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一元一次不等式 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＞b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．|a|＞|b| D．ac2≥bc2
2．不等式 的最大整数解为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若不等式 的解集是 ，则a必满足（　　）
A． B． C． D．
4．若m＞n，则下列各式正确的是（　　）
A．2m﹣2n＜0 B．m﹣3＞n﹣3
C．﹣3m＞﹣3n D． ＜
5．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若关于x的不等式x+m≥-1的解集如图所示，则m等于(　　)
A．- 2 B．2 C．- 3 D．3
8．已知关于x的不等式ax＜b的解为x＞-2，则下列关于x的不等式中，解为x＜2的是（　　）
A．ax+2＜-b+2 B．–ax-1＜b-1 C．ax＞b D．
9．对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是(　　)
A． B． C． D．
10．已知三个实数a，b，c满足，，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买　 　瓶甲饮料.
12．不等式组的解集是 　 　.
13．关于x的不等式组 的解集为 ，那么 的值等于　 　。
14．已知关于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集为x＜ ，则a的取值范围是　 　．
15．小军的期末总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比1∶1∶8组成，现小军平时考试得90分，期中考试得60分，要使他的总评成绩不低于79分，那么小军的期末考试成绩x满足的条件是　 　
16．对，定义一种新的运算，规定，若关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程与不等式
（1） ；
（2） ．
18．解不等式组： ，并写出它的所有整数解.
19．为确保“双减”落地，某校在课后服务中开设了丰富多彩的选修课．面塑组的同学精心制作了一批“冰墩墩 雪容融”面偶，在校园义卖中大受欢迎．已知面偶的义卖价格如下表所示（大小面偶均整对出售），八年级一班的同学集资300元，计划购买大，小号“冰墩墩 雪容融”面偶共25对，他们最多能买多少对大号面偶
类型 大号 小号
价格 15元/对 10元/对
20．（1）解方程：．
（2）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
21．已知关于的方程组的解都为正数.
（1）求a的取值范围.
（2）在（1）的条件下，已知的解是，求整数的值.
22．某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元．
（1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？
23．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
（2）若关于x的方程是不等式组0的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
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一元一次不等式 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a＞b，则下列不等式中成立的是（　　）
A．ac＞bc B．ac2＞bc2 C．|a|＞|b| D．ac2≥bc2
【答案】D
【解析】【解答】解：A、因为a＞b，当c=0时，所以ac=bc，所以本选项错误；
B、因为a＞b，当c=0时，所以ac2=bc2，所以本选项错误；
C、当a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，但|a|＜|b|，所以本选项错误；
D、不论c为何值，c2≥0，∴ac2≥bc2，所以本选项正确.
故答案为：D.
【分析】不等式的性质：①不等式两边同时加或减去相同的数，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘或除以相同的正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘或除以相同的负数，不等号的方向改变。由不等式的性质可判断A、B、D是否成立；再根据有理数大小的比较可判断选项C是否成立.
2．不等式 的最大整数解为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解： ，
，
，
则符合条件的最大整数为： ，
故答案为：B.
【分析】先移项，再在不等式的两边同时除以2，不等号的方向不变，可得不等式的解集，然后求出此不等式的最大整数解.
3．若不等式 的解集是 ，则a必满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：a-3＜0，
解得：a＜3．
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质求解，再根据不等式的解集求出a的取值范围即可。
4．若m＞n，则下列各式正确的是（　　）
A．2m﹣2n＜0 B．m﹣3＞n﹣3
C．﹣3m＞﹣3n D． ＜
【答案】B
【解析】【解答】A、两边都乘以2，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都减3，不等号的方向不变，故B符合题意；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C不符合题意；
D、两边都除以2，不等号的方向不变，故D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
5．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
由①得，x＞﹣3，
由②得，x≤2，
故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．
在数轴上表示为：
．
故选C．
6．不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
解不等式①，得：x≥-1，
解不等式②，得：x＜2，
将不等式的解集表示在同一数轴上：
所以不等式组的解集为-1≤x＜2，
故答案为：D．
【分析】利用不等式的性质和不等式组的解法求解，再在数轴上画出解集即可。
7．若关于x的不等式x+m≥-1的解集如图所示，则m等于(　　)
A．- 2 B．2 C．- 3 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：由不等式得：，
不等式解集为，
，
解得：，
故答案为：C .
