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分式 单元综合模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
2．某市政部门计划对一段长为6000m的道路进行整修改造，为尽可能减少施工对交通所造成的影响，在施工过程中增加机械和人力，每天比原计划多修250m，结果提前4天完成任务，设原计划每天施工xm，那么根据题意，可列方程为（　　）
A． ﹣ =4 B． ﹣ =4
C． ﹣ =4 D． ﹣ =4
3．若分式 的值等于0，则x的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
4．现有A、B两工厂每小时一共能做9000个N95口罩，两个工厂运作相同的时间后.得到A工厂做的960个口罩，B工厂做的840个口罩，设A工厂每小时能做x个口罩，根据题意列出分式方程正确的是（　　）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
5．化简：﹣的结果是（　　）
A．m+n B．m﹣n C．n﹣m D．﹣m﹣n
6．为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8． （　　）
A．0 B．0或-2 C．-2 D．0或2
9．如图，若x为正整数，则表示的值的点可能落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
10．已知实数两两不相等，若，则（　　）
A．-1 B．0 C． D．1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣 个物件，则可列方程方程为　 　.
12．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　 　．
13．已知，则　 　．
14．已知 ，则 =　 　．
15．分式方程 的解为　 　.
16．已知关于的分式方程无解，则的值为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式
解：
（1）上面的运算过程中第　 　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
19．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的解是，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
20．为迎接第16届体艺文化节，重庆外国语学校在广告公司制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的1.5倍，甲组完成2400个吉祥物比乙组完成2160个吉祥物多用2天．
（1）甲、乙两组每天各完成多少个吉祥物？
（2）学校两校区共需要制作13296个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成20m个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过8天，则m的值至少为多少？
21．先化简，再求值：，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下：
解：①
②
③
④
⑤
当x＝3时，原式＝1．
（1）小乐同学的解答过程中，第　 　步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
22．阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得，
，得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
23．设为正整数，，，，
．
（1）求的值；
（2）若，求正整数、的值．
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分式 单元综合模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】解：分式中的x，y都扩大到原来的2倍，那么新分式为，
所以分式的值扩大为原来的2倍.
故答案为：A.
【分析】分别利用2x、2y代替原分式中的x、y，可得，然后化简即可.
2．某市政部门计划对一段长为6000m的道路进行整修改造，为尽可能减少施工对交通所造成的影响，在施工过程中增加机械和人力，每天比原计划多修250m，结果提前4天完成任务，设原计划每天施工xm，那么根据题意，可列方程为（　　）
A． ﹣ =4 B． ﹣ =4
C． ﹣ =4 D． ﹣ =4
【答案】C
【解析】【解答】解：设原计划每天施工xm，则实际每天施工（x+250）m，
由题意得， ﹣ =4．
故选C．
【分析】设原计划每天施工xm，则实际每天施工（x+250）m，根据题意可得，实际比原计划少用4天完成任务，据此列方程即可．
3．若分式 的值等于0，则x的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 分式 的值等于0 ，
∴|x|-1=0且x+1≠0
∴x=±1且x≠-1
∴x=1.
故答案为：C.
【分析】根据分式值为0的条件：分子等于0且分母不为0，由此建立关于x的不等式和方程，可求出x的值。
4．现有A、B两工厂每小时一共能做9000个N95口罩，两个工厂运作相同的时间后.得到A工厂做的960个口罩，B工厂做的840个口罩，设A工厂每小时能做x个口罩，根据题意列出分式方程正确的是（　　）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】A
【解析】【解答】解：设A工厂每小时能做x个口罩，则B工厂每小时能做（9000﹣x）个口罩，
依题意，得： ＝ .
故答案为：A.
【分析】设A工厂每小时能做x个口罩，则B工厂每小时能做（9000﹣x）个口罩，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合A工厂做960个口罩和B工厂做840个口罩所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解.
