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平行四边形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A．圆 B．平行四边形 C．直角三角形 D．等边三角形
2．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
3．如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
4．已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
5．如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应假设（　　）
A．每一个内角都大于60度 B．每一个内角都小于60度
C．有一个内角大于60度 D．有一个内角小于60度
7．如图所示，平行四边形的对角线交于点，下列结论错误的是（　　）
A．平行四边形是中心对称图形
B．
C．
D．与的面积相等
8．如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（　　）
A．10° B．30° C．40° D．70°
9．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知，a与b之间的距离为3， b与c之间的距离为6， 分别等边三角形的三个顶点，则此三角形的边长为　 　．
12．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝　 　．
13．已知△ABC中，点D为BC边上一点，且BD：CD=7：4，点A、E均在CD的垂直平分线上，BG⊥BD，连接GD交AB于点F，若∠AFD=45°，EC=GD，∠GDB+∠ECB=90°，AC= ，则CD=　 　．
14．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么旋转角∠CBC1=　 　
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝8，则EF＝　 　．
16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）当AD⊥BD时，请你判断四边形BFDE的形状，并说明理由．
18．（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接．求：
①旋转角是____度；
②线段的长为_____；
③求的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角（）内一点，连接，，求的长．
小明同学借用了图1的方法，将绕点B顺时针旋转后得到，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．
19．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣6，0）．
（1）图中B点的坐标是　 　；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是　 　；
（3）求△ABC的面积．
20．如图， 是等边三角形 内的一点， 将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 连结 ， ．
（1） 求证： ．
（2） 若 ， 求 的度数．
21．如图，点在直线上，点为直线外一点，，对于点给出如下定义：将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点在直线上（不与重合）时，称点为线段的关联点．
（1）如图，，点 （填“是”或“不是”）线段的关联点；
（2）已知点为线段的关联点，，，请写出与的关系式及的取值范围（直接写出结果）．
22．如图1，在直角三角形中，，，现将绕点顺时针旋转角度得到．
（1）若时，则______°；若时，与的关系是______；
（2）与有怎样的关系？请说明理由．
（3）在旋转过程中，若时，与这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出的所有可能取值．
23．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．
（1）如图1，连接，求的面积；
（2）如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作的垂线交轴于点，点在直线上，在平面中存在一点，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形，请求出点的坐标．
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平行四边形 单元综合能力提升卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A．圆 B．平行四边形 C．直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】【解答】解：A．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；
D．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项判断即可。
2．如图，四边形ABCD中，AC⊥BC，AD∥BC，BC＝3，AC＝4，AD＝6．M是BD的中点，则CM的长为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：延长BC到E使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AB，
∵BC＝3，AD＝6，
∴C是BE的中点，
∵M是BD的中点，
∴CM＝ DE＝ AB，
∵AC⊥BC，
∴AB＝ ＝ ，
∴CM＝ ，
故答案为：C．
【分析】延长BC到E使BE＝AD，∵BC//AD，∴四边形ACED是平行四边形，根据中点的性质，结合勾股定理即可得到CM的长度。
3．如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2，
故答案为：A
【分析】根据三角形中位线的性质结合题意即可求解。
4．已知（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形是平行四边形的依据是（　　）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：由图可知先作AC的垂直平分线，则点O为AC的中点，由作图可知BO=OD，
可得：AO=OC，BO=OD，
进而得出四边形ABCD是平行四边形.
故答案为：C.
【分析】由作图痕迹可得：O=OC，BO=OD，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断.
5．如图，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE：EF：FB为(　　)
A．1：2：3 B．2：1：3 C．3：2：1 D．3：1：2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCE=∠BEC，
∵CE是∠DCB的平分线，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠CEB=∠BCE，
∴BC=BE=4，
∵F是AB的中点，AB=6，
∴FB=3，
∴EF=BE﹣FB=1，
∴AE=AB﹣EF﹣FB=2，
∴AE：EF：FB=2：1：3，
故答案为B．
【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及线段中点的性质。利用平行四边形对边平行的性质，可得，因此，结合CE是平分线的定义，能推出，进而得到，根据等角对等边可确定；再根据F是AB中点且，求出，接着通过线段的差求出，，最后计算得出。
6．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应假设（　　）
A．每一个内角都大于60度 B．每一个内角都小于60度
C．有一个内角大于60度 D．有一个内角小于60度
【答案】A
【解析】【解答】解： 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应先假设三角形中每个内角都不小于或等于60°，即大于60°；
故答案为：A.
