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因式分解 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果 是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．4 B．-4 C．± 4 D．± 8
2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．42=2×3×7
C． D．
3．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．计算：211﹣210的结果是（　　）
A．﹣210 B．2 C．-2 D．210
5．多项式x3﹣x的因式为（　　）
A．x、（x﹣1） B．（x+1）
C．x2﹣x D．以上都是
6．下列各式中，运算结果为的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若实数x，y，z满足，则下列式子一定成立的是（　　）
A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0 C．y+z-2x=0 D．z+x-2y=0
8．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　）．
A． B．
C． D．
9．下列四个等式：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次三项式是一个完全平方式，那么a的值是　 　．
12．因式分解x3+2x2y+xy2=　 　．
13． 是完全平方式，则 　 　.
14．一元二次方程x2﹣2x=0的解为　 　．
15． 若 能用完全平方公式进行因式分解， 则常数 的值是　 　
16．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
18．把下列多项式分解因式：
（1）12xy+18xy； （2）-x+xy-xz；（3）2x+6x+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由
（1）甲同学：
解：12xy+18xy=6xy（2x+3y)
（2）乙同学：
解：-x+xy-xz =-x（x-y+z)
（3）丙同学：
解：2x+6x+2x=2x（x+3x+1)
19．先化简，再求值：
（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，其中a=1，b=2．
（2）2a（a+b）﹣（a+b）2，其中a=3，b=5．
20．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解：设
原式=y (y+2) +1(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　.(填“彻底“或“不彻底“)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解
21．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图中阴影部分的正方形的边长是______．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
方法：______；方法：______．
（3）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．
22．两位同学将一个关于x的二次二项式ax2+bx+c分解因式时，甲同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），乙同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4）．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将原来的二次三项式分解因式．
23．细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
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因式分解 单元综合素养提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果 是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．4 B．-4 C．± 4 D．± 8
【答案】C
【解析】【解答】解： 是一个完全平方式，
∴
故答案为：C
【分析】根据完全平方式的定义来求解即可．
2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．42=2×3×7
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A. ∵ 是乘法运算，A不符合题意；
B. ∵42=2×3×7是分解因数，B不符合题意；
C. ∵ 是因式分解，C符合题意
D. ∵ 的右边不是积的形式，不是因式分解，D不符合题意；．
故答案为：C.
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式.
3．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、该等式是整式的乘法运算，A错误；
B、，B错误；
C、，C正确；
D、，D错误.
故答案为：C.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
4．计算：211﹣210的结果是（　　）
A．﹣210 B．2 C．-2 D．210
【答案】D
【解析】【解答】解：211﹣210=210×（2﹣1）=210．
故选；D．
【分析】首先找出公因式210，进而提取得出即可．
5．多项式x3﹣x的因式为（　　）
A．x、（x﹣1） B．（x+1）
C．x2﹣x D．以上都是
【答案】D
【解析】解：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．
故：D．
【分析】利用提取公因式和平方差公式进行因式分解．
6．下列各式中，运算结果为的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
=
=
故答案为：A。
【分析】根据完全平方公式，找出两数写出即可。
7．若实数x，y，z满足，则下列式子一定成立的是（　　）
A．x+y+z=0 B．x+y-2z=0 C．y+z-2x=0 D．z+x-2y=0
【答案】D
【解析】【解答】∵（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，
∴x2+z2﹣2xz﹣4xy+4xz+4y2﹣4yz=0，
∴x2+z2+2xz﹣4xy+4y2﹣4yz=0，
∴（x+z）2﹣4y（x+z）+4y2=0，
∴（x+z﹣2y）2=0，
∴z+x﹣2y=0．
故答案为：D．
【分析】首先把等式左边进行整式运算，把相乘的项展开，然后再进行因式分解，得到（x+z﹣2y）2=0，进而得出z+x﹣2y=0，即可得出答案。
8．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、18x3y2是单项式，不是多项式，不符合题意；
B、是多项式乘法，不符合题意；
C、右边不是积的形式，不符合题意；
D、符合因式分解的定义，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用提公因式法，十字相乘法等分解因式即可。
9．下列四个等式：① ，② ，③ ，④ ，其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】①（3x）3=9x2，符合题意；②（x+y）（-x-y）=-x2-y2-2xy，不符合题意；③4m2-n2=（2m+n）（2m-n），不符合题意；④（-a-b）2=a2+2ab+b2，符合题意，
其中正确的个数是2个．
故答案为：B．
【分析】各项计算得到结果，即可做出判断．
10．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、 ，不符合题意；
B、 ，符合题意；
C、 ，不符合题意；
D、 ，不是因式分解，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】提取公因式a进行因式分解，则可判断A；利用完全平方公式进行分解，则可判断B；提取公因式-2a进行因式分解，则可判断C；根据因式分解的定义判断D.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次三项式是一个完全平方式，那么a的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵二次三项式是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查完全平方公式，平方根．根据二次三项式是一个完全平方式，利用完全平方公式的结构可得：，进而可求出a的值．
12．因式分解x3+2x2y+xy2=　 　．
【答案】x（x+y）2
【解析】【解答】解：原式=x（x2+2xy+y2）=x（x+y）2，
故答案为：x（x+y）2
【分析】原式提取x，再利用完全平方公式分解即可．
13． 是完全平方式，则 　 　.
