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二元一次方程组 单元综合模拟测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在方程 中，二元一次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知方程，当时，那么为（　　）
A． B． C．-4 D．
3．将方程转化为用含的代数式表示y的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．方程ax﹣2y=5的一个解是 ，则a的取值是（　　）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
5．若是关于 x，y的方程x-ay=-1的一个解，则 a 的值为（　　）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
6．某校组织10名党员教师和38名优秀学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
7．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）
A． B． C． D．
8．二元一次方程组的解满足2x﹣ky=10，则k的值等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
9．某校七年级（2）班40名同学，为探望福利院的小朋友捐款买礼物，共拥了100元，捐款情况如下表：
捐款（元） 1 2 3 4
人数 6 * * 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.设捐款2元的有x名同学，拥款3元的有y名同学。根据愿意，所列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
10．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x、y的方程组 的解是负整数，则整数m的值是　 　．
12．有A、B、C三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位（单位长度各不相同），设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子度量另外两把尺子的长度．已知用A尺度量，得B尺比C尺长6个单位；用B尺度量，得A尺比C尺短10个单位；则用C尺度量，得A尺和B尺相差　 　 个单位．
13．若x－y＝5，y－z＝6，则z－x＝　 　
14．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需630元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需　 　 元．
15．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为　 　.
16．如下图所示，高速公路上，一辆长为4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长为12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追赶到超越卡车，需要花费的时间约是　 　秒（结果保留整数）.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解二元一次方程组：
（1）
（2）
18．某商店决定购进A、B两种小礼品.若购进A种小礼品15件，B种小礼品10件，需要450元；A种小礼品9件，B种小礼品12件，需360元.
（1）求A、B两种小礼品每件进价各多少元？
（2）若该商店决定购进这两种小礼品共100件，考虑市场需求和资金周围，用于购买这100件小礼品的资金不少于1800元，但不超过1812元，那么该商店共有哪几种进货方案？
（3）已知该商店出售一件A种小礼品可获利t元，出售一件B种小礼品可获利元，在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案获利最多？（商店出售的小礼品标价均不低于进价）
19．对于有理数x和y，定义新运算：x⊙y＝ax＋by，其中a、b是常数，已知2⊙4＝12，4⊙10＝2．
（1）求a、b的值；
（2）若x＝1，x⊙y＝6，求y的值．
20．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
①当 时，方程组的解也是方程 的解；
②当 时， ；
③不论
取什么实数，
的值始终不变.
请判断以上结论是否正确，并说明理由.
21．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
22．下面是两位同学解方程组的做法．
苹芊的做法如下：由方程将方程代入解得把代入方程组的解为 浩浩的做法如下：由由解得把代入方程组的解为
请认真阅读并完成下面的问题．
（1）芊芊的消元方法是　 　；浩浩的消元方法是　 　．
（2）判断 ▲ 选填“芊芊”或“浩浩”的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
23．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要）。若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元。设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元.
（1）求x和y的值.
（2）若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案.
（3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元。已知该公司总计付款318万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有　 　辆。
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二元一次方程组 单元综合模拟测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在方程 中，二元一次方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】【解答】根据二元一次方程的定义可得只有 是二元一次方程.
故答案为：A
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，未知数的最高次数是1的整式方程是二元一次方程即可求解.
2．已知方程，当时，那么为（　　）
A． B． C．-4 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：把代入原方程得：
故答案为：C.
【分析】直接将x=3、y=5代入方程中进行计算可得m的值.
3．将方程转化为用含的代数式表示y的形式，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】通过移项，将2x移至等号的右边即可.
4．方程ax﹣2y=5的一个解是 ，则a的取值是（　　）
A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解：把 代入方程得：a﹣4=5，
解得：a=9，
故选A
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
5．若是关于 x，y的方程x-ay=-1的一个解，则 a 的值为（　　）
A．3 B．-3 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵是关于 x，y的方程x-ay=-1的一个解，
∴把代入x-ay=-1得：a=3.
故正确答案选：A.
【分析】由关于 x，y的方程x-ay=-1的一个解，所以把这个解代入x-ay=-1求出a的值即可.
