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第六章《平行四边形》复习题--平行四边形的性质和判定
一、单选题
1．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3.如图，四边形的对角线，并且，交于点O，M是边的中点，P是边的中点，将点M沿方向平移到点P的位置，则平移的距离等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线，与边交于点H，最后以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点M．若，，则点A，M之间的距离为（ ）
A．9 B．6 C．10 D．7
5．如图，的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：①；②平分；③；④垂直平分．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
6．在中，若，则_______．
7．如图，在平行四边形中，点M为边上一点，，点E，点F分别是，中点，若，则的长为___________．
8．如图，在中，对角线，相交于点，为的中点，为的中点，连接交于点．若，则的长为______．
9．如图1，中，连接，动点P从点A出发沿折线匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则__________，的面积为___________．
10．如图，在四边形中，，，，M是上一点，且．点E从点A出发以的速度向点D运动；点F从点B出发，以的速度向点C运动．当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为______．
三、解答题
11．如图，已知平行四边形中，平分且交于点，且交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的大小．
12．如图，已知在中，是的角平分线，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
13．如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点．
(1)尺规作图：作的角平分线，交于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：四边形是平行四边形．
14．如图所示，在 ABC中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求线段的长度．
15．如图，在四边形中，点E是的中点，，交于点F，，．
(1)求证：四边形为平行四边形．
(2)若，，，求的长．
16．如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M．
(1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形；
(2)探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)若，求四边形的面积．
17．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．
(1)求证：；
(2)若，，则与之间的距离为____________；
(3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________．
18．（1）如图1，与相交于点过点O，且分别交于点E，F，且．判断四边形的形状，并加以证明．
（2）如图2，在 ABC中，点D，E分别为边的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为的中点．
①求证：四边形为平行四边形；
②若，求的长．
19．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发以每秒个单位的速度沿向终点运动，点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，点和点同时出发，当点运动到点时，点也停止运动，设点的运动时间为（秒）（）．
(1)_________．
(2)当点运动到的垂直平分线上时，求的值．
(3)当以点，点，点，点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
(4)如图，作点关于直线的对称点，则当点落在直线上时，直接写出的值．
20．如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F．
【初步尝试】
（1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G，
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
2．B
解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意；
故选：B．
3．B
解：如图，连接，
∵M是边的中点，P是边的中点，
∴是 ABC的中位线
∴，，
故选：B
4．A
解：如图，连接、，设交于点，
由题意可知，是的角平分线，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
以为圆心，长为半径画弧，交于点，
，
，
又∵，
四边形是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形，
，，，
，
，
．
故选：A．
5．D
解：在中，
二、填空题
6．45
解：∵四边形是平行四边形，
，，且，
（平行四边形邻角互补），
，
又，，
，即，
将代入，
得：，
，
．
7．
解：，，
，则，
平行四边形，
，
点E，点F分别是，中点，即是的中位线，
．
故答案为：．
8．
解：如图，取中点，连接，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵为的中点，为的中点，
∴是中位线，是 ABC中位线，是中位线，
∴，，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9． 22
解：如图所示，作，垂足为E，
在下图中标注点M、N，且，
当点P从点A运动到点B时，对应于线段，
∴，
当点P从点B运动到点D时，对应于曲线，
∴，
∴，
当点P到点D时，对应于图中的点N，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
在中，
，
∴平行四边形的面积为：，
故答案为：，．
10．或
解∶∵，，
∴，
∵，
∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，，
当F在M的右侧时，，
又，
∴，
∴；
当F在M的左侧时，，
又，
∴，
∴；
综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或，
故答案为：或．
三、解答题
11．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）得：，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
12．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
13．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
14．（1）证明：∵点D、E分别为的中点，
∴，且，
∵点G、F分别为的中点，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∵点G为的中点，
∴．
15．（1）证明：点E是的中点，
．
，
是的中位线，
∴，
∴．
∵，
四边形为平行四边形．
（2）解：由（1）知是的中位线，
．
四边形为平行四边形，
．
，，
，，
．
16．（1）解：是等边三角形，D是的中点，
，．
垂直平分，
，．
，是等边三角形．
．
．
．
四边形是平行四边形．
（2）解：．
理由如下：如答图2，设的垂直平分线交于点F．
由（1）可知是等边三角形，
，．
．
，，
．
．
．
是等边三角形，
．
，即．
；
（3）解：如答图3，过点D作，垂足为G．则，．
由（1）得，
，，
．
17．（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点，
∴，
∴，
∵过点且垂直于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即与之间的距离为4，
故答案为：4；
（3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24，
∴，
∵，
∴，
由（1）的结论知，
∴四边形的周长为，
故答案为：16．
18．（1）解：四边形的形状为平行四边形，证明如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
同理：，
∴，
即对角线互相平分，
∴四边形为平行四边形；
（2）①证明：∵点D、E分别为，的中点，
∴是 ABC的中位线，
∴，且，
∵点G、F分别为的中点，
∴是 BCH的中位线，
∴，且，
∴，且，
∴四边形是平行四边形；
②解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点D为的中点，
∴，
∵，
∵点G为的中点，
∴．
19．（1）解：如图，过点作，则，
，，
，，
，
，
．
（2）解：如图，同（1），过点作，则，，
点在的垂直平分线上，
，，
在中，，
则，
化简得，解得．
（3）解：点沿射线运动，
，
四边形是平行四边形，，
，
，
当点未到达点时，即，解得；
当点过点后，即，解得．
故或．
（4）解：如图，当在上时：
根据对称的性质，可知，
，
，
，
，
，
，
解得；
如图，当在延长线上时：
此时，点已过点，延长于点，
根据对称的性质，可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得．
故或．
20．（1）解：四边形是平行四边形，理由如下，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
（2）①解：；理由如下：
如图，作交于点K，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形、是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
②如图，延长交的延长线于点R，
∵点P为中点，，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴，
作交的延长线于点L，作于点Q，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为．

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