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特殊平行四边形 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直平分
B．对角线分别平分对角的四边形是矩形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
2．菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝，则这个菱形的面积为（　　）
A．48 B． C． D．18
3．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2．
A．8 B．16 C．4 D．无法确定
6．如图 ， 点 ， 在同一条直线上， 点 在点 之间， 点 在直线 同侧， ， 连结 ， 设 ， 给出下面三个结论： ①； ②；③ b） ．上述结论中， 所有正确结论的序号是 （　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，，与相交于点G．下列结论，其中正确的是（ ）
①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．
A．①③④ B．②③ C．①③ D．②④
9．如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且分别是边上的动点，连结．有下列四种说法：
①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．
其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，，以点为圆心，为半径画弧交，于点，；分别以点，为圆心大于为半径画弧，两弧交于点；以点为顶点作，射线与交于点，连接；则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图， 在正方形 中， 对角线 与 相交于点 为 上一点， 为 的中点． 若 的周长为 32 ， 则 的长为　 　.
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则AD的长为　 　．
13．如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是　 　．
14．图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形 中， ，在对角线 上截取 ，连按 ， ，可将菱形分割为“风筝”（凸四边 ）和“飞镖”（凹四边形 ）两部分，则图2中的 　 　°．
15．丁俊晖年少时立志在斯洛克界闯出一番天地，为了圆梦，父母卖店卖房凑学费，凭借自己的勤奋和热爱以及天赋终成斯洛克中国第一人．斯洛克的目标球P撞击边的运动轨迹类似于光的镜面反射．如图一在矩形中，撞击点为O，则有．在图二中，目标球P到边的距离是，到边的距离是，边长为，现在，要使目标球P撞击边（只撞击边一次，不撞击其它的边）随即反弹进入C袋口，则目标球P从开始运动到落入C袋口移动的距离为　 　m．
16．如图，边长为1的正△ABO的顶点O在原点，点B在x轴负半轴上，正方形OEDC边长为2，点C在y轴正半轴上，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着△ABO的边按逆时针方向运动，动点Q从D点出发，以每秒1个单位的速度沿着正方形OEDC的边也按逆时针方向运动，点Q比点P迟1秒出发，则点P运动2016秒后，则PQ2的值是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点E，F．
（1）求证： ；
（2）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由）
18．如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点A逆时针旋转度（）得到，其中点C与点对应．
（1）如图1，当时，、的延长线交于点E．
①用α表示的度数；
②如图2，当时，求证：四边形是菱形；
（2）如图3，连接、，当______时，．
19．如图，在正方形ABCD中， E为边 CD上一点， CD=4DE，将△ADE沿AE 翻折得到△AFE，延长CB至点G，使BG=DE，连接AG、FG、EB.
（1）求证： AE=AG；
（2）若DE=1，求 FG 的长.
20．如图，在中，，延长CB至D，使得，过点A，D分别作，，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
21．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B＝60°，BC＝2，求平行四边形ABCD的面积．
22．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC 上，AE=CF.
（1）求证：四边形 EBFD是平行四边形.
（2）若∠BAC=∠DAC，求证：四边形 EBFD 是菱形.
23．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
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特殊平行四边形 单元综合优选测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直平分
B．对角线分别平分对角的四边形是矩形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】【解答】解：A．矩形的对角线相等且平分，故A不符合题意；
B．对角线分别平分对角的四边形不一定是矩形，故B不符合题意；
C．对角线相等的菱形是正方形，符合题意；
D．有一组邻边相等的平行四边形四边形是菱形，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用矩形的性质、矩形的判定方法，正方形的判定方法，菱形的判定方法逐项进行分析，即可判断结果。
2．菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝，则这个菱形的面积为（　　）
A．48 B． C． D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝，
∴这个菱形的面积为，
故答案为：B
【分析】根据菱形面积的计算公式即可求解。
3．如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】先根据了正方形的性质和三角形的外角性质可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形角的关系即可得到∠CFD的度数．
4．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH=BC，③OD=BF，④∠CHF=45°．正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】如图所示，作EN⊥BD于N，连接EF．保存进入下一题
①∵BE平分∠DBC∴EC=EN
∴等腰直角△DNE≌等腰直角△ECF，DE=FE
∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°
∴∠HFE= 22.5°，
∴∠EHF=180°-67.5°-22.5°=90°
∵DH=HF
∴OH是△DBF的中位线
∴OH∥BF，故①正确；
②根据OH是△BFD的中位线，
∴GH=CF，由GH＜BC，故②错误；
③∵OH是△BFD的中位线，BE平分∠DBC，
∴BD=BF，
∵OD=BD，
∴OD=BF；
④∵∠HCF=90°-22.5°=67.5°，∠HFC=45°+22.5°=67.5°，
∴∠CHF=45°
故答案为：B.