【答案】
【解析】【解答】
【分析】完全平方式是指a2±2ab+b2，由题意可得x2+mx+42，所以有2m=±2×1×4，解方程即可求解。
14．一元二次方程x2﹣2x=0的解为　 　．
【答案】x1=0，x2=2
【解析】【解答】解：方程整理得：x（x﹣2）=0，
可得x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2
【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
15． 若 能用完全平方公式进行因式分解， 则常数 的值是　 　
【答案】7 或- 1
【解析】【解答】解：∵a2+（m-3）a+4 能用完全平方公式进行因式分解，
∴m-3=±4，
∴m=7或-1.
【分析】由已知a2+（m-3）a+4 能用完全平方公式进行因式分解，而4=22，所以可以推出m-3=±4，分别解方程，求出m的值即可.
16．已知a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025，且a≠b，则abc=　 　
【答案】-2025
【解析】【解答】解：∵a2（b+c）＝b2（a+c）＝2025
∴a2（b+c）-b2（a+c）＝0
∴
∴
∴
∴
∵a≠b
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
故填：-2025
【分析】将条件灵活变形得到，再根据a≠b推出，进一步变形得到，从而得解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．因式分解：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式进行分解即可；
（2）先利用提取公共因式法分解因式，再利用完全平方公式进行第二次分解即可；
（3）先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
18．把下列多项式分解因式：
（1）12xy+18xy； （2）-x+xy-xz；（3）2x+6x+2x
现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由
（1）甲同学：
解：12xy+18xy=6xy（2x+3y)
（2）乙同学：
解：-x+xy-xz =-x（x-y+z)
（3）丙同学：
解：2x+6x+2x=2x（x+3x+1)
【答案】（1）不正确，系数的最大公因数是6；
（2）不正确，提取“-”时，第二、三项未变号；
（3）不正确，提取公因式2x，另一多项式的项数和原多项式的项数相同.
【解析】【分析】（1）根据提取最大公式式解答即可；
（2）提取公因式-x，进入括号的各项都变号，据此解答即可；
（3）提取公因式2x后，另一多项式的项数和原多项式的项数相同，据此解答即可.
19．先化简，再求值：
（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，其中a=1，b=2．
（2）2a（a+b）﹣（a+b）2，其中a=3，b=5．
【答案】解：（1）2（a2b﹣ab2）﹣3（a2b﹣1）+2ab2+1，
=2a2b﹣2ab2﹣3a2b+3+2ab2+1
=﹣a2b+4
当a=1，b=2时，
原式=﹣12×2+4
=2；
（2）原式=（a+b）（2a﹣a﹣b）
=（a+b）（a﹣b）
=a2﹣b2，
当a=3，b=5时，
原式=32﹣52=﹣16．
【解析】【分析】（1）首先去括号，进而合并同类项，在将a，b代入求出即可；
（2）直接提取公因式，进而合并，再将已知代入求出答案．
20．下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解：设
原式=y (y+2) +1(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
请问：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的____；
A．提取公因式法 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底 　 　.(填“彻底“或“不彻底“)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　 　；
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解
【答案】（1）C
（2）不彻底；(x+1)4
（3）解：设y=x2-6x，
原式=(y+8)(y+10)+1=y2+18y+81=(y+9)2=(x2-6x+9)2=(x-3)4.
【解析】【解答】解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C.
(2)分解结果不彻底，
(x2-6x+8)(x2-6x+10)+1
=(x2+2x+1)2
=[(x+1)2]2
=(x+1)4；
故答案为：不彻底，(x+1)4.
【分析】(1)根据完全平方公式法进行因式分解，作答即可；
(2)根据完全平方公式法继续进行因式分解即可；
(3)仿照题干方法，进行因式分解即可.
21．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
（1）图中阴影部分的正方形的边长是______．
（2）请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积：
方法：______；方法：______．
（3）观察图，请你写出、、之间的等量关系是______．
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题：若，则______．
【答案】（1）；
（2），
（3）；
（4）14
【解析】【解答】解：（1）由拼图可得，图中阴影部分的正方形的边长为，
故答案为：；
解：（2）方法一：阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为的正方形面积减去个长，宽为的长方形面积，即
故答案为：，
解：（3）由（2）得，，
故答案为：；
解：（4），，
，
故答案为：．
【分析】
（1）根据题设中的拼图，可直接求得正方形的边长，得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，利用面积公式列代数式，另一方面阴影部分，看作从边长为的正方形面积中减去个长为，宽为的长方形面积，即可求解；
（3）由（2）两种方法，根据面积公式，结合表示的面积相等，即可得到答案；
（4）由（3）的结论，将， 代入代数式，进行计算，即可求解．
22．两位同学将一个关于x的二次二项式ax2+bx+c分解因式时，甲同学因看错了一次项系数而分解成2（x-1）（x-9），乙同学因看错了常数项而分解成2（x-2）（x-4）．
（1）求原来的二次三项式；
（2）将原来的二次三项式分解因式．
【答案】（1）解：计算甲式：2 （x-1）（x-9）
= 2（x2-10x+9）
=2x2-20x+18
计算乙式：2（x-2）（x-4）
=2（x2-6x+8）
=2x2-12x+16
因为甲看错了一次项，乙看错了常数项，
所以原来的二次三项式为2x2-12x +18
（2）解：2x2-12x+18
=2（x2-6x+9）
=2（x-3）2
【解析】【分析】（1）将甲同学和乙同学式子进行计算，根据二者没有错误的项，即可得到原来的二次三项式；
（2）利用提公因式法和公式法因式分解即可。
23．细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得
x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴．
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．
【答案】解：设另一个因式为（x+a），得
2x2+3x﹣k=（2x﹣5）（x+a）
则2x2+3x﹣k=2x2+（2a﹣5）x﹣5a
∴
解得：a=4，k=20
故另一个因式为（x+4），k的值为20
【解析】【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式．
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