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因式分解 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （　　）
A． B． C． D．
2．下列变形中错误的是（　　）
A．2x2+4x﹣2=2（x+1）2﹣4
B．（2a+3b）（2a﹣3b）=4a2﹣9b2
C．（3x﹣1）（6x+2）=2（3x﹣1）（3x+1）
D．（2a﹣5b）2=4a2﹣25b2
3．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(　　)
A．15 B．30 C．60 D．78
4．分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（　　）
A．（a﹣1）2﹣b2 B．a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）
C．（a+b﹣1）（a﹣b﹣1） D．（a+b）（a﹣b）﹣2a+1
5．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）
6．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
7．下列多项式中，不能因式分解的是（　　）
A．a2+1 B．a2﹣6a+9 C．a2+5a D．a2﹣1
8．对于①，②，从左到右的变形，下面的表述正确的是（　　）．
A．①②都是因式分解 B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
9．下列各式中，不含因式a+1的是（　　）
A．a2﹣1 B．2a2+4a+2 C．a2+a﹣2 D．a2﹣2a﹣3
10．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法：
① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解2a﹣8a3＝　 　．
12．若有一个因式是，则k的值是　 　.
13．在实数范围内分解因式：x4﹣9=　 　．
14．已知，边长分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为12，则a2b+ab2的值为　 　
15．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=　 　．
16．已知正整数a，b，c，d满足：，，，则这样的4元数组（a，b，c，d）共有　 　组。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用待定系数法因式分解.关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明：因式分解：
解：观察可知当x=1时，原式=0，因此原式可分解为(x-1)与另一个整式的积.令
而
∵等式两边x同次幂的系数相等，
解得
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若x+1是多项式 的因式，求a 的值，并将多项式 因式分解；
（2）若多项式 含有因式x+1及x-2，求a，b的值.
18． 已知．
（1）当时，求的值．
（2）试说明无论取何值时，．
19．对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知 ，，
①求a、b的值；
②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围；
（2）若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？
20．分解因式
①﹣a2+2ab﹣b2
②x2y﹣2xy2+xy
③16x4﹣72x2+81
④（a﹣b）3c﹣2（a﹣b）2c+（a﹣b）c．
21．如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形．
（1）观察图形，代数式可因式分解为　 　；
（2）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
用含，的代数式表示，；
若，求的值．
22． 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
23．用配方法解决下列问题：
（1） 　 　　 　
（2）分解因式： ．
（3） 当 为何值时，多项式 有最大值 并求出这个最大值．
（4） 当 为何值时，多项式 有最小值， 并求出这个最小值．
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因式分解 单元综合知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、=（x+3）2，故符合题意；
B、，平方项异号，不能完全平方公式进行因式分解，故不符合题意；
C、，不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意；
D、，只有两项， 不符合完全平方公式的特征， 故不符合题意.
故答案为：A.
【分析】能用完全平方公式分解因式的式子需要满足：①三项式，②其中两项能写成一个整式的完全平方且符号相同，③剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项分析即可.
2．下列变形中错误的是（　　）
A．2x2+4x﹣2=2（x+1）2﹣4
B．（2a+3b）（2a﹣3b）=4a2﹣9b2
C．（3x﹣1）（6x+2）=2（3x﹣1）（3x+1）
D．（2a﹣5b）2=4a2﹣25b2
【答案】D
【解析】【解答】解：A、2x2+4x﹣2=2（x+1）2﹣4，此选项正确不合题意；
B、（2a+3b）（2a﹣3b）=4a2﹣9b2，此选项正确不合题意；
C、（3x﹣1）（6x+2）=2（3x﹣1）（3x+1），此选项正确不合题意；
D、（2a﹣5b）2=4a2+25b2﹣20ab，此选项不正确符合题意．
故选：D．
【分析】分别利用乘法公式以及整式的乘法运算和因式分解法分析得出即可．
3．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为(　　)
A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选：D．
【分析】本题考查了对因式分解方法，以及代数式求值，化简a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]，将a+b＝5，ab＝6，代入计算，即可求解.