【分析】①作EN⊥BD于N，连接EF，由全等三角形的判定定理可得△DNE≌△ECF，再由平行线的性质得出OH是△DBF的中位线即可得出结论；②根据OH是△BFD的中位线，得出GH=CF，由GH＜BC，可得出结论；③由三线合一得出BD=BF，即可得出结论；④根据∠HCF=90°-22.5°=67.5°，∠HFC=45°+22.5°=67.5°，即可求出结论。
5．如图，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）cm2．
A．8 B．16 C．4 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：S阴影=S正方形ABCD=×16=8cm2．
故选A．
【分析】把对角线AC下边的部分移到上面，补为直角三角形ADC，求出即可．
6．如图 ， 点 ， 在同一条直线上， 点 在点 之间， 点 在直线 同侧， ， 连结 ， 设 ， 给出下面三个结论： ①； ②；③ b） ．上述结论中， 所有正确结论的序号是 （　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AE于点F，过点B作BE⊥DF于点E，
∴∠AFD=∠BEF=∠DEB=90°，
∵∠A=∠C=90°，
∴四边形ACDF，四边形BCDE，四边形ABEF是矩形，
∴EF=AB=a，DE=BC=b，
∴DF=EF+DE=a+b，
在Rt△EFD中
a+b＜c，故①正确；
∵△EAB≌△BCD，
∴AE=BC=b，BE=BD，∠ABE=∠BDC，
∵∠BDC+∠CBD=90°，
∴∠ABE+∠CBD=90°
∴∠EBD=90°
∴，
∵AE+AB＞BE，
∴，故②正确
∴，
在Rt△EBD中
2BE2=DE2即2（a2+b2）=c2
∴ ，
∵
∴，
∴，故③正确；
∴正确结论的序号为 ①②③ .
故答案为：D .
【分析】过点D作DF⊥AE于点F，过点B作BE⊥DF于点E，易证四边形ACDF，四边形BCDE，四边形ABEF是矩形，利用矩形的性质可证得EF=AB=a，DE=BC=b，可表示出DF的长，再利用三角形三边关系定理可对①作出判断；利用全等三角形的性质可证得AE=BC=b，BE=BD，∠ABE=∠BDC，同时可证得∠EBD=90°，利用勾股定理可表示出BE的长，利用三角形三边关系定理可对②作出判断；利用勾股定理可证得再证明，据此可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.
7．如图，在正方形中，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接、，
，
是等边三角形，
，
在正方形中，，，
，，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接AE、BE，根据作图过程及三边相等的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，由等边三角形的每一个内角都为60°得∠EAB=60°，由正方形四边相等每一个内角都等于90°得AB=AD，∠DAB=∠ADC=90°，由角的构成求出∠DAE=30°，然后根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠ADE=75°，最后再根据角的构成可求出∠CDE的度数.
8．如图，在正方形中，点E，F分别在，上，，与相交于点G．下列结论，其中正确的是（ ）
①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．
A．①③④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【解析】【解答】解：①四边形是正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴
∵，
∴，即，
∵，
∴垂直平分．故①正确；
②设，，
∴，
，
∴与关系不确定，只有当时成立，故②错误；
③当时，
∵，
∴，
∴，
又∵
∴为等边三角形．故③正确；
④当时，设，，由勾股定理就可以得出：
，
∴
∵，，
∴．故④正确．
综上所述，正确的有①③④，
故答案为：A
【分析】①通过条件可以得出，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，
②设，，由勾股定理就可以得出与x、y的关系，表示出与，即可判断与关系不确定；
③当时，可计算出，即可判断为等边三角形，
④当时，设，，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论．
9．如图，在平行四边形中，是对角线上的动点，且分别是边上的动点，连结．有下列四种说法：
①存在无数个平行四边形；②存在无数个矩形；③存在无数个菱形；④存在无数个正方形．
其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：连接AC，MN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴且BE=DF，∴只要DM=BN时，
，可得， 故四边形为平行四边形 ，
因此 存在无数个平行四边形
故 ① 正确.
在① 正确的情况下，当时，平行四边形为矩形，
因此 存在无数个矩形，
故 ② 正确.
在① 正确的情况下，只要MNEF，则四边形MENF是菱形，
因此存在无数个菱形，
故③正确.
