=40°，从而求出∠2=50°，根据折叠的性质及平角的定义求出∠1的度数，据此可求出结论.
16．如图，矩形ABCD中，直线MN垂直平分AC，与CD，AB分别交于点M，N．若DM＝2，CM＝3，则矩形的对角线AC的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AM．
∵直线MN垂直平分AC，
∴MA＝MC＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵DM＝2，MA＝3，
∴AD2＝AM2﹣DM2＝32﹣22＝5，
∴AC＝ ，
故答案为： ．
【分析】连接AM，在Rt△ADM中，利用勾股定理求出AD2，再在Rt△ADC中，利用勾股定理求出AC即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．
（1）若，求的度数；
（2）连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，
∴，
∵沿BE所在的直线折叠，C、D的对应点分别为C'，D'，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴的度数为35°；
（2）解：四边形C'D'EF是矩形，理由如下：
如图所示，连接EF，设BC'交AD于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EBC=∠GEB，
∴∠GBE=∠GEB，
∴GE=GB，
∵ED'∥BC'，
∴∠AFG=∠AD'E，
∴∠AFG=∠GAF，
∴GF=GA，
∴AE=BF，
∵AD=2AE=BC'，
∴BC'=2BF，
∴点F是BC'的中点，
∴FC'=BC'，
∵ED'=ED=AD，
∴FC'=ED'，
又∵ED'∥BC'，
∴四边形C'D'EF是平行四边形，
∵∠C'=∠C=90°，
∴平行四边形C'D'EF是矩形.
【解析】【分析】（1）由中点及折叠的性质得AE=D'E，由等边对等角得∠EAD'=∠ED'A，再根据三角形外角相等得∠D'ED=∠D'AE+∠AD'E，从而即可求出∠DAD'的度数；
（2）连接EF，设BC'交AD于点G，由平行线的性质及翻折可得∠GBE=∠GEB，由等角对等边得GE=GB，由平行线性质及（1）的结论得∠AFG=∠GAF，由等角对等边得GF=GA，则推出AE=BF，由矩形性质及中点定义可得FC'=ED'，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形C'D'EF是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论.
18．如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：
（1）FC的长；
（2）EF的长．
【答案】解：（1）由题意可得，AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，∵AB=8，
∴BF=6cm，
∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．
（2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，
则在Rt△EFC中，
（8﹣x）2+42=x2，
解得x=5，
即EF的长为5cm．
【解析】【分析】（1）由于△ADE翻折得到△AEF，所以可得AF=AD，则在Rt△ABF中，第一问可求解；
（2）由于EF=DE，可设EF的长为x，进而在Rt△EFC中，利用勾股定理求解直角三角形即可．
19．如图， 在 中， 过点 作 于点 ， 点 在边 上， ， 连结 ．
（1）求证： 四边形 是矩形．
（2） 若 ， 求证： 平分 ．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴四边形BFDE是矩形.
（2）解：由（1）得：四边形BFDE是矩形，
∴∠BFC=90°，
∵BF=4，CF=3，
∴BC=，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DFA，
∵DF=5，
∴AD=DF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠BAF，
即AF平分∠DAB.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，结合已知根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BFDE是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可求解；
（2）由（1）中的矩形可得三角形BCF是直角三角形，用勾股定理求出BC的值，结合平行四边形的性质可得AD=BC，于是可得三角形ADF是等腰三角形，则∠DAF=∠DFA，根据平行线的性质可得∠BAF=∠DFA，于是∠DAF=∠BAF，然后由角平分线的定义可判断求解.
20． 如图，矩形中，对角线、相交于点，过点作，分别交边、于点、，连接、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
四边形是矩形，
，
，
，
≌，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
. ，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：舍去，
的长为．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得 ，，再利用“ASA”证出≌，可得DE=FB，即可证出，即可得到四边形是菱形；
（2）先证出，设，则，利用勾股定理可得，将数据代入可得，再求出x的值即可.
21．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD=∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE=OF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥ BC，∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC= 180°．
∵∠CAD=∠DBC，∴∠BAD=∠ABC，∴2∠BAD=180°，∴∠BAD=90° ，∴四边形ABCD是正方形．
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC= BD，CO=AC，DO=BD，∴∠COB= ∠ DOC= 90° ，CO=DO．
∵DH∠ CE ，垂足为H，∴∠DHE=90°，∠EDH+∠DEH= 90°．
∵∠ECO+∠DEH=90°，∴∠ECO=∠EDH．
在△ECO和△FDO中
∴△ECO≌△FDO( ASA) ，∴OE=OF．
【解析】【分析】(1)利用菱形的性质可得∠BAD=2∠DAC，∠ABC=2∠DBC，根据∠CAD=∠DBC即可证得∠BAD=∠ABC=90° ，进而证得四边形ABCD是正方形．
(2)先利用正方形的性质得到CO=DO，∠COB= ∠ DOC= 90° ，再通过余角的性质证得∠ECO=∠EDH，然后通过ASA判定△ECO≌△FDO得到OE=OF．
22．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接交于点，连接、．
（1）求证：；
（2）若菱形的边长为，，求．
【答案】（1）解：（1）证明：四边形是菱形，∠DOC=90°
，
，
，
四边形是平行四边形，
∠EDO=∠DOC=90°
∴四边形是矩形，
；
（2）连接．
，
四边形是矩形，
，
在菱形中，，
三角形ACD是的等边三角形
，
在三角形ACD中，
在中，
．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，先证明四边形是平行四边形，再证四边形是矩形，从而得到OE=CD
（2）先证三角形ACD是等边三角形，求出AF。同理求出OD即CE，在直角三角形ACE中利用勾股定理求出AE。问题得到解决。
（1）证明：四边形是菱形，
，，
且，
，
四边形、四边形都是平行四边形，
，
；
（2）解：连接．
，
四边形是矩形，
，
在菱形中，，
，
，
，
在矩形中，，
在中，，
．
23．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE.
（1）如图1，连接BG、DE.猜想：BG　 　DE（填＞、=、＜），并证明.
（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG=BD.
①求∠BDE的度数；
②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积.
【答案】（1）=
（2）解：①如图，连接，
由（1）可知，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
；
②如图，延长交于点，过点作交的延长线于点，
在和中，
，
，
，
，，
，
，，
，
在中，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
【解析】【解答】证明：（1）四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
即，
在和中，
，
；
故答案为：=
【分析】（1）先根据正方形的性质等等，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）①连接，根据平行线的性质得到，进而即可得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而等量代换根据等边三角形的判定即可求解；
②延长交于点，过点作交的延长线于点，根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而即可得到，，再根据勾股定理求出的值，得到的值，根据等腰直角三角形的判定与性质结合题意得到，从而根据三角形的面积即可求解。
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