6．某校组织10名党员教师和38名优秀学生团干部去某地参观学习．学校准备租用汽车，学校可选择的车辆（除司机外）分别可以乘坐4人或6人，为了安全每辆车上至少有1名教师，且没有空座，那么可以选择的方案有（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【解析】【解答】解：设4人车租x辆，6人车租y辆，
∵不得有空座，
则
∴
又∵每辆车上至少有1名教师，
∴
把 代入 得，
∴
∵x、y都是整数，
由 知x是3的倍数，
因此，当x=0时，y=8；
当x=3时，y=6；
当x=6时，y=4；
故有3种方案，
故答案为：B．
【分析】设4人车租x辆，6人车租y辆，由不得有空座，可得，即得，由于 ，从而求出，根据x、y都是整数，从而求出所有的方案.
7．利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图 方式放置，再交换两木块的位置，按图 方式放置测量的数据如图，则桌子的高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】设长方体木块的长是xcm，宽是ycm，由题意得
可得
则桌子的高度是
故答案为：C．
【分析】设长方体木块的长是xcm，宽是ycm，根据题意列出关于x 、y的方程求解即可。
8．二元一次方程组的解满足2x﹣ky=10，则k的值等于（　　）
A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8
【答案】A
【解析】【解答】，②×9﹣①得：50y=﹣100，即y=﹣2，将y=﹣2代入②得：x=1，将x=1，y=﹣2代入2x﹣ky=10得：2+2k=10，
解得：k=4．故选A.
【分析】求出二元一次方程组的解得到x与y的值，代入已知方程即可求出k的值．
9．某校七年级（2）班40名同学，为探望福利院的小朋友捐款买礼物，共拥了100元，捐款情况如下表：
捐款（元） 1 2 3 4
人数 6 * * 7
表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.设捐款2元的有x名同学，拥款3元的有y名同学。根据愿意，所列方程组正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，得
即
故答案为：A.
【分析】利用总人数和捐款总钱数分别列出方程组成方程组即可。
10．关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将方程组变形为：，
∵关于x．y的方程组的解为，
∴，
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴方程组的解是，
故答案为：B．
【分析】由题意，先将方程组变形为，再根据已知方程组的解可得关于x、y的方程组，解这个方程组即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若关于x、y的方程组 的解是负整数，则整数m的值是　 　．
【答案】3，5，11
【解析】【解答】解：
①－②得-my+2y=9，
y=③
把③代入②得
x=
∵此方程组的解是负整数，且m也是整数，∴2-m的值可以是-1，-3，-9，
∴m的值是3，5，11.
故答案为：3，5，11.
【分析】将m作为常数，解出方程组的解，根据此方程组的解是负整数，且m也是整数即可列出关于m的方程，求解即可。
12．有A、B、C三把刻度尺，它们的刻度都是从0到30个单位（单位长度各不相同），设三把尺子的0刻度和30刻度处到尺子边缘的长度可以忽略不计，现用其中的一把尺子度量另外两把尺子的长度．已知用A尺度量，得B尺比C尺长6个单位；用B尺度量，得A尺比C尺短10个单位；则用C尺度量，得A尺和B尺相差　 　 个单位．
【答案】15
【解析】【解答】解：设A、B、C三把刻度尺的单位长度分别为x、y、z，则A、B、C三把刻度尺的长度分别为30x、30y、30z，
根据题意得，，
整理得，，
①+②得，4x﹣4y=﹣2z，
所以，y﹣x=z，
30（y﹣x）=30×z=15z，
所以，用C尺度量，A尺比B尺短15个单位，
因此，用C尺度量，A尺和B尺相差15个单位．
故答案为：15．
【分析】设A、B、C三把刻度尺的单位长度分别为x、y、z，表示出三把刻度尺的长度分别为30x、30y、30z，根据两次度量列出两个方程，整理后用z表示出y﹣x，然后求出30（y﹣x）即可得解．
13．若x－y＝5，y－z＝6，则z－x＝　 　
【答案】-11
【解析】【解答】解：由
①+②得：x-z=11，
则z-x=-11．
故答案为：-11
【分析】两方程相加，变形即可求出z-x的值
14．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需630元；若购甲4件，乙10件，丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需　 　 元．
【答案】210
【解析】【解答】解：设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．
列方程组得：，
①×3﹣②×2得：x+y+z=210．
故答案为：210．
【分析】假设购甲每件x元，购乙每件y元，购丙每件z元．列方程组得：，然后求得x+y+z的值．
15．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为　 　.
【答案】
【解析】【解答】该店有客房x间，房客y人
根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”可得：
根据“如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”可得：
则可列方程组为
故答案为： .
