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分式 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
2．解方程 ﹣3去分母得（　　）
A．1=1﹣x﹣3（x﹣2） B．1=x﹣1﹣3（2﹣x）
C．1=x﹣1﹣3（x﹣2） D．﹣1=1﹣x﹣3（x﹣2）
3．已知 a 是实数，若分式方程 有增根，则a 的值为 （　　）
A．6 B．3 C．0 D．-3
4．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2
C．2a2 a3=2a6 D．
5．分式方程的解是（　　）
A． B．3 C．1 D．2
6．某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④．
则正确化简步骤的顺序是（　　）
A．①→③→④→② B．③→①→④→②
C．③→④→①→② D．①→④→③→②
9．若于 的不等式组 有且仅有5个整数解，且关于 的分式方程 有非负整数解，则满足条件的所有整数 的和为（　　）
A．12 B．14 C．18 D．24
10．已知关于x的分式方程 = 的解是非负数，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是　 　．
12．计算： 　 　.
13．不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有　 　个．
14．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是　 　．
15．设A、B、C为三个连续的正偶数，若A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍．设B数为 ，则所列方程是　 　．
16．若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解方程（组）：
（1）
（2）
18．2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
19．某社区拟建A，B两类摊位，每个类推位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米.建类推位每平方米的费用为40元，建类推位每平方米的费用为30元.用60平方米建的类推位的个数恰好是用同样面积建的类摊位个数的.
（1）求每个A，B类推位占地面积各为多少平方米.
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类推位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
20． 2025年， DeepSeek 掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”。已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移100TB数据比乙数据中心迁移30TB 数据所需时间少5小时。
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位： TB/小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用8小时至少完成56TB的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
21．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道．
（1）为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，预计每天工作效率比原计划增加，这样可提前天完成任务，求原计划每天需要铺设多长管道？
（2）按原计划工作效率施工，每天需要支付万元施工费；按增效施工，每天需支付万元施工费在条件下，若完成工程所需施工费用不超过万元，求按原计划工作效率施工至少多少天？
22．汕尾市某中学为了丰富学生的课外体育活动，购买了篮球和足球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
（1）求足球的单价；
（2）如果该校计划用1350元去购买一批总数为20个的篮球和足球，最多能购买篮球多少个？
23．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
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分式 单元专项培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的吋间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间. 设规定时间为x天，则可列方程为（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】设规定时间为x天，则慢马的时间为（x+1）天，快马的时间是（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】设规定时间为x天，得到慢马和快马所需要的时间，根据速度关系即可列出方程.
2．解方程 ﹣3去分母得（　　）
A．1=1﹣x﹣3（x﹣2） B．1=x﹣1﹣3（2﹣x）
C．1=x﹣1﹣3（x﹣2） D．﹣1=1﹣x﹣3（x﹣2）
【答案】C
【解析】【解答】 解：方程两边都乘（x﹣2），得1=x﹣1﹣3（x﹣2）．故选C．
【分析】本题的最简公分母是（x﹣2）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程．
3．已知 a 是实数，若分式方程 有增根，则a 的值为 （　　）
A．6 B．3 C．0 D．-3
【答案】A
【解析】【解答】解：
方程两边同时乘以(x+2)得3x+a=x+2，
∵方程 有增根，
∴x+2=0，
解得x=-2，
将x=-2代入3x+a=x+2，得-6+a=0，
解得a=6.
故答案为：A.
【分析】首先方程两边同时乘以(x+2)约去分母，将分式方程转化为整式方程为3x+a=x+2；根据分式方程的增根就是使最简公分母为零的根可得x=-2，再根据分式方程的增根是将分式方程去分母所得的整式方程的根，故将x=-2代入3x+a=x+2，可求出a的值.
4．下列运算正确的是（　　）
A．（﹣a3）2=﹣a6 B．2a2+3a2=6a2
C．2a2 a3=2a6 D．
【答案】D
【解析】【解答】A、（-a3）2=a6，不符合题意；
B、2a2+3a2=5a2，不符合题意；
C、2a2 a3=2a5，不符合题意；
D、( ，符合题意；
故答案为：D．
【分析】积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；合并同类项的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变；单项式乘以单项式，把系数和相同字母分别相乘；分式的乘方，等于把分子分母分别乘方，利用法则，即可一一判断。
5．分式方程的解是（　　）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】A
【解析】【解答】解：将分式方程去分母得
，
移项并合并同类项得
，
经检验，是原分式方程的根，
所以原分式方程的解是.
故答案为：A.
【分析】方程两边同时乘以x（x-3），将分式方程转化为整式方程，再求出整式方程的解，检验即可.
6．某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设平均每天耕作水田x亩，根据题意得
.
故答案为：D.
【分析】此题的等量关系为：每天平均耕作旱地的亩数=耕作水田的亩数+4；30÷每天平均耕作旱地的亩数×2=36÷每天耕作水田的亩数，据此列方程即可.
7．化简 的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： = = ．
故答案为：B．
【分析】先将分子、分母分别利用提公因式与平方差公式的方法进行因式分解，然后进行约分即可.