【分析】反证法证明时，先作出与求证结论相反的假设；然后将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；最后得出结论，说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
7．如图所示，平行四边形的对角线交于点，下列结论错误的是（　　）
A．平行四边形是中心对称图形
B．
C．
D．与的面积相等
【答案】C
【解析】【解答】解：A.平行四边形是中心对称图形，说法正确，故本选项不合题意；
B.四边形是平行四边形，
，，，
在和中，
，
，
故说法正确；
C.，说法错误，故本选项符合题意；
D.过作，
，，
与的面积相等，说法正确；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的性质以及中心对称图形的概念可判断A；根据平行四边形的性质可得AB=CD，AO=CO，BO=DO，然后利用全等三角形的判定定理可判断B、C；过B作BH⊥AC，然后根据三角形的面积公式可判断D.
8．如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠1＝30°，则∠BAE＝（　　）
A．10° B．30° C．40° D．70°
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可知旋转角∠CAE＝40°，所以∠BAE＝30°+40°＝70°．
故答案为：D．
【分析】先找到旋转角，根据∠BAE＝∠1+∠CAE进行计算．
9．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
10．如图，平行四边形ABCD中，AB＝16，AD＝12，∠A＝60°，E是边AD上一点，且AE＝8，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值是（　　）
A．4 B．4 C．4 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，
∵AE=8，AD=12，
∴DE=4，
∵点N是AB的中点，AB=16，
∴AN=NB=8，
∴AE=AN，
又∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，
∴∠AEF=∠NEG，
由旋转的性质得EF=EG，
在△AEF与△NEG中，
∵EA=EN，∠AEF=∠NEG，EF=EG，
∴△AEF≌△NEG（SAS），
∴∠ENG=∠A=60°，
∵∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
在△EGN与△BGN中，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN≌△BGN（SAS），
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，∠H=90°，DE=4，∠EDH=60°，
∴DH=DE=2，EH=，
在Rt△ECH中，，
∴GB+GC的最小值为.
故答案为：C.
【分析】取AB得中点N，连接EN、GN、CE，过点E作EH⊥CD，交CD的延长线于点H，易得AE=AN，由有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△AEN是等边三角形，由等边三角形的性质得∠AEN=∠FEG=60°，EA=EN，由等式的性质推出∠AEF=∠NEG，由旋转的性质得EF=EG，从而用SAS判断出△AEF≌△NEG，得∠ENG=∠A=60°，根据平角的定义得∠GNB=60°，从而可得点G的运动轨迹是射线NG；再用SAS判断出△EGN≌△BGN，得GB=GE，根据两点之间线段最短得GB+GC=GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，由含30°角直角三角形得性质得DH、EH得长，进而在Rt△ECH中，利用勾股定理算出EC得长即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知，a与b之间的距离为3， b与c之间的距离为6， 分别等边三角形的三个顶点，则此三角形的边长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，构造一线三等角，
使得.
∵a∥c，
∴∠1=∠AFD=60°，
∴∠2+∠CAF=60°.
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∴∠3+∠CAF=60°.
∵∠3+∠4=60°，
∴∠4=∠CAF，
∵b∥c，
∴∠4=∠5，
∴∠5=∠CAF，
又∵AC=BC，∠AFC=∠CGB，
∴，
∴CG=AF.
∵∠ACF=60°，
∴DAF=30°，
∴DF=AF，
∵AF2=AD2+DF2，
∴，
∴，
同理可求，
∴，
∴.
【分析】利用平行线的性质和勾股定理计算求解即可。
12．如图，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置，点D在BC边上，DE交AC于点F，则∠AFD＝　 　．
【答案】90°
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE的位置 ，
∴AD=AB，∠ADF=∠B=65°，
∴∠ABD=∠ADB=65°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=50°，
∴∠DAF=∠BAC-∠BAD=25°，
∴∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=90°
故答案为：90°.
【分析】由旋转的性质得：AD=AB，∠ADF=∠B=65°，根据等边对等角得：∠ABD=∠ADB=65°，再根据三角形内角和定理，求∠BAD，进而求出∠DAF，便可求出∠AFD.