只要MN=EF，MNEF，OM=ON，则四边形MENF是正
方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定依次分析即可.
10．如图，，以点为圆心，为半径画弧交，于点，；分别以点，为圆心大于为半径画弧，两弧交于点；以点为顶点作，射线与交于点，连接；则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：
OE平分∠AOB，∠AOB=60°，OC=0D=2
四边形ODGC为菱形
过点G作GM⊥OB于点M
∴在Rt△DGM中，
故答案为：
【分析】由题意可得OE平分∠AOB，可判定四边形ODGC是菱形，过点G作GM⊥OB于点M，根据勾股定理可求出GM的长，根据菱形面积公式即可求出答案。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图， 在正方形 中， 对角线 与 相交于点 为 上一点， 为 的中点． 若 的周长为 32 ， 则 的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，OB=OD，
在Rt△CED中，点F是DE的中点，
∴CF=EF=DF，
∵△CEF的周长为32，且CE=7，
∴EF=CF=，
∴DE=DF+EF=25，
在Rt△CED中，，
∴BC=CD=24，
∴BE=BC-CE=17，
∵点O是BD的中点，点F是DE的中点，
∴OF=BE=.
故答案为：.
【分析】由正方形性质得BC=CD，∠BCD=90°，OB=OD，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得CF=EF=DF，然后根据三角CEF的周长可求出EF的长，从而得到DE的长，在Rt△CED中，利用勾股定理算出CD，可得到BC的长，再由线段和差算出BE的长，最后根据三角形的中位线定理可算出OF的长.
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，对角线AC、BD相交于点O，AE垂直平分BO于点E，则AD的长为　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝6，
∴BD＝2OB＝12，
∴
故答案为：
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝6，得出BD＝2OB＝6，由勾股定理求出AD即可．
13．如图，矩形ABCD中，AE平分交BC于点E，连接DE，若，，则AD的长是　 　．
【答案】7
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD，ADBC，AD＝BC，
∵ED＝5，CD＝3，
∴EC2＝DE2 CD2＝25 9＝16，
∴CE＝4，
∵ADBC，
∴∠AEB＝∠DAE；
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB＝CD＝3，
∴BC＝BE＋EC＝7，
∴AD＝7，
故答案为：7．
【分析】由矩形的性质和根据勾股定理可求出EC＝4，再证明BE＝AB＝3，即可求出BC的长，进而可求出AD的长．
14．图1是用一种彭罗斯瓷砖平铺成的图案，它的基础部分是“风筝”和“飞镖”两郎分，图2中的“风筝”和“飞镖”是由图3所示的特殊菱形制作而成．在菱形 中， ，在对角线 上截取 ，连按 ， ，可将菱形分割为“风筝”（凸四边 ）和“飞镖”（凹四边形 ）两部分，则图2中的 　 　°．
【答案】144
【解析】【解答】在菱形 中，
，
，
在 与 中
故答案为：144
【分析】由菱形的性质可求， ，由等腰三角形的性质可求解。
15．丁俊晖年少时立志在斯洛克界闯出一番天地，为了圆梦，父母卖店卖房凑学费，凭借自己的勤奋和热爱以及天赋终成斯洛克中国第一人．斯洛克的目标球P撞击边的运动轨迹类似于光的镜面反射．如图一在矩形中，撞击点为O，则有．在图二中，目标球P到边的距离是，到边的距离是，边长为，现在，要使目标球P撞击边（只撞击边一次，不撞击其它的边）随即反弹进入C袋口，则目标球P从开始运动到落入C袋口移动的距离为　 　m．
【答案】
【解析】【解答】过点作交于点，交于点，作点关于的对称点，
则，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴则目标球P从开始运动到落入C袋口移动的距离为．
故答案为：．
【分析】过点作交于点，交于点，作点关于的对称点，则，四边形是矩形，再根据矩形性质可得，，根据边之间的关系可得P'E，再根据勾股定理可得P'C，根据角之间的关系可得，即三点共线，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．如图，边长为1的正△ABO的顶点O在原点，点B在x轴负半轴上，正方形OEDC边长为2，点C在y轴正半轴上，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着△ABO的边按逆时针方向运动，动点Q从D点出发，以每秒1个单位的速度沿着正方形OEDC的边也按逆时针方向运动，点Q比点P迟1秒出发，则点P运动2016秒后，则PQ2的值是　 　．
【答案】8﹣
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥DE于H，AN⊥BO于N，连接AM．
∵2016÷3=672，2016÷4=504，∵点Q比点P迟1秒出发，
∴运动2016秒后，点P在点A处，点Q在点M处（DM=ME=1），
∴PQ2=AM2=AH2+HM2
∵△ABC是等边三角形，AB=1，
∴AN= ，NO= ，
∵∠ANE=∠NEM=∠AME=90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴AH=NE，
∴AH= ，HM=1﹣
∴PQ2=（ ）2+（1﹣ ）2=8﹣
故答案为：8﹣