8．以下是代数式排乱的化简步骤：
①；
②；
③；
④．
则正确化简步骤的顺序是（　　）
A．①→③→④→② B．③→①→④→②
C．③→④→①→② D．①→④→③→②
【答案】C
【解析】【解答】
解：
　 ③
　　　　 ④
　　　 ①
　　　　　　　　　 ②
故答案为：C
【分析】
根据分式的运算方法可得出正确的顺序
9．若于 的不等式组 有且仅有5个整数解，且关于 的分式方程 有非负整数解，则满足条件的所有整数 的和为（　　）
A．12 B．14 C．18 D．24
【答案】B
【解析】【解答】解：解 的不等式组
得
>
∵关于 的不等式组 有且仅有5个整数解，即0、1、2、3、4
∴
解关于 的分式方程
已知关于 的分式方程 有非负整数解
∴ 且
所以 且
又∵ 是非负整数，
∴ 为偶数
综上所述，满足条件的所有整数 为6、8，它们的和为14
故答案为：B.
【分析】根据已知 的不等式组 可解出 的取值范围，且仅有5个整数解，可确定 可能取的值，即可求得 的取值范围，再根据关于 的分式方程 有非负整数解，可确定 的取值范围，综合所有 的取值范围得出 最终可取的值，求和得答案.
10．已知关于x的分式方程 = 的解是非负数，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1
【答案】C
【解析】【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3，
9x﹣3a=x﹣3，
8x=3a﹣3
∴x= ，
由于该分式方程有解，
令x= 代入x﹣3≠0，
∴a≠9，
∵该方程的解是非负数解，
∴ ≥0，
∴a≥1，
∴a的范围为：a≥1且a≠9，
故答案为：C
【分析】求方程中待定字母的范围问题可去分母，用待定字母的式子表示未知数，由“该方程的解是非负数解”，包含两层含义：1.有解.即解不能使分母为0，也就是说使分母为0的那个解对应的a值应去掉；2.解≥0；二者结合即为范围.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是　 　．
【答案】x=4
【解析】【解答】∵分式方程有增根，
∴x-4=0，
∴x=4，
故答案为：x=4.
【分析】利用分式方程的增根的定义求解即可。
12．计算： 　 　.
【答案】
【解析】【解答】
故填：
【分析】根据分式的乘法运算法则即可得到结果．
13．不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有　 　个．
【答案】6
【解析】【解答】解：设袋中有x个红球，由题意得，
解得x=6，
经检验，x=6为原方程的解，
故答案为：6
【分析】设袋中有x个红球，根据等可能事件的概率即可列出分式方程，进而即可求解。
14．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是　 　．
【答案】且
【解析】【解答】解：方程两边同乘，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得
∵关于x的分式方程的解为非负数，，
∴，解得且．
故答案为：且.
【分析】方程两边同乘x-1，然后去括号、移项、合并同类项、系数化为1，得，根据分式方程的解为非负数可得x≥0且x-1≠0，联立求解可得a的范围.
15．设A、B、C为三个连续的正偶数，若A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍．设B数为 ，则所列方程是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 设B数位x，则A数为x-2.C数为x+2，根据甲数的倒数与丙数的倒数的2倍之和等于乙数的倒数的3倍.列出方程
故答案为：
【分析】先分别表示出A、B两数，再根据A的倒数与C的倒数的2倍之和等于B的倒数的3倍，列方程即可。
16．若关于x的不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为　 　.
【答案】16
【解析】【解答】
解：
由①得：x＜4；
由②得：x≥；
∵ 此不等式组至少有2个整数解
∴≤2
解得：a≤8
解分式方程
a-1=2（y-1）+3
2y=a-2
解得y=
∵ 关于y的分式方程的解为非负整数
∴≥0，且≠1，a-2是整数
∴ a≥2，且a≠4，a是偶数
综上，2≤a≤8，且a≠4，a是偶数
∴ 所有满足条件的整数a的值之和为 2+6+8=16
故答案为：16
【分析】本题考查不等式组的特殊解，分式方程的特殊解，正确求解不等式组，分式方程，结合要求得出a的范围是解题关键。先解不等式组，得a≤8；再解分式方程，得a≥2且a≠4，a是偶数，则符合条件的a的范围是2≤a≤8，且a≠4，a是偶数，得整数a的确定值为2，6，8，求和即可。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 解方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由得
把代入，得
把代入得
原方程组的解为.
（2）解：
经检验，是方程的根.
【解析】【分析】(1)利用代入消元法消去y求得x值，再把代入原方程得，进而解得方程组的解.
(2)先利用等式的基本性质在方、程的两边同时乘以公分母(1-x)，再通过移项、合并同类项求得方程的解.
18．2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．
（1）“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？
（2）该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元，
依题意得，
解得．
经检验，是原分式方程的解.．
答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元．
（2）解：∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个，
．
∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的．
，
解得：．
，．
∴当时，（元），
即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元．
【解析】【分析】(1)设“神舟”模型的进价是x元，则“天宫”模型的进价是( 元，根据同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个，列出方程，解方程即可；
(2)根据题意列出函数解析式，根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的 ，求出自变量的取值范围，再根据函数的性质求最值.