4．分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（　　）
A．（a﹣1）2﹣b2 B．a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）
C．（a+b﹣1）（a﹣b﹣1） D．（a+b）（a﹣b）﹣2a+1
【答案】C
【解析】【解答】解：原式=（a﹣1）2﹣b2
=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．
故选C．
【分析】多项式前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可得到结果．
5．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 B．x2﹣2x+1=x（x﹣2）+1
C．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y） D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）
【答案】D
【解析】解：A、和因式分解正好相反，故不是分解因式；
B、结果中含有和的形式，故不是分解因式；
C、x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），解答错误；
D、是分解因式．
故选：D．
【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答．
6．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】A
【解析】【解答】解：①2x2﹣x=x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x=﹣（4x2﹣4x+1）=﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故答案为：A
【分析】根据提取公因式法和公式法把各项分解因式，找出含有相同因式的式子即可.
7．下列多项式中，不能因式分解的是（　　）
A．a2+1 B．a2﹣6a+9 C．a2+5a D．a2﹣1
【答案】A
【解析】【解答】解：A. 原式不能分解，符合题意；
B. 原式 不符合题意；
C. 原式=x(x+5)，不不符合题意；
D. 原式 ，不符合题意。
故答案为：A.
【分析】因式分解首选的方法就是提公因式法，此方法适合C答案；其次是利用公式法，对于一个二项式如果满足两项的符号相反，其每一项都能写成一个整式的完全平方，那么该二项式可以利用平方差公式法，此方法适合于答案D；对于一个三项式，如果满足有两项能写成一个整式的完全平方，且它们的符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积的2倍，那么这个三项式可以利用完全平方公式分解因式，此方法适合答案B，综上所述即可得出答案。
8．对于①，②，从左到右的变形，下面的表述正确的是（　　）．
A．①②都是因式分解 B．①②都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【解析】【解答】解： ①属于因式分解，
，②属于整式的乘法；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解的定义、整式的乘法进行判断即可.
9．下列各式中，不含因式a+1的是（　　）
A．a2﹣1 B．2a2+4a+2 C．a2+a﹣2 D．a2﹣2a﹣3
【答案】C
【解析】【解答】解：A．a2﹣1=（a+1）（a﹣1），故此选项错误；
B.2a2+4a+2=2（a2+2a+1）=2（a+1）2，故此选项错误；
C．a2+a﹣2=（a﹣1）（a+2），故此选项正确；
D．a2﹣2a﹣3=（a+1）（a﹣3），故此选项错误；
故选：C．
【分析】分别利用十字相乘法以及公式法、提取公因式法分解因式进而判断得出答案．
10．任何一个正整数 都可以进行这样的分解： （ 、 是正整数，且 ），如果 在 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称 是 的最佳分解，并规定： .例如18可以分解成 ， ， 这三种，这时就有 ，给出下列关于 的说法：
① ；② ；③ ；④若 是一个完全平方数，则 ，其中正确说法的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是2的最佳分解，
∴ ，即①正确；
∵ ， ， ， ， ，
∴ 是48的最佳分解，
∴ ，即②错误；
∵ ，
∴ ，即③正确；
若 是一个完全平方数，则设 （ 是正整数），
∴ ，即④正确；
综上所述，①③④正确，共三个，
故答案为：B.
【分析】分别将①②③④中的数或式子进行分解，根据最佳分解的定义进行判断即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．因式分解2a﹣8a3＝　 　．
【答案】2a (1+2a)(1-2a)
【解析】【解答】解： 2a﹣8a3＝2a(1-4a2)=2a(1+2a)(1-2a)，
故答案为：2a (1+2a)(1-2a).
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可.
12．若有一个因式是，则k的值是　 　.
【答案】1
【解析】【解答】解：设另一个因式是，
则，
∴，，
解得：，．
故答案为：1.