【分析】解答此题的关键是判断出运动2016秒后点P在A处，点Q在M处，利用矩形的性质和等边三角形的性质求出AH和HM的值，然后根据勾股定理得PQ2=AM2=AH2+HM2，计算求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，四边形 是平行四边形， 且分别交对角线 于点E，F．
（1）求证： ；
（2）当四边形 分别是矩形和菱形时，请分别说出四边形 的形状．（无需说明理由）
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴
在△ABE和△CDF中 ，
∴ ．
（2）四边形BEDF是平行四边形与菱形
【解析】【解答】解：（2）如图，当四边形ABCD为矩形时，连接DE、BF，
同（1）可知 ，
∴BE=DF，
∵BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
如图，当四边形ABCD是菱形时，连接DE、BF，
同理可知四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，
在△ABE和△ADE中， ，
∴△ABE≌△ADE，
∴BE=DE，
∴四边形BEDF是菱形．
综上所述：当四边形 分别是矩形和菱形时，四边形 分别是平行四边形与菱形．
【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明三角形全等即可；
（2）先求出四边形BEDF是平行四边形，再求出△ABE≌△ADE，最后求解即可。
18．如图，菱形纸片中，，将菱形沿剪开，不动，绕点A逆时针旋转度（）得到，其中点C与点对应．
（1）如图1，当时，、的延长线交于点E．
①用α表示的度数；
②如图2，当时，求证：四边形是菱形；
（2）如图3，连接、，当______时，．
【答案】（1）解：①∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴；
②证明：由①可得，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）140
【解析】【解答】（2）解：由旋转的性质可得，，
在菱形中，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：140.
【分析】（1）①由菱形对边平行、四边相等得AB=BC，AB∥CD，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠BAC=∠BCA=70°，由邻补角得到，同理，进而由四边形的内角和为360°可求出∠CEC'的度数；
②易得，由同旁内角互补，两直线平行可得，同理，从而可由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形ACEC'是平行四边形，进一步根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得结论；
（2）由旋转的性质得CD=C'D'，由菱形四边相等推出BC=C'D'，从而根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以证明四边形BCC'D'是平行四边形，由平行四边形邻角互补，结合，可以计算出，结合三角形内角和定理，计算出，从而得到的值．
（1）解：①∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，，，，
∴，
∵，
∴；
②证明：由①可得，，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由旋转的性质可得，，
在菱形中，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．如图，在正方形ABCD中， E为边 CD上一点， CD=4DE，将△ADE沿AE 翻折得到△AFE，延长CB至点G，使BG=DE，连接AG、FG、EB.
（1）求证： AE=AG；
（2）若DE=1，求 FG 的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠ABG=90°， AD=AB，
又∵BG=DE，
∴在△ADE和△ABG中，
∴△ADE≌△ABG(SAS)，
∴AE=AG
（2）解：由折叠的性质可得， AD=AF， ∠DAE=∠EAF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°， AB=AD，
∴AB=AF
∵△ADE≌△ABG，
∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，
∴∠EAF=∠BAG，
∴∠EAB=∠EAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=∠FAG，
在△EAB和△GAF中，
∴△EAB≌△GAF(SAS)，
∴BE=FG，
∵CD=4DE，DE=1，
∴CE=CD-DE=4-1=3， BC=CD=4DE=4，
∴在 Rt△BCE中，由勾股定理得
∴FG=BE=5.
【解析】【分析】（1）本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质.解题思路：要证AE=AG，可证AE、AG所在的两个三角形△ADE和△ABG全等，根据正方形的性质可以得到∠D=∠ABG，AD=AB，结合已知条件BG=DE即可证明；
（2）本小题综合考查翻折（轴对称）的性质、勾股定理以及全等三角形的性质和判定.解题思路：通过图像分析求FG的长度有一定难度，因此尝试将线段FG转化为线段BE.根据翻折的性质及第（1）问得到的△ADE≌△ABG，可以得到△EAB和△GAF中的对应线段、对应角相等，可证△EAB≌△GAF(SAS)，推出BE=FG，最后，在Rt△BCE中利用勾股定理求出BE，即可求出FG.