【分析】解不等式得，根据数轴上的解集即可得到-m-1=2，求出m的值解答即可．
8．已知关于x的不等式ax＜b的解为x＞-2，则下列关于x的不等式中，解为x＜2的是（　　）
A．ax+2＜-b+2 B．–ax-1＜b-1 C．ax＞b D．
【答案】B
【解析】【解答】∵关于x的不等式ax＜b的解为x＞-2，
∴a<0，且 ，即 ，
∴（1）解不等式ax+2＜-b+2可得：ax<-b， ，即x>2；
（2）解不等式–ax-1＜b-1可得：-ax（3）解不等式ax>b可得： ，即x<-2；
（4）解不等式 可得： ，即 ；
∴解集为x<2的是B选项中的不等式.
故答案为：B.
【分析】由已知条件关于x的不等式ax＜b的解为x＞-2可得a<0，且。
（1）由不等式的性质可得不等式ax+2＜-b+2的解集为x>2；
（2）由不等式的性质可得不等式–ax-1＜b-1的解集为x<2；
（3）由不等式的性质可得不等式ax>b的解集为x<2；
（4）由不等式的性质可得不等式的解集为。
9．对于任意实数、，定义一种运算：@，如：@，请根据以上定义解决问题：若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围为是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x≥-，
∴不等式组的解集是：-≤x＜2，
∵不等式组有2个整数解，
∴-1＜-≤0，
解得：3≤m＜5．
故答案为：A．
【分析】先根据已知新运算变形，再求出不等式组的解，根据已知得出关于m的不等式组，求出m的范围即可。
10．已知三个实数a，b，c满足，，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】先变形得b的表达式，根据完全平方公式计算b2，再计算b2+ac并分解因式，根据完全平方式的非负性和不等式的性质求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小宏最多能买　 　瓶甲饮料.
【答案】3
【解析】【解答】解：设买x瓶甲饮料，
则7x+4(10-x)≤50，
解得x≤ ，
x取最大正整数
∴x=3
所以最多能买3瓶甲饮料
【分析】根据题意：甲种饮料的数量+乙种饮料的数量=10；甲种饮料的费用+乙种饮料的费用≤50，设未知数，列不等式，求出此不等式的最大正整数解即可。
12．不等式组的解集是 　 　.
【答案】x≥8
【解析】【解答】解：，
∵解不等式①得：x≥8，
解不等式②得：x＞0.8，
∴不等式组的解集为x≥8，
故答案为：x≥8.
【分析】根据解不等式的步骤分别解出不等式组中每一个不等式的解集，进而根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，即可得出该不等式组的解集.
13．关于x的不等式组 的解集为 ，那么 的值等于　 　。
【答案】1
【解析】【解答】由①得 x ＞4-2 a ；
由②得2 x ＜b+5，即 x ＜0.5b+2.5；
由以上可得4-2 a ＜ x ＜0.5b+2.5，
∵不等式组 的解是0＜ x ＜2，
∴4-2 a =0，即 a =2；0.5b+2.5=2，即b=-1．则 =2-1=1．
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集得出关于a、b的方程组，求出a、b的值，然后求出a与b的和。
14．已知关于x的不等式（1﹣a）x＞3的解集为x＜ ，则a的取值范围是　 　．
【答案】a＞1
【解析】【解答】解：因为结果不等号的方向改变了，
所以不等号的两边都除以了一个负数．
即1﹣a＜0
所以a＞1．
故答案为：a＞1．
【分析】先根据不等号的方向，判断等号两边都除以了一个正（或负）数，再解不等式确实a的范围
15．小军的期末总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比1∶1∶8组成，现小军平时考试得90分，期中考试得60分，要使他的总评成绩不低于79分，那么小军的期末考试成绩x满足的条件是　 　
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得 ，解得
【分析】本题关键在于平均成绩的求法：各成绩乘以权重数相加后除以权重数的和.
16．对，定义一种新的运算，规定，若关于的不等式组恰好有个整数解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵x＞3，
由不等式组得，
解x-1＞1，得x＞2，
解x+2≤m，得x≤m-2，
∴不等式组的解集为3＜x＜m-2，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴5≤m-2＜6，
解得7≤m＜8，
故答案为：7≤m＜8．
【分析】根据定义的新运算，构造关于x的不等式组，解之得出x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数可得m的取值范围．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解下列方程与不等式
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：去括号，得：21x-3x2=18-3x2+15x
移项得：21x-3x2+3x2-15x=18
合并同类项得：6x=18
系数化为1得：x=3．
（2）解：去括号得：x2-4x-21+8＞x2+4x-5
移项，得x2-x2-4x-4x＞21-5-8
合并同类项，得：-8x＞8
系数化为1，得：x＜-1．
【解析】【分析】（1）先去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤解方程即可；
（2）先去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤解此不等式即可。
18．解不等式组： ，并写出它的所有整数解.
