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2025-2026学年八年级数学下学期5月月考测试卷（1-5章）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．某不等式的解集是，其在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A． B． C． D．或
4．分解因式：（ ）．
A． B． C． D．
5．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
7．小慧阅读一本科普图书，原来每天阅读20页，读完100页后，抽出一定的时间练毛笔字，每天的阅读量降为原来的一半，结果多花了10天才读完．设这本科普图书的总页数为页，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ）
A．，， B．
C． D．
10．如图，在三角形中，平分，点E在边上，于点F．平分交的延长线于点M．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
11．分解因式：______．
12．如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是______．
13．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________．
14．已知，则____________________．
15．当_________时，分式的值为0．
16．如图，在 ABC中，，为上一点，连接，过点作于点．若为的中点，，的周长为14，则的长为_______．
三、解答题（本题共9小题，共72分．）
17．因式分解及简便运算
(1)分解因式：； (2)简便计算：．
18．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．
19．已知，且，求代数式的值．
20．解方程：．
21．如图：在中，，于点，、分别为、上的点，且．
(1)求证：．
(2)若，求的度数．
22．某电商助农平台为推广地方特色农产品，计划购进“A县有机小米（甲商品）”和“B县特产红枣（乙商品）”两种产品．已知A县有机小米的单价比B县特产红枣的单价少20元，用3000元购进有机小米的数量与用4000元购进特产红枣的数量相同．平台将有机小米定价为每件100元，特产红枣定价为每件130元．
(1)求有机小米、特产红枣的购进单价各是多少元？
(2)平台计划购进两种商品共150件，其中有机小米的数量不低于特产红枣数量的2倍，且全部售出后总利润不低于6480元，问平台有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，平台决定对有机小米进行促销价格调整，每件变动元（可正可负），特产红枣售价不变．若要使所有可行的进货方案获利都相同，请直接写出的值．
23．如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）的顶点的坐标为(-4,5)．
(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________；
(2)将 ABC绕原点顺时针旋转得到，画出；
(3)连接，则的面积为___________．
24．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：．
(1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ．
(2)【应用公式】因式分解：．
(3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则：
① ；
②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值．
25．数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回答以下问题．点在直线上，，点、为直线上的动点，且．
【特殊化探究】
(1)如图①，当时，猜想、、之间的数量关系为______；
【一般化推理】
(2)如图②，若为任意锐角或钝角，请问（1）中结论是否仍然成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
【综合应用】
(3)如图③，是钝角，直线与的延长线交于点，若， ABC的面积是，请用表示与的面积之和；
【深化探究】
(4)如图④，，为等边三角形，求与的数量关系和夹角度数．
参考答案
一、选择题
1．B
解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项：是轴对称图形，也是中心对称图形；
选项：是中心对称图形，不是轴对称图形；
选项：是轴对称图形，不是中心对称图形．
2．D
解：不等式的解集在数轴上表示如下：
3．A
解：解得，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
即，
解得：．
4．D
解：．
5．D
解：关于的不等式组有解，
两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ，
．
6．A
解：如图所示：
过点C作于点E，交于点M，过点M作于点N，
∵平分，
∴，
∴．
由垂线段最短知，此时有最小值，为的长．
∵在中，，，，
∴,
又，
∴，
∴，
∴．
∴的最小值为2.4．
7．A
解：∵设总页数为，原计划每天读页，
∴原计划总阅读时间为天．
∵实际先读页，每天读页，剩余页数阅读量降为原来的一半，
∴读前页的时间为天，剩余页数为，后续每天阅读量为，读完剩余页数的时间为天．
∵ 实际比原计划多花天读完，
∴可得方程．
因此A选项正确．
8．D
解：∵将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴．
9．D
解：A、，，，
，
是直角三角形，故A不符合题意；
B、，
，
是直角三角形，故B不符合题意；
C、， ，
，
是直角三角形，故C不符合题意；
D、，
设，则 ，，
由三角形内角和定理得，
解得，三角形最大角不是，
不是直角三角形，故D符合题意．
10．C
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
二、填空题
11．
解：
．
12．
解：观察图象可知，当时，直线的图象在直线的图象上方，
关于的不等式的解集是．
13．
解：如图，过点作于点，
∵，，的面积为，
∴，即，
∴，
∵平分，且，，
∴，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，的长度最小，最小值为．
14．2
解：原式
．
15．2
解：∵分式的值为0，
依题意得 且.
解方程 ，
因式分解得，
解得或，
解不等式 ，
因式分解得，
解得且，
综上可得．
16．
解：∵于点E，E为的中点，
∴为线段的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，即，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，，
即，解得，
∴．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集为．
19．解：原式
．
，
．
原式．
20．解：，
等号两边同时乘以，可得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
21．（1）证明：∵在中，，，
∴，平分，，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．（1）解：特产红枣的单价为元，则有机小米的单价为元，
根据题意得，，
解得，
经检验是方程的解，
则，
答：有机小米的单价是60元，特产红枣的单价是80元；
（2）解：购买特产红枣件，则有机小米件，
根据题意得，，
解得，
为正整数，
或或，
则方案一购买特产红枣48件，则有机小米102件；
方案二购买特产红枣49件，则有机小米101件；
方案三购买特产红枣50件，则有机小米100件；
故商品共有三种购买方案；
（3）解：设商品总获利为元，
，
所有进货方案获利都相同，
的取值与无关，则的系数为0，
，
即答案为：
23．（1）解：如下图，
由点，确定坐标原点O，
所以点B的坐标为，点C的坐标为；
（2）如（1）图，作，且，得到，同理可得：，，连接，即为所求；
（3）如（1）图，连接 ，
．
24．（1）解：∵，
将转化为，代入和的立方公式得：
．
（2）解：
．
（3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，，
∵，
∴，
整理得：，
∴即．
②
，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴原式．
25．（1）解：猜想，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（1）中结论仍然成立；理由如下：
，
，
，
在和中，，
，
，，
；
（3）解：同理（2）得，
，
设 ABC的底边上的高为，则的底边上的高为，
，，
，
，
，
与的面积之和为．
（4）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
为等边三角形，
，．
，
，
，
．
即．
在和中，，
，
，，
．
，且与夹角为．

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