5．化简：﹣的结果是（　　）
A．m+n B．m﹣n C．n﹣m D．﹣m﹣n
【答案】A
【解析】【解答】解：﹣
=
=
=m+n．
故选A．
【分析】本题需先把分母进行整理，再合并即分子分母进行约分．即可求出所要求的结果．
6．为保证达万高速公路在2012年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用10天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用40天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务．若设规定的时间为x天，由题意列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则
甲队单独一天完成这项工程的 ，
乙队单独一天完成这项工程的 ，
甲、乙两队合作一天完成这项工程的 ．
则 + = ．
故选B．
【分析】设规定的时间为x天．则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单独完成这项工程所需时间是（x+40）天．根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前14天完成任务，列方程为 + = ．
7．关于x的方程，有整数解，则满足条件的整数m的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：
方程两边同乘得：
移项合并同类项得：
解得：
∵方程有整数解，且m也为整数，
∴2-m=±1或2-m=±2，且，
∴m的值为3、0、4.
故答案为：C．
【分析】将m作为参数，解分式方程，用含m的式子表示出x，然后根据分式方程的解为整数且m为整数列出关于字母m的混合组，求解即可得出m的值.
8． （　　）
A．0 B．0或-2 C．-2 D．0或2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得a=±b，
当a=b时， =12019-12020=0；
当a=-b时，=（-1）2019-（-1）2020=-1-1=-2.
故答案为：B。
【分析】将分式方程去分母后，再利用完全平方公式的恒等变形得出，故a=±b，然后分两种情况代入代数式，按有理数的混合运算算出答案即可。
9．如图，若x为正整数，则表示的值的点可能落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】B
【解析】【解答】解：
∵x是正整数，
∴也为正数，且x越大，x+1越大， 就越小，1-就越大，但不会大于1。
反之，x越小，1-就越小。
当x取最小值时，即x=1时，1-的最小值为0.5。
所以0.5≤＜1
故答案为：B.
【分析】化简原式，根据结果分析值的范围，从而得出结论。
10．已知实数两两不相等，若，则（　　）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：设
故答案为：B.
【分析】由于两两不相等，因此可设比值为，则可分别表示出，再求它们的和即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展.据调查，某家小型快递公司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣20个物件.若设小江每小时分拣 个物件，则可列方程方程为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：设小江每小时分拣 个物件，根据题意得： .
故答案为 .
【分析】设小江每小时分拣 个物件，分别表示出小李和小江分拣所用的时间，最后再根据“小李分拣120个物件所用的时间与小江分拣90个物件所用的时间相同”体现的等量关系即可列出方程.
12．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以得：，
解得：，
为负数，
，解得，
故答案为：．
【分析】先利用表示出的值，再由为负数求出的取值范围即可．
13．已知，则　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解： ∵
∴
∴
∴
故答案为：3
【分析】根据通分化为同分母分式，再按照分母不变，把分子相加减的方法计算得再利用多项式相等的条件即可．
14．已知 ，则 =　 　．
【答案】
【解析】【解答】由 得： ，
则 ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，3x=2y，根据分式的基本性质变形求出答案即可。
15．分式方程 的解为　 　.
【答案】x=6
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
经检验，当时，，
所以是原分式方程的解．
故答案为：x=6.
【分析】先将分式两边同时乘以(x+2)化为整式方程，解整式方程求出x的值并检验解答即可．
16．已知关于的分式方程无解，则的值为　 　.
【答案】-2或0或-1
【解析】【解答】解：当x+1=0时，x=-1，去分母，得，将x=-1代入，得，解得a=-2；
当x-1=0时，x=1，去分母，得，将x=1代入，得，解得a=0；
当x2-1≠0时，x≠1或-1，去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，当-1-a=0时，方程无解，此时a=-1.
故答案为：-2或0或-1.
