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5.3.1《分式方程的应用》同步练习
一、选择题
1．小亮与小红周末去松山湖的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
2．A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每天多搬5吨，A型机器人搬运100吨所用的时间与B型机器人搬运80吨所用的时间相等，两种机器人每天分别搬运多少化工原料？设A型机器人每天搬运吨化工原料，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
3．某学校为有效地落实和推行“双减”政策，丰富学生课余生活，采购了一批科学实验器材和运动器材，它们的单价共800元，用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，设科学实验器材单价为x元，依题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知甲机器人每天比乙机器人每天少做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则符合题意的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．则物体A的体积为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得27个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得12个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
8．随着科技和环保意识的不断提高，电动汽车行业的发展前景越来越好．如图，，分别表示某款燃油汽车和某款电动汽车所需费用y（元）与行驶路程s（千米）的关系．已知燃油汽车每千米所需的费用比电动汽车每千米所需的费用的3倍多0.1元，设电动汽车每千米所需的费用为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题可译为：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里/天，则可列方程：________．
10．以非遗为钥，启乡村共富之门．某村将非遗“绛州鼓乐”纹样印在纯手工制作的背包上进行网上销售，现有甲、乙两个工作组来制作这样的背包．甲工作组每天比乙工作组多做个、甲工作组做个所用的时间与乙工作组做个所用的时间相等．若设甲工作组每天做个，则根据题意，可列方程为______．
11．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名，某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为______元．
12．某种植园区计划移栽一批黄花菜幼苗．已知用机器移栽每天可移栽的幼苗数量是用人工移栽每天移栽幼苗数量的4倍，且人工移栽完这批幼苗比机器移栽完多用3天．若这批黄花菜幼苗的总数为4000株．设人工移栽每天移栽幼苗的数量是x株，可列方程为________．
13．太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量．
14．春运期间，两列火车匀速行驶．一列长的客运火车完全通过一条长的山体隧道和一列长的货运火车完全通过一座长的跨河大桥所用时间恰好相等．当这列货运火车完全通过该山体隧道时，同一时间内客运火车行驶的路程为________
15．在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元．
16．为迎接年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表
摸奖券次数
摸到绣球兑换券次数
请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数__________．
三、解答题
17．甲、乙两人从A地到B地，甲骑慢车，乙骑快车，乙速度是甲的3倍，乙比甲早40分钟到达，A、B相距12千米．
（1）求甲、乙速度；
（2）甲出发10分钟后乙出发追甲，乙多久追上？
18．随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品．某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以元购进一批该款运动器材．商品上市后迅速售罄，商场随即又用元购进第二批同款运动器材．第二批购进的数量是第一批的倍，每套器材的进价比第一批多出元．
（1）该商场两次共购进这种运动器材多少套？
（2）如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数）？（）
19．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花．
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克．
20．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共20只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率
（1）若从盒子里随机摸出1只球，则摸到白球的概率的估计值为_____；（精确到）
（2）盒子里白球有_____只；
（3）若将个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是，求的值．
21.为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知每个篮球比每个排球贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同．
（1）每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？
（2）该校计划购买篮球和排球共30个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．
①一共有多少种购买方案？
②请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用．
参考答案
一、选择题
1．A
解：小红的骑行速度为，小亮的速度是小红速度的倍，
小亮的速度为，
两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了，，
可得方程．
2．A
解：设A型机器人每天搬运吨，则B型机器人每天搬运吨，A型机器人搬运100吨的时间为，B型机器人搬运80吨的时间为，
∵两者所用时间相等，
∴列方程得．
3．C
解：由于用6400元购进的运动器材与用9600元购进的科学实验器材数量相同，
．
4．B
解：∵ 设甲机器人每天做个零件，甲每天比乙少做140个零件，
∴ 乙机器人每天做 个零件.
