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5.3 《分式方程》同步练习
一、选择题
1．下列关于的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若是分式方程的根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．解方程时，在方程的两边同乘以，得（ ）
A． B．
C． D．
4．已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．研究15、12、10这三个数的倒数发现：，我们称15、12、10这三个数为一组调和数，现有一组调和数：x、8、5，则x的值是（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
6．已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（ ）
x的取值 1 m n
分式的值 无意义 1 0
A． B． C． D．
7．定义一种“”运算：，例如：，则方程的解是（ ）．
A． B． C． D．
8．若实数a 使关于x 的分式方程 有正整数解，且使关于y 的一元一次不等式组至少有4 个整数解，则符合条件的所有整数a之和为（ ）
A．12 B．15 C．19 D．22
二、填空题
9．请你利用代数式，，3组成一个分式方程：________．
10．方程的解为_______．
11．若方程有增根，则增根为_____ ．
12．如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是______．
13．如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____．
14．规定在平面直角坐标系中，任意不重合的两点，之间的折线距离为．例如，点与点之间的折线距离为．已知点，若点C的坐标为，且，则m的值为________．
15．一个袋子中装有除颜色外都相同的小球，其中4个白球，若干个黑球，如果从中任摸一球，摸到白球的概率为 ，那么黑球有______________个
16．如果关于x的不等式组的解集为x＞3，且关于y的分式方程有正整数解，则符合条件的整数m的值的和是______．
三、解答题
17．解下列方程：
（1）； （2）．
18．已知关于的分式方程
（1）若该方程有增根，求的值；
（2）若该方程的解为非负数，求的取值范围．
19．在解方程时，小亮的解法如下：方程两边都乘，得．解这个方程，得．
（1）小亮的解法正确吗？
（2）你认为是原方程的根吗？与同学交流．
（3）你对这种情况有何认识？请说出你的想法．
20．数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养．
例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数），
则：，
，
，
，
照此规律，解答下列问题：
（1）________；
（2）若，求的值；
（3）求的最小值．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、，分母是常数，不含有未知数，是整式方程，不符合题意；
B、，虽然分母含有，但分子中含有根号，属于无理方程，不是分式方程，不符合题意；
C、，分母中含有未知数，是分式方程，符合题意；
D、，分母含有根号，是无理方程，不是分式方程，不符合题意．
故选：C．
2．A
解：是分式方程的根，
，
方程两边都乘，得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
解得．
3．B
解：
两边同乘以，得．
4．D
解：原方程为 ，
∵ ，
∴ 原方程可化为 ，
方程两边同乘 ，得 ，
展开整理得 ，
解得 ，
∵ 方程的解是非负数，且分母不能为零，
∴ ，
解得 且 ．
5．D
解：由题意，，
解得 ，
经检验，是原方程的解，符合题意，
因此x的值为20.
6．C
解：由时分式无意义，得，即，解得，故选项A正确，不符合题意；
由时分式值为1，得，解得，故选项B正确，不符合题意；
由时分式的值为0，得，解得，故选项C错误，符合题意；
由时分式的值为，得，解得，经检验，是方程的解，故选项D正确，不符合题意．
7．C
解：∵由新定义，
∴，
∵，
∴，
去分母得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
8．A
解：，
解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为，
不等式组至少有4个整数解，
∴的整数解必须包含4，3，2，1，
∴，
解得，
解分式方程，
去分母可得：，
解得：，
分式方程有正整数解，
∴，且（防止出现增根），且是正整数，是整数，
，，为奇数，
结合，符合条件的整数为，，，，
因此符合条件的所有整数的和为：．
二、填空题
9．（或，，）
解：分式方程是指分母中含有未知数的方程，可构造分式或，，．
10．
解：
方程两边同时乘以，得，
去括号，得
移项，合并同类项，得
系数化为，得
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
11．5
解：若方程有增根，
则，
解得，
∴增根为．
12．
解：解方程，
去分母得，
解得．
由于方程的解是正数，所以，即．
又因为分母，即，则，解得，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
13．3或6
解：
方程两边同时乘以，得 ，
整理得，
当时，方程无解，此时；
当时，则，
∵原方程无解，
∴原分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是方程的解；
综上所述，a的值为3或6，
故答案为：3或6．
14．0或4
解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
解得或，
经检验，或均是方程的解．
15．5
解：设黑球有个，则袋子中球的总个数为个．
根据概率公式可得
解得
经检验是原方程的解．
16．2
解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
移项合并得，
系数化为得，
不等式组的解集为，根据同大取大，可得；
解分式方程，
方程两边同时乘以得：，
整理得：，
解得：，
分式方程有正整数解，
，为正整数，且即，
且，
解得：且，
结合，得的取值范围为且，
又是正整数，为整数，
符合条件的整数为，，
符合条件的整数的值的和为．
三、解答题
17．（1）解：
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：
方程两边同乘，得，
整理，得，
解得，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
18．（1）解：
去分母得：，
解得，
∵关于的分式方程有增根，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
解得，
又∵原方程不能有增根，
∴，即，
∴，
∴且．
19．（1）解：小亮的解法错误，
解分式方程应检验是否原方程的增根；
（2）解：当时，原分式方程的分母，
分母为时，分式没有意义，
是原分式方程的增根，
原分式方程无解；
（3）解：解分式方程时要把求出的解代入分式方程的最简公分母，
检验求出的解是否原分式方程的增根．
20．（1）解：，
故答案为：1；
（2）根据提题意，得，，，，，
，
，
，
，
，
∵，
∴．
解得，．
经检验是方程的解，且符合题意．
∴．
（3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现，
，，，
∴
∵，
∴时，的最小值是．

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