【分析】分别根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住”、“如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”建立方程组即可得.
16．如下图所示，高速公路上，一辆长为4米，速度为110千米/时的轿车准备超越一辆长为12米，速度为100千米/时的卡车，则轿车从开始追赶到超越卡车，需要花费的时间约是　 　秒（结果保留整数）.
【答案】6秒
【解析】【解答】解：设整个超越过程历时x小时，在这一过程中卡车行驶了y千米，则轿车行驶了（y＋0.012＋0.004）千米，则 ，解得x＝0.0016（小时），0.0016小时＝5.76秒≈6秒．
故答案为：6秒.
【分析】设整个超越过程历时x小时，在这一过程中卡车行驶了y千米，由图和已知可知，轿车行驶的距离等于卡车行驶的距离和两个车长，由此可列出一个方程，再由卡车行驶的距离列方程，从而得到方程组，求出解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解二元一次方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
①×3-②，得5y=-5，
解得y=-1.
将y=-1代入①中可得x=2，
∴方程组的解为.
（2）解：
①×5-②×3，得38y=-19，
解得y=.
将y=代入①中可得x=6，
∴方程组的解为.
【解析】【分析】（1）利用第一个方程的3倍减去第二个方程可得y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，据此可得方程组的解；
（2）利用第一个方程的5倍减去第二个方程的3倍可求出y的值，将y的值代入第一个方程中求出x的值，据此可得方程组的解.
18．某商店决定购进A、B两种小礼品.若购进A种小礼品15件，B种小礼品10件，需要450元；A种小礼品9件，B种小礼品12件，需360元.
（1）求A、B两种小礼品每件进价各多少元？
（2）若该商店决定购进这两种小礼品共100件，考虑市场需求和资金周围，用于购买这100件小礼品的资金不少于1800元，但不超过1812元，那么该商店共有哪几种进货方案？
（3）已知该商店出售一件A种小礼品可获利t元，出售一件B种小礼品可获利元，在（2）的条件下，商店采用哪种进货方案获利最多？（商店出售的小礼品标价均不低于进价）
【答案】（1）解：设A，B两种小礼品的价格分别为x元和y元，则
，解得.
∴A，B两种小礼品的价格分别为20元和15元.
（2）解：设购买A种小礼品a件，则购买B种小礼品件，
故，
解得：.
∵a是整数，
∴，61，62.
∴，39，38.
∴共有3种方案，分别如下：
方案一：购买60件A种小礼品，40件B种小礼品；
方案二：购买61件A种小礼品，39件B种小礼品；
方案三：购买62件A种小礼品，38件B种小礼品.
（3）解：由题可得，，
方案一可获利元；方案二可获利元；方案三可获利元.
∴当时，三种方案获利相同；
当时，方案一获利最多；
当时，方案三获利最多.
【解析】【分析】应用题主要是要找到等量关系列式子（1）总价=单价×数量；（2）1800≤总资金≤1812；（3）最优方案选择，把每一种方案获利算出来进行比较，选择最优解.
19．对于有理数x和y，定义新运算：x⊙y＝ax＋by，其中a、b是常数，已知2⊙4＝12，4⊙10＝2．
（1）求a、b的值；
（2）若x＝1，x⊙y＝6，求y的值．
【答案】（1）解：∵2⊙4＝12，4⊙10＝2，
∴
由①，得2a＝12－4b③，
把③代入②，得2（12－4b）＋10b＝2，
去括号，得24－8b＋10b＝2，
解得：b＝－11，
把b＝－11代入③，得2a＝12－4×(－11)，
解得：a＝28，
∴a＝28，b＝－11
（2）解：∵a＝28，b＝－11，x⊙y＝6，
∴28x－11y＝6，
∵x＝1，∴28－11y＝6，
解得：y＝2
【解析】【分析】(1)根据新定义运算可得：，根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可；
(2)根据(1)中的结果和题意，可以得到关于y的一元一次方程，然后求解即可.
20．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：
①当 时，方程组的解也是方程 的解；
②当 时， ；
③不论
取什么实数，
的值始终不变.
请判断以上结论是否正确，并说明理由.
【答案】解：结论②③正确.理由：关于x，y的方程组
解得
①将 代入 得
将x=4，y=-4代入方程x+y=2的左边，得x+y=0.∵右边=2，：左边≠右边，故该结论错误；
②将 代入 解得 .