【分析】设另一个因式是，根据多项式乘法展开，再利用对应项的系数相等列方程求解．
13．在实数范围内分解因式：x4﹣9=　 　．
【答案】（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）
【解析】【解答】解：x4﹣9=（x2）2﹣32=（x2﹣3）（x2+3）=（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）．
故答案为：（x﹣ ）（x+ ）（x2+3）．
【分析】根据平方差公式将x4﹣9写成（x2）2﹣32的形式，再利用平方差公式进行分解．
14．已知，边长分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为12，则a2b+ab2的值为　 　
【答案】84
【解析】【解答】解：根据题意，可得：a+b=7，ab=12，
∴a2b+ab2=ab（a+b）=12×7=84．
故答案为：84．
【分析】根据矩形的周长和面积，表示出a+b，ab的值，再将a2b+ab2因式分解，然后代入计算即可．
15．因式分解：a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=　 　．
【答案】（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】由题意，先提公因式，再用平方差公式分解即可。
16．已知正整数a，b，c，d满足：，，，则这样的4元数组（a，b，c，d）共有　 　组。
【答案】504
【解析】【解答】解：∵ ，且a， b，c，d 是正整数，
所以a+3≤b+2≤c+1≤d.
所以 (b-a)(b+a)≥(d+c)+(b+a).
因此d-c=1，b-a=1，即d=c+1，b=a+1.
所以a+b+c+d=a+(a+1)+c+(c+1)=2022，因此a+c=1010.又a+2≤c，
所以1010=a+c≥a+(a+2)，因此1≤a≤504.
所以符合条件的4元数组(a、b、c、d)为(a、a+1、1010-a、1011-a)，其中1≤a≤504.
所以符合条件的4元数组有504组.
故答案为：504.
【分析】根据题意得到2022=(d-c)(d+c)+(b-a)(b+a)≥(d+c)+(b+a)=2022，则d-c=1，b-a=1，代入a+b+c+d=2022得a+c=1010，又根据a+2≤c，得到1≤a≤504，求出正整数a的整数解的的个数解答即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用待定系数法因式分解.关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明：因式分解：
解：观察可知当x=1时，原式=0，因此原式可分解为(x-1)与另一个整式的积.令
而
∵等式两边x同次幂的系数相等，
解得
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）若x+1是多项式 的因式，求a 的值，并将多项式 因式分解；
（2）若多项式 含有因式x+1及x-2，求a，b的值.
【答案】（1）解：∵x+1是多项式 的因式，
∴当x=-1时，
∴-1-a+1=0，
∴a=0.
令
而
∵等式两边x同次幂的系数相等，
解得
（2）解：∵多项式 含有因式x+1和x-2，
∴当x=-1和x=2时，多项式 的值为0，
则
解得
【解析】【分析】(1)先根据因式的定义，若x+1是因式，则x=-1时多项式值为0，代入方程求出a=0；再用待定系数法，设x3+1=(x+1)(x2+bx+c)，展开后根据对应项系数相等列方程组，解出b=-1，c=1，因式分解得到；
(2)先根据因式的定义，若x+1和x-2是因式，则x=-1和x=2时多项式值为0，分别代入多项式得到关于a，b的二元一次方程组；再用消元法解方程组，求出a=8，b=-39．
18． 已知．
（1）当时，求的值．
（2）试说明无论取何值时，．
【答案】（1）解：由题意得：
解得：
（2）证明：
【解析】【分析】(1)根据题意列出方程，解方程得到答案；
(2)把N-M利用配方法变形，再根据偶次方的非负性证明.