20．如图，在中，，延长CB至D，使得，过点A，D分别作，，AE与DE相交于点E．下面是两位同学的对话：
小星：由题目的已知条件，若连接BE，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接CE，则可证明．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）连接CE，交AB于点F，试判断BF与DE有怎样的数量关系与位置关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：小星：连接BE，
∵，，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵，
∴四边形AEBC是矩形，
∴，∴；
（2）解：，．理由如下：
如图所示，连接CE，交AB于点F，
∵四边形AEBC是矩形，
∴，即点F是CE的中点，
∵，即点B是CD的中点，
∴BF是的中位线，
∴，．
【解析】【分析】（1）小星：连接BE，利用有两组对应边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形ABDE是平行四边形，利用平行四边形的性质可得到AE=BD=BC，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AEBC是平行四边形，利用有一个角是直角的平行四边形是矩形，可证得四边形AEBC是矩形，利用矩形的性质可证得结论.
（2）连接CE，交AB于点F，利用矩形的性质可得到F是CE的中点，可证得BF是△CDE的中位线，利用三角形的中位线定理可得结论.
21．如图，在平行四边形ABCD中，AC＝BC，M、N分别是AB和CD的中点．
（1）求证：四边形AMCN是矩形；
（2）若∠B＝60°，BC＝2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∵M、N分别是AB和CD的中点，
∴AM＝BM，AM∥CN，AM＝CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
又∵AC＝BC，AM＝BM，
∴CM⊥AB，
∴∠CMA＝90°，
∴四边形AMCN是矩形，采用矩形判定方法是：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（2）解：∵∠B＝60°，BC＝2，∠BMC＝90°，∴∠BCM＝30°，
∴Rt△BCM中，BM=，MC=
∵M、N分别是AB和CD的中点
∴AM=BM，则AB=AM+BM=1+1=2
∵CM⊥AB
ABCD的面积为AB×CM＝2×＝2．
【解析】【分析】（1）根据题意可知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得： AB∥CD，AB＝CD，根据题意可知 M、N分别是AB和CD的中点 ，可得： AM＝CN ，且 AM∥CN ，可得四边形AMCN是平行四边形，根据题意可知， AC＝BC ，所以△ABC是等腰三角形，AB是等腰三角形△ABC的底边，根据等腰三角形“三线合一”的定理可知，因为M是AB的重点，所以可知CM是底边AB的中线，也是底边AB的高线，因此可知CM ⊥AB ， ∠CMA＝90° ，根据矩形判定方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以四边性AMCN是矩形；
（2）根据题意，若 ∠B＝60° ，结合（1）内容，可知△ABC是等边三角形，且CM ⊥AB，∠CMB＝90°，因为三角形内角和为180°，所以可得：∠MCB＝30°，根据题意可知，在Rt△BCM中，斜边BC=2，所以根据含有 30° 角的直角三角形，正弦及余弦函数的值及应用，BM是斜边BC的一半，BM=1，CM是斜边BC的，CM=，根据题意可得：AB=2BM=2，以CM是平行四边ABCD的高，AB是平行四边形ABCD的底边，根据平行形四边形面积公式可知： ABCD的面积为AB×CM＝2×＝2 .
22．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在AC 上，AE=CF.
（1）求证：四边形 EBFD是平行四边形.
（2）若∠BAC=∠DAC，求证：四边形 EBFD 是菱形.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形EBFD是平行四边形；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵ ∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
由（1）知：四边形EBFD是平行四边形，
∴四边形EBFD是菱形.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得：OA=OC，OB=OD，结合已知可得OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断求解；
（2）由平行四边形的性质得：AD∥BC，由平行线的性质和已知可得∠BAC=∠BCA，由等角对等边可得AB=BC，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形ABCD是菱形，由菱形的性质可得AC⊥BD，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBFD是菱形.
23．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值．
【答案】（1）解：根据题意，，，，，设．得到，
利用勾股定理，得，
．
∴．
（2）解：根据题意，连接，根据当，当三点共线时，的值最小．
故条件为三点共线．
（3）解：根据，
构造．如图所示，
当A，C，E三点共线时，最小，
延长到点F，过点A作于点F，
则四边形是长方形，
故．
故．
【解析】【分析】(1) 由，得，在和中，分别用勾股定理表示和：，，因此；
(2) 根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，，此时长度最小；
(3) 代数式可转化为“直角三角形两斜边之和”，构图时作，，，在上且，则，，当、、共线时，最小值为的长度；延长到使，则，，在中，。
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