即当 时， ，该结论正确；
③ ，
不论 取什么实数， 的值始终不变，该结论正确.
【解析】【分析】先解关于x、y的二元一次方程组，把方程组的解用含a的代数式表示，
① 把a=1代入方程组的解，然后验证x+y的值，即可判断；
②将 代入方程组的解，解关于a、y的二元一次方程组，即可求出结果；
③ 把方程组的解代入2x+y中得到一个常数，即可判断.
21．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
【答案】解：（1）方程组，把②代入①得：3y+1=7，解得：y=1，代入②得：x=1+1=2，
满足．
方程组的解，具有“邻好关系”；
（2）方程组
①-②得：，即．
方程组的解，具有“邻好关系”，
，即
或：
（3）方程两式相加得：2y+ay=12，即(2+a)y=12，
∴x=2y－5，.
，，均为正整数，
∴（舍去），（舍去），，，
满足条件的两组解中，当时，．
，方程组的解为

【解析】【分析】（1）解方程组得解，利用题中的新定义判断即可；（2）两式相减并整理可得，由题中的新定义可得，求解即可得到m的值；
（3）两方程相加消去x，2y+ay=12，整理得x=2y－5，.根据a，x，y都为正整数，从y=1开始讨论，求出所有满足条件的a，x，y的值，最后再利用题中的新定义确定出a值以及方程组的解即可．
22．下面是两位同学解方程组的做法．
苹芊的做法如下：由方程将方程代入解得把代入方程组的解为 浩浩的做法如下：由由解得把代入方程组的解为
请认真阅读并完成下面的问题．
（1）芊芊的消元方法是　 　；浩浩的消元方法是　 　．
（2）判断 ▲ 选填“芊芊”或“浩浩”的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答．
【答案】（1）代入消元法；加减消元法
（2）解：浩浩的解答过程有误，
正确解答如下：
由得，
得，
解得，
把代入得，解得，
方程组的解为．
【解析】【解答】解：（1） 由芊芊的解题过程可知：他运用的是代入消元法； 由浩浩的解题过程可知：他运用的是加减消元法；
故答案为：代入消元法，加减消元法；
【分析】（1）根据代入消元法和加减消元法的定义进行判断即可；
（2）浩浩的解答过程有误，利用加减消元法写出正确的解题过程即可.
23．某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A，B两款新能源汽车若干辆（两者都要）。若买10辆A款和5辆B款需付款160万元，若买5辆A款和10辆B款需付款170万元。设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元.
（1）求x和y的值.
（2）若购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案.
（3）根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元。已知该公司总计付款318万元，B款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则A款中享受国补的有　 　辆。
【答案】（1）解： 设A款的单价为x万元，B款的单价为y万元 ，
由题意得，
解得
答：x的值为10，y的值为12
（2）解：设购买a辆A款新能源汽车，b辆B款新能源汽车，
根据题意得：10a+12b=150，
∴a=15
又∵a，b均为正整数，
∴或
∴共有2种购买方案，
方案1：购买9辆A款新能源汽车，5辆B款新能源汽车；
方案2：购买3辆A款新能源汽车，10辆B款新能源汽车
（3）1或7
【解析】【解答】解：（3）∵12-2=10(万元)，
∴A款中没有享受国补的单价与B款中享受国补的单价相同；
设A款中享受国补的有m辆，A款中没有享受国补的和B款中享受国补的共n辆，则B款中没有享受国补的有(m+n)，
根据题意得：
(10-2)m+(12-2)n+12×(m+n)=318，
∴
又∵m、n、(m+n)均为非负整数，
∴或，
∴A款中享受国补的有1或17辆.
故答案为：1或17.
【分析】（1）根据单价乘以数量等于总价及“买10辆A款和5辆B款需付款160万元，买5辆A款和10辆B款需付款170万元”，可列出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买a辆A款新能源汽车，b辆B款新能源汽车，利用总价=单价×数量及“ 购买A款和B款新能源汽车刚好付款150万元 ”，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案；
（3）设A款中享受国补的有m辆，A款中没有享受国补的和B款中享受国补的共n辆，则B款中没有享受国补的有(m十n)，利用总价=单价×数量及该公式购买两款汽车该总计付款318万元可列出关于m，n的二元一次方程，结合m、n、(m十n)均为非负整数，即可得出结论.
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