13．已知△ABC中，点D为BC边上一点，且BD：CD=7：4，点A、E均在CD的垂直平分线上，BG⊥BD，连接GD交AB于点F，若∠AFD=45°，EC=GD，∠GDB+∠ECB=90°，AC= ，则CD=　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：延长EA交CD于H，连接EG，DE，AD
∵点A、E均在CD的垂直平分线上
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
在△BDG和△HED中
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴四边形GBAE是平行四边形
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
解得 ， （舍去）
∴
故答案为：4．
【分析】延长EA交CD于H，连接EG，DE，AD，根据线段垂直平分线的性质得到 ，得到 ，根据全等三角形的性质得 ，推出四边形GBAE是平行四边形，得到 ，根据勾股定理即可得到结论．
14．如图，将三角尺ABC（其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B按顺时针方向转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A，B，C1在同一条直线上，那么旋转角∠CBC1=　 　
【答案】120°
【解析】【解答】解：∵∠ABC=60°，
∴旋转角∠CBC1=180°﹣60°=120°．
故答案为：120°．
【分析】利用旋转的性质计算即可．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若CD＝8，则EF＝　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵E、F分别是BC、CA的中点，
∴ ，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴ ，
∴EF=CD，
∵CD＝8，
∴EF=8，
故答案为：8．
【分析】根据直角三角形的性质求出AB，根据三角形的中位线定理求出答案即可。
16．如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵等边三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD= ，BD=CD=1，BB′=2AD= ，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G=AD= ，
在Rt△B′BG中，BG= = =3，
∴DG=BG﹣BD=3﹣1=2，
在Rt△B′DG中，B′D= = = .
故BE+ED的最小值为 .
故答案为：.
【分析】由题意可得四边形ABCB′是平行四边形，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，AD=，BD=CD=1，BB′=2AD=，作B′G⊥BC的延长线于G，则B′G=AD=，在Rt△B′BG中，运用勾股定理求出BG，进而可得DG，然后在Rt△B′DG中，运用勾股定理求解就可得到B′D.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在 ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
（1）求证：△ADE≌△CBF
（2）当AD⊥BD时，请你判断四边形BFDE的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC，CD=AB，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴CF=AE，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SAS）
（2）解：菱形，
∵△ADE≌△CBF，
∴ED=BF，
∵DF=EB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB中点，
∴DE=AB，
∴DE=EB，
∴四边形BFDE是菱形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，AD=BC，CD=AB，进而可得CF=AE，然后利用SAS定理判定△ADE≌△CBF；
（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得DE=EB，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
18．（1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接．求：
①旋转角是____度；
②线段的长为_____；
③求的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角（）内一点，连接，，求的长．
小明同学借用了图1的方法，将绕点B顺时针旋转后得到，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解．
【答案】解：（1）①∵将绕点B顺时针旋转后得到，
∴旋转角是，
∵是等边三角形，
∴，
∴旋转角的度数为；
②∵将绕点B顺时针旋转后得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∵，
∴；
③∵为等边三角形，
∴，
∵绕点B顺时针旋转后得到，，
∴，
在中，，，，
∵，
∴为直角三角形，即，
∴；
（2）∵绕点B顺时针旋转后得到，，，，，
∴，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）①根据旋转的性质得旋转角是，再由等边三角形的性质得旋转角为；
②根据旋转的性质得，，从而得是等边三角形，进而得；
③根据等边三角形的性质得，然后根据旋转的性质得，利用勾股定理逆定理可证得是直角三角形，于是有，最后求出；
（2）根据旋转的性质得，，，，从而得为等腰直角三角形，进而根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理得，，于是得，最后在中，利用勾股定理即可求得的长.
19．如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣6，0）．
（1）图中B点的坐标是　 　；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是　 　；
（3）求△ABC的面积．
【答案】（1）（﹣3，4）
（2）（3，﹣4）
（3）解：S△ABC=S△AOB+S△AOC= =24．
【解析】【解答】解：⑴B点的坐标是（﹣3，4），
故答案为：（﹣3，4）．
⑵点B关于原点对称的点C的坐标是（3，﹣4），
故答案为：（3，﹣4）．
【分析】（1）在直角坐标系中，根据所标注的刻度，计算出点B的坐标即可。
（2）连接BO并延长BO至点C，使得OB=OC，然后计算C点的坐标即可。
（3）将三角形ABC的面积划分为两部分，三角形ABO和三角形AOC，根据三角形面积公式，计算二者面积和即可。
20．如图， 是等边三角形 内的一点， 将 绕点 顺时针旋转 得到 ， 连结 ， ．
（1） 求证： ．
（2） 若 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：由旋转的性质可得：CO=CD，∠OCD=60°，
是等边三角形，
在 和 中
∴△BCO≌△ACD(SAS)，
∴BO=AD.