∵ 时间总工作量日工作量，且二者所用时间相等，
∴ 甲做360个零件的时间为，乙做480个零件的时间为，
∴ 根据时间相等的等量关系，可得方程 ．
5．B
解：设物体A的体积为，
∵物体B的体积比物体A大，
∴物体B的体积为，
根据密度公式，得，，
已知，，，
因此，
化简得，
，
，
解得，
∴物体A的体积为，答案选B．
6．B
解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件，
∴现在平均每小时送件，
∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时，
∵现在送件的时间比原来少用小时，
∴原来所用时间现在所用时间，
即列方程得．
7．A
解：设甲的单价为a个铜板，乙的单价为b个铜板，
则甲卖自己的鸡蛋得钱个铜板，乙卖自己的鸡蛋得钱个铜板，
∴，
∵甲卖乙的鸡蛋按甲的单价得27铜板，乙卖甲的鸡蛋按乙的单价得12铜板，
∴，，
∴，
∴，即，
故选A．
8.D
解：∵电动汽车每千米所需的费用为元
∴燃油汽车每千米所需的费用为元
∵从图像中可以看出，当燃油汽车的费用为35元时，行驶的路程为；当电动汽车的费用为10元时，行驶的路程也为，
∴燃油汽车行驶的路程=电动汽车行驶的路程
∵路程=总费用÷每千米费用
∴ 燃油汽车行驶的路程为，电动汽车行驶的路程为
∴ 根据路程相等，可列出方程：
故选：D．
二、填空题
9．
解：设慢马的速度为里/天，
由题意可列方程：.
10．
解：设甲工作组每天做个，则乙工作组每天做个，
根据题意得，，
故答案为：．
11．55
解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意.
答：大号“龙辰辰”的单价为55元.
故答案为：55 ．
12．
解：∵人工每天移栽幼苗株，
∴机器每天移栽幼苗株，
∵总幼苗数为4000株，
∴人工移栽所需天数为天，机器移栽所需天数为天，
根据题意，人工移栽比机器移栽多用3天，
∴，
故答案为：．
13．
解：设乙品牌每小时可储存电量，则甲品牌每小时可储存电量，
，
解得，
经 检验，是原方程的解且符合实际意义，
∴乙品牌每小时可储存电量．
14．/米
解：设客运火车速度为，货运火车速度为 ，
∴客运火车完全通过山体隧道的路程为，时间，
货运火车完全通过跨河大桥的路程为 ，时间，
∵时间相等，即，
∴，
∴，
∵，
∴原方程有意义，
当货运火车完全通过山体隧道的路程为，时间为，
∴同一时间内，客运火车行驶的路程 ，
故答案为：．
15．60
解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元.
第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒.
∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍，
∴，
交叉相乘化简得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元.
16．
解：设箱子中铜鼓兑换券有张，
由表格中的数据可知，当摸奖次数为时，摸到绣球兑换券的频率为，由此估计摸到绣球兑换券的概率约为，
根据概率公式得：，
解方程：，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，符合题意．
三、解答题
17．（1）解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为千米/时，
根据题意得，
解得
经检验，是原方程的解，且符合题意
∴（千米/时）
答：甲的速度为12千米/时，乙的速度为36千米/时；
（2）解：设乙出发t小时追上，
根据题意得，，
解得小时分钟，
答：乙5分钟追上．
18．（1）解：（1）设第一批购进运动器材套，则第二批购进套，
根据题意可得：，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则两次共购进：（套），
答：该商场两次共购进这种运动器材套；
（2）解：设每套器材售价为元，
∵成本为（元），
∴利润为，
由总利润率不低于可得：，
解得，
因为取整数，
所以的最小值为，
所以每套器材售价至少是元．
19．（（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；
采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）；
（2）解：依题意，得，
解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
智能采摘机器人平均每天采摘量：．
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克．
20．（1）解：由表格数据得：当摸球次数时，摸到白球的频率稳定在左右，
∴摸到白球的概率的估计值为；
（2）解：∵盒子中总共有20只球，由（1）得摸到白球的概率为，
∴白球数量为：（只）；
（3）解：由题意得，白球总数变为，盒子中总球数变为，
∵“随机摸出1个球是白球的概率为”，
∴
解得，
经检验，，
∴是原方程的解，
∴的值为．
21.（1）解：设每个篮球的价格为x元，则每个排球的价格为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴；
答：每个篮球的价格为150元，则每个排球的价格为100元．
（2）解：①设购买篮球的个数为m个，则购买排球的个数为个，由题意得：
，
解得：，
∵m为整数，
∴m的值可以为10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29，共20个；
答：一共有20种购买方案．
②设购买篮球和排球的总费用为w元，由题意得：
，
∵，且，
∴当时，w有最小值，最小值为；
答：最节省费用的购买方案是购买篮球10个，排球20个，最少费用为3500元．

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