【答案】解：解不等式（1），得
解不等式（2），得x≤2
所以不等式组的解集：－3＜x≤2
它的整数解为：－2，－1，0，1，2
【解析】【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集；再确定解集中的所有整数解即可.
19．为确保“双减”落地，某校在课后服务中开设了丰富多彩的选修课．面塑组的同学精心制作了一批“冰墩墩 雪容融”面偶，在校园义卖中大受欢迎．已知面偶的义卖价格如下表所示（大小面偶均整对出售），八年级一班的同学集资300元，计划购买大，小号“冰墩墩 雪容融”面偶共25对，他们最多能买多少对大号面偶
类型 大号 小号
价格 15元/对 10元/对
【答案】解：设可以购买大号面偶x对，则可以购买小号面偶（25-x）对，根据题意得：
，
解得：，
答：他们最多能买10对大号面偶．
【解析】【分析】设可以购买大号面偶x对，则可以购买小号面偶（25-x）对，根据题意列出不等式，再求解即可。
20．（1）解方程：．
（2）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【答案】（1）解：两边同时乘6，得：
4x-1=6-2（3x-1）
整理得：10x=9
解得：x=
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
【解析】【分析】(1)根据解一元一次方程的步骤解答即可.
（2）本题考查解一元一次方程和解不等式组.把两个不等式逐一求解，根据不等式求解口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”，求出不等式组的解集，表示在数轴上，要注意空心不取等号，实心取等号.
21．已知关于的方程组的解都为正数.
（1）求a的取值范围.
（2）在（1）的条件下，已知的解是，求整数的值.
【答案】（1）解：解这个方程组的解为：
由题意，得
则原不等式组的解集为a＞1
（2）解：∵ax-3x>a-3的解为x<1
∴a-3<0
∵a<3，
∴1＜a＜3
故整数a的值为2
【解析】【分析】（1）先解这个方程组得到：，再根据方程组的解均为正数得到：解此不等式组即可；
（2）根据题意列出关于a的不等式a-3<0，进而即可求出a的取值范围.
22．某网店推出甲、乙两种纪念文化衫，已知每件甲种纪念文化衫的进价比乙种纪念文化衫多元，若该网店进购20件甲种纪念文化衫和件乙种纪念文化衫，共需资金元．
（1）甲、乙两种纪念文化衫每件的进价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过元购进甲、乙两种纪念文化衫共件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，则该网店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
【解析】【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，解题需先列方程求进价，再列不等式组求进货方案数。
(1)设甲种文化衫进价为元，根据甲比乙贵10元表示出乙的进价为元，结合“20件甲的进价+30件乙的进价=2200元”列出一元一次方程，解方程求出的值，进而得到乙的进价；
(2)设购进甲种文化衫件，表示出乙的数量为件，根据“总进价≤8780元”和“甲的数量>乙的数量”列出一元一次不等式组，解不等式组得到的取值范围，再根据为正整数确定进货方案的数量。
（1）解：设甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元，
由题意得：，
解得：，
元，
答：甲种纪念文化衫每件的进价是元，乙种纪念文化衫每件的进价是元；
（2）解：设购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：，
解得：，
为整数，
的值为：，，，
该网店共有3种进货方案．
23．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解为，因为，所以称方程为不等式组的“相伴方程”．
（1）下列方程是不等式组的“相伴方程”的是　 　；（填序号）
①；②；③．
（2）若关于x的方程是不等式组0的“相伴方程”，求k的取值范围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，其中，求m的取值范围．
【答案】（1）①②
（2）解：，
解得：，
解方程得：，
∵关于x的方程是不等式组的“相伴方程”，
∴，
解得：，
∴ k的取值范围是；
（3）解：解得，
解得，
∵方程，都是关于x的不等式组的“相伴方程”，，
所以分为两种情况：①当时，则，
∴不等式组为，
此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去；
②当时，不等式组的解集是，
所以根据题意得：，
解得：，
所以m的取值范围是．
【解析】【解答】解：（1），解得，
当时，解得：；
当时，解得：；
当时，解得：，
∵，，，
∴①②是不等式组的“相伴方程”；
故答案为：①②；
【分析】（1）先求出不等式组的解，再求出①②③方程的解，进行逐一判断即可；
（2）先求出不等式组的解，再求出的解，最后根据“相伴方程”列出不等式求解即可；
（3）先分别求出方程的解，分当时和时两种情况求解即可.
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