19．对于x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
（1）已知 ，，
①求a、b的值；
②若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求有理数p的取值范围；
（2）若对任意有理数x，y都成立，则a、b应满足怎样的关系式？
【答案】（1）解：①根据题意得：；，
∴，
解得：，
②根据题意得：
由①得：，
由②得：，
∵关于m的不等式组恰好有4个整数解
∴，
∴；
（2）解：∵对任意有理数x，y都成立，
∴
∴
∴，即．
【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解和因式分解的应用，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则．
（1）①根据新定义得到；，建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有4个整数解得出不等式组，求解不等式组即可；
（2）根据新定义得到，移项后进行因式分解得到，据此可得答案．
（1）解：①根据题意得：；，
解得：，
②根据题意得：
由①得：，
由②得：，
∵关于m的不等式组恰好有4个整数解
∴，
∴；
（2）解：∵对任意有理数x，y都成立
∴
∴
∴，即．
20．分解因式
①﹣a2+2ab﹣b2
②x2y﹣2xy2+xy
③16x4﹣72x2+81
④（a﹣b）3c﹣2（a﹣b）2c+（a﹣b）c．
【答案】解：①﹣a2+2ab﹣b2=﹣（a﹣b）2；
②x2y﹣2xy2+xy=xy（x﹣2y+1）；
③16x4﹣72x2+81=（4x2﹣9）2=（2x+3）2（2x﹣3）2；
④（a﹣b）3c﹣2（a﹣b）2c+（a﹣b）c=（a﹣b）c[（a﹣b）2﹣2（a﹣b）+1]=c（a﹣b）（a﹣b﹣1）2
【解析】【分析】根据因式分解的方法由完全平方公式a22ab+b2=(ab)2和提取公因式、平方差公式分解即可.
21．如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成块，其中有两块是边长为的正方形，一块是边长为的正方形．
（1）观察图形，代数式可因式分解为　 　；
（2）图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
用含，的代数式表示，；
若，求的值．
【答案】（1）（2x+y)(x+y)
（2）解：观察图形，得：，；
，
∴3xy-2x2-y2=2x2-xy，
整理，得：4x2-4xy+y2=0
即(2x-y)2=0，
∴2x-y=0，
，
．
【解析】【解答】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为x的正方形，1块是边长为y的正方形，3块是长为y，宽为x的长方形，
∴长方形纸片的面积为：2x2+3xy+y2，
∵长方形纸片的长为：，宽为，
∴长方形纸片的面积为：（2x+y)(x+y)，
∴2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，
∴代数式2x2+3xy+y2因式分解为（2x+y)(x+y)；
故答案为：（2x+y)(x+y).
【分析】（1）用两种方式计算长方形纸片的面积，即可得到2x2+3xy+y2=（2x+y)(x+y)，即可求解；
（2）①根据图形的特征，直接计算即可；②根据，可得4x2-4xy+y2=0，从而得到y=2x，再代入所求的代数式，即可求解．
22． 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码．
（1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码．
（2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：
=x(3x-y)(3x+y)，
当x=10， y=10时，
3x-y=3×10-10=20，
3x+y=3×10+10=40，
这个个六位数密码是102040.（答案不唯一）
（2）解：能，理由为：
因为x = 25， 这个六位数密码为242527，
24=25-1，
所以其中一个因式是(x-1)，
27=25+2，
所以另外一个因式是(x+2)，
所以 -2x，
所以p=1， q=-2.
【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可；
(2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q.
23．用配方法解决下列问题：
（1） 　 　　 　
（2）分解因式： ．
（3） 当 为何值时，多项式 有最大值 并求出这个最大值．
（4） 当 为何值时，多项式 有最小值， 并求出这个最小值．
【答案】（1）9；2
（2）
（3）原式
， 即 ．
故当 时， 多项式 有最大值， 最大值为 10
（4）
当 时，多项式 有最小值，最小值为 4 ．
【解析】【解答】解：（1）∵
∴第一空 9；
又∵
∴第二空2；
故答案为：9；2.
故 当 时，多项式 有最小值，最小值为 4 ．
【分析】（1）①由差的完全平方式可得结果；②由配方法的步骤：先二次项系数化为1再加上一次项系数一半的平方最后凑完全平方式可得结果；
（2）由配方法的步骤：①二次项系数化为1②加上一次项系数一半的平方③凑完全平方式可得把原式分组分解，把（x+2）作为一个整体，再根据平方差公式即可得结果；
（3）由(2)可把原式化为完全平方式和常数的和，根据偶次方结果非负，则偶次方的相反数非正，可得最值；
（4）在多项式中，可分组成两组完全平方式和常数的和，再根据偶次方结果非负，可得最值.
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