（2）解：∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=OC=6，∠OCD=60°．
∵△BCO≌△ACD，
∴AD=OB=8，∠BOC=∠ADC．
∵OA=10，
∴OA2=AD2+OD2，
∴∠ADO=90°，
∴∠ADC=∠ADO-∠ODC=90°+60°=150°，
∴∠BOC=∠ADC=150°．
【解析】【分析】 （1）由旋转的性质准备条件，根据SAS证明即可；
（2）证是等边三角形，根据，得出AD=OB=8，∠BOC=∠ADC，再根据勾股定理的逆定理得出∠ADO=90°，等量代换得出∠BOC的度数．
21．如图，点在直线上，点为直线外一点，，对于点给出如下定义：将线段绕点逆时针旋转得到线段，当点在直线上（不与重合）时，称点为线段的关联点．
（1）如图，，点 （填“是”或“不是”）线段的关联点；
（2）已知点为线段的关联点，，，请写出与的关系式及的取值范围（直接写出结果）．
【答案】（1）是
（2）当点落在线段上时，；
当点落在的延长线上时，
【解析】【解答】（1）解：，，
，
．
，
，
，
．
，
当点在直线上（不与重合），
点为线段的关联点．
故答案为：是．
（2）
解：当点落在线段上时，
，，，
，
．
点为线段的关联点，
，
，
，
．
当点落在的延长线上时，
，，，
，
．
点为线段的关联点，
，
，
，
．
【分析】（1）根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=70°，则，再根据等边对等角可得，而，进而求出点在直线上（不与重合），结合关联点的定义即可求出答案.
（2）分两种情况：当点落在线段上时，当点落在的延长线上时，结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关联点的定义即可求出答案.
（1）解：，，
，
．
，
，
，
．
，
当点在直线上（不与重合），
点为线段的关联点．
故答案为：是．
（2）解：当点落在线段上时，
，，，
，
．
点为线段的关联点，
，
，
，
．
当点落在的延长线上时，
，，，
，
．
点为线段的关联点，
，
，
，
．
22．如图1，在直角三角形中，，，现将绕点顺时针旋转角度得到．
（1）若时，则______°；若时，与的关系是______；
（2）与有怎样的关系？请说明理由．
（3）在旋转过程中，若时，与这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出的所有可能取值．
【答案】（1）62；
（2）解：与的关系是：，
理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在。
∵，
∴，，
①如图，当时，
∴
∴；
②如图，当时，
∴
③如图，当时，
∴，
∴．
④如图，当时，
∴，
∴；
综上：与这两个三角形的一组边互相平行时，为或或或．
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴；
当，由旋转的性质可得：；
故答案为：62；；
【分析】（1）直接根据∠DAC=90°-α，即可得出∠DAC的度数；再根据旋转的性质和∠CAE都是旋转角，故而可得出这两个角相等；
（2）首先根据余角的性质科的， 然后再根据， 等量代换为 ；
（3）分情况讨论：①如图，当时，可得；②如图，当时，③如图，当时，首先根据平行线的性质得出，进而得出；④如图，当时，首先根据平行线的性质得出，进而得出。综上即可得出为或或或．
（1）
23．在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点．
（1）如图1，连接，求的面积；
（2）如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接，过点作的垂线交轴于点，点在直线上，在平面中存在一点，使得，，，为顶点的四边形为平行四边形，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：直线，令，则，
故点；
，令，则，令，即，
解得：，
故点，
则，
∴的面积.
（2）解：由题意，，观察图象可知，点只能直线在的右侧，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，
设点，点，
∵，故，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故，
解得，
故点.
（3）解：如图所示：
设的坐标为，
∵，
∴，
设的坐标为，
则：，
化简得：，
解得：，
∴点的坐标为，
设直线的表达式为，
将点的坐标代入得：，
解得：，
故直线的表达式为，
当在上方时，点向右平移2个单位向上平移个单位得到，
∴右平移2个单位向上平移个单位得到，
∵在直线上，故满足条件，
当在点下方时，同理得，此时不在直线上，不满足条件，
综上，点的坐标为．
【解析】【分析】（1）先求出点B、D的坐标，再求出BD和OC的长，最后利用三角形的面积公式求解即可；
（2）过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点，设点，点，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再列出方法求出m、n的值，即可得到点E的坐标；
（3）先求出直线EF的解析式，再分类讨论：①当在上方时，点向右平移2个单位向上平移个单位得到，②当在点下方时，再求出点P的坐标即可.
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