【分析】分“x+1=0”、“x-1=0”、“x2-1≠0”三种情况，分别求出a的值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
18．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式
解：
（1）上面的运算过程中第　 　步出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【答案】（1）
（2）解：原式，
，
，
，
．
【解析】【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号。
故答案为③。
【分析】本题考查分式的化简。根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可。
19．已知关于x的分式方程．
（1）若分式方程的解是，求a的值；
（2）若分式方程有增根，求a的值；
（3）若分式方程无解，求a的值．
【答案】（1）解：把代入原方程得：
解得：
∴a的值是18
（2）解：方程两边同乘得：
解得：
∵原分式方程有增根
∴
解得：或
∴或(舍去)
即：
∴a的值是3．
（3）解：方程两边同乘得：
整理得(a-9)x=18，
当a-9=0时，整式方程无解，此分式方程无解，则a=9时，原分式方程无解；
当a-9≠0时，整式方程有解，分式方程无解，则此时分式方程有增根，
∴或(舍去)
即：
∴综上所述，当a的值为3或9时，原分式方程无解．
【解析】【分析】（1）根据方程根的定义，将x=2代入原分式方程，可得关于字母a的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出a的值；
（2）方程两边同时乘以最简公分母x(x+3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，将a作为常数解该关于未知数x的方程，用含a的式子表示出；根据增根就是使最简公分母为零的根，求出最简公分母为0时的x的值，代入，求解即可；
（3）根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，综合两种情况求解即可．
（1）解：把代入原方程得：
解得：
∴a的值是18
（2）方程两边同乘得：
解得：
∵原分式方程有增根
∴
解得：或
∴或(舍去)
即：
∴a的值是3．
（3）由(2)知：
当时原方程无解，则或(舍去)
即：
当时原方程无解，则
∴综上所述，当a的值为3或9时，原分式方程无解．
20．为迎接第16届体艺文化节，重庆外国语学校在广告公司制作一批吉祥物，该公司由甲乙两组共同完成制作任务，乙组每天完成的件数是甲组的1.5倍，甲组完成2400个吉祥物比乙组完成2160个吉祥物多用2天．
（1）甲、乙两组每天各完成多少个吉祥物？
（2）学校两校区共需要制作13296个吉祥物．为加快进度，甲组每天完成的个数比（1）中多完成20m个，乙组每天完成的个数也比（1）中增加了，因考虑运送等问题，该广告公司完成任务的时间不超过8天，则m的值至少为多少？
【答案】（1）解：设甲组每天完成x个吉祥物，则乙组每天完成1.5x个吉祥物，
由题意得：2，
解得：x＝480，
经检验，x＝480是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×480＝720，
答：甲组每天完成480个吉祥物，乙组每天完成720个吉祥物；
（2）解：由题意得：（480+20m）×8+720（1m%）×8≥13296，
解得：m≥15，
∴m的最小值为15，
答：m的值至少为15．
【解析】【分析】（1）核心是“工作量÷工作效率=工作时间”。已知甲组完成2400个比乙组完成2160个多用2天，且乙组效率是甲组的1.5倍。设甲组原效率为x，则乙组为1.5x，根据时间差建立分式方程求解；
（2）在已知原效率基础上，甲组效率增加20m个/天，乙组效率增加 。要求在8天内完成总量13296个，即“甲8天工作量 + 乙8天工作量 ≥ 总工作量”。据此建立关于m的一元一次不等式，求解m的最小整数值。
21．先化简，再求值：，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下：
解：①
②
③
④
⑤
当x＝3时，原式＝1．
（1）小乐同学的解答过程中，第　 　步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】（1）③
（2）
，
当x＝3时，原式．
【解析】【分析】（1）根据分式的减法进行判断即可求出答案.
（2）根据分式的减法化简，再将x=3代入即可求出答案.
22．阅读理解．
已知，求的值．
解：由，可得．
整理得，
，得．
请仿照上述方法，完成下列问题：
（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）解：
整理得
；

（2）解：
．

【解析】【分析】（1）将变形为，利用完全平方公式 ，得，然后利用整体代入的方法计算；
（2）将变形为，利用完全平方公式 ，得，然后利用整体代入的方法计算．
（1）解：
整理得
；
（2）解：
．
23．设为正整数，，，，
．
（1）求的值；
（2）若，求正整数、的值．
【答案】（1）解：∵，，
，
，
∴，
当时，；
（2）解：由（）得，，∴，，
∵，
∴，整理得，
∴
，
设，，
∴，
∴，
，
∵、为正整数，
∴、为正整数，
∴或或或，
∴或或或，
∴或或或．
【解析】【分析】本题考查了数字规律，分式的化简，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意可得出规律，然后把代入求值即可；
（）由（）得，，则，，又，两边同乘以28，得：进一步化简得：14（b-a）=（a+1）（b+1）再一步化简得：（a-13）（b+15）=194，再求其解，通过检查找其符合条件的解即可.
（1）解：∵，
，
，
，
∴，
当时，；
（2）解：由（）得，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
∴
，
设，，
∴，
∴，
，
∵、为正整数，
∴、为正整数，
∴或或或，
∴或或或，
∴或或或．
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