19．某社区拟建A，B两类摊位，每个类推位的占地面积比每个类摊位的占地面积多2平方米.建类推位每平方米的费用为40元，建类推位每平方米的费用为30元.用60平方米建的类推位的个数恰好是用同样面积建的类摊位个数的.
（1）求每个A，B类推位占地面积各为多少平方米.
（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且类摊位的数量不少于类推位数量的3倍.求建造这90个摊位的最大费用.
【答案】（1）解：设每个 类推位的占地面积为 平方米，则每个 类推位占地面积为 平方米，
根据题意， 得 ，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
所以 ．
答： 每个 类 位占地面积为 5 平方米， 每个 类推位的占地面积为 3 平方米．
（2）解：设建 摊位 ( 为整数) 个， 则建 推位 个，
根据题意， 得 ，
解得 ，
建 类摊位每平方米的费用为 40 元， 建 类摊位每平方米的费用为 30 元，
要想使建造这 90 个摊位有最大费用， 要多建造 类摊位，
即 取最大值 22 时， 费用最大，
此时最大费用为： ．
答： 建造这 90 个摊位的最大费用是 10520 元．
【解析】【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x＋2）平方米，根据题意列出等量关系，再列出方程即可得出答案．
（2）设建A摊位a个，则建B摊位（90-a）个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式，解答即可得出答案．
20． 2025年， DeepSeek 掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”。已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移100TB数据比乙数据中心迁移30TB 数据所需时间少5小时。
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位： TB/小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用8小时至少完成56TB的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
【答案】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为xTB/小时，则甲数据中心的数据迁移速度为5xTB/小时，由题意得：
解得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，且符合题意，
答：甲数据中心的数据迁移速度为10TB/小时，乙数据中心的数据迁移速度为2TB/小时；
（2）解：设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8-y)小时，
由题意得：10y+2(8-y)≥56，
解得：y≥5，
答：甲数据中心至少需要工作5小时.
【解析】【分析】(1)设乙数据中心的数据迁移速度为xTB/小时，则甲数据中心的数据迁移速度为5xTB/小时，根据甲数据中心迁移100TB数据比乙数据中心迁移30TB数据所需时间少5小时，列出分式方程，解分式方程即可；
(2)设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8-y)小时，根据至少完成56TB的数据迁移，结合 (1)的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可.
21．某市为治理污水，需要铺设一段全长为的污水排放管道．
（1）为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，预计每天工作效率比原计划增加，这样可提前天完成任务，求原计划每天需要铺设多长管道？
（2）按原计划工作效率施工，每天需要支付万元施工费；按增效施工，每天需支付万元施工费在条件下，若完成工程所需施工费用不超过万元，求按原计划工作效率施工至少多少天？
【答案】（1）解：设原计划每天需要铺设长管道，则增效后每天需要铺设长管道，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每天需要铺设长管道；
（2）解：由可知，，
设按原计划工作效率施工天，则增效施工天，
由题意得：，
解得：，
答：按原计划工作效率施工至少天．
【解析】【分析】（1）设原计划每天需要铺设长管道，则增效后每天需要铺设长管道，根据题意即可列出分式方程，从而即可求解；
（2）先根据可知，，设按原计划工作效率施工天，则增效施工天，根据“按原计划工作效率施工，每天需要支付万元施工费；按增效施工，每天需支付万元施工费在条件下，若完成工程所需施工费用不超过万元”即可列出不等式，从而即可求出a的取值。
22．汕尾市某中学为了丰富学生的课外体育活动，购买了篮球和足球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．
（1）求足球的单价；
（2）如果该校计划用1350元去购买一批总数为20个的篮球和足球，最多能购买篮球多少个？
【答案】（1）解：设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：足球的单价为30元；
（2）解：由（1）足球的单价为30元，篮球的单价为90元，
设购买篮球x个，则购买足球个，
由题意，得，
解得．
∵x为整数，
∴x的最大值为12．
答：篮球最多可购买12个．
【解析】【分析】（1）设足球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买篮球x个，则购买足球个，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
23．甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，已知甲队单独完成这项工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的倍；若由甲队先单独施工天，乙队再加入，两队还需同时施工天，才能完成这项工程．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为元，乙队每天的施工费用为元，若该工程由甲、乙两工程队合作完成，则所需的施工费用是多少元？
【答案】（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天.
（2）解：根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
【解析】【分析】
（1）设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的分式方程，求解并检验，即可解答；
（2）利用总施工费用两队每天所需施工费用之和两队合作完成工程所需时间，即可解答.
（1）解：设乙队单独完成这项工程需天，则甲队单独完成这项工程需天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴．
答：甲队单独完成这项工程需天，乙队单独完成这项工程需天；
（2）根据题意得：（元）．
答：所需的施工费用是元．
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