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第6章《平行四边形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．在平行四边形中，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，于E，于F，若，，，则长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
3．如图，在中，对角线相交于点O，若，则的周长为（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
4．四边形的对角线与相交于点，下列四组条件中，一定能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．，
5．如图，中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在 ABC中，是的中点，为上一点，平分，且于点，连接，若，，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
7．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，过点A作，垂足为F，若，，则的长为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ）
A．3 B． C． D．
9．如图，平行四边形中，平分，交于点E，连接，点F，G分别是和的中点，若，，则的长为（ ）
A．3 B．2 C．2.5 D．4
10．如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和，再找到、的中点、，测得的长度为米，则，两点间的距离为______．
12．如图，在平行四边形中，，点，分别是，的中点，则的长为__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，顶点、、都在坐标轴上，点的坐标为，则面积为__________．
14．如图，中，过对角线的交点O，如果，，，则四边形的周长为________．
15．如图，平行四边形的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则的长为___________．
16．如图，在中，，，，点分别是上动点．连接，点分别为中点，连接．则最小值为______．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，，．求证：四边形是平行四边形．
18．如图，在中，是它的一条对角线，过A，C两点分别作，，E、F是垂足，求证：．
19．如图，在四边形中，点为的中点，连接，并延长交的延长线于点，已知．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图．
(1)找出格点，连结，，使四边形是平行四边形；
(2)过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积．
21．如图1，在中，为边上的一个动点，连接，过点作交于点，点A、P关于直线对称，连接、、．
(1)证明：平分；
(2)当时，求的长；
(3)当等腰三角形时，求的长．
22．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）．
(1)设的面积为，请用含的式子表示；
(2)当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)当为何值时，的长度为？
23．已知：四边形是平行四边形，点E是中点，连接，将沿着直线翻折得到，延长交的延长线于点P，延长交于点Q．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，若，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有与相等的角．
24．如图1，点是射线上的一个动点，点在射线的上方．现以点为顶点构造平行四边形．的平分线分别交于点，直线与相交于点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点为中点，连接并延长交线段于点，若，求的长；
(3)如图1，在点的运动过程中，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，在中，于点，，连接交于点．
(1)如图1所示，，，求的值．
(2)如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接．
①证明：．
②直接写出的等量关系．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
2．B
解：∵在中，，，，，
∴，
即，
∴．
3．B
解：四边形是平行四边形，，，
，
，
的周长．
4．C
解：对于选项C：
∵，，，
∴．
∴．
同理可得．
∴四边形为平行四边形．
选项A、B、D均不符合平行四边形的判定条件．
5．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴．
6．D
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴．
7．B
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵的平分线交于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．A
解：延长，交的延长线于点M，
∵是边的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是边上的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴．
9．A
解：∵平行四边形中，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点F，G分别是和的中点，，，
∴，
∴.
10．D
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
在平行四边形中，，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
，
，
在平行四边形中，，
∴，故②正确；
∵在平行四边形中，，
∴，
，，
，
，故③错误；
∵在平行四边形中，，
∴，
，
∵，
，故④正确；
综上，正确的有①②④．
二、填空题
11．米
解：∵是中点，是中点，
∴是 ABC中位线，
∴，
∴（米），
∴，两点间的距离为米．
12．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴．
13．42
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴轴，
∵点的坐标为，
∴，，
∴．
14．
解：根据平行四边形的性质，得，，
，
又，
，
，，
，
，，
四边形的周长为： ．
15．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∵的周长是，
∴，
∵点，分别是线段，的中点，
∴是的中位线，
∴．
16．
解：如图，连接，
∵点、分别是、的中点，
∴，
∴当取最小值时，可取得最小值，
如图，过点作于点，此时线段的长最小，
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
在中，，．
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是．
三、解答题
17．证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
18．证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
19．（1）证明：点为的中点，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，，
，
．
20．（1）取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形．
（2）连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积．
21．（1）证明：，
，，
由折叠的性质可得，，
，
平分；
（2）解：如图，令与的交点为，
在中，，
，，，
，
，，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
在CDM和中，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，即的长为；
（3）解：分三种情况讨论：
①当时，如图，过点作于点，
，，
由折叠的性质可知，，
由（1）可知，平分，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，不符合题意；
③当时，
，，
，不符合题意，
综上可知，的长为2．
22．（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒），
∵其中一个动点到达端点时运动停止，
∴的取值范围是，
由题可知：，，则，
∵，
∴
∵，
∴点到的距离等于的长，
∴；
（2）解：∵，点在上，点在上，
∴，
若要使四边形为平行四边形，只需，
即：
解得：
经检验，在范围内，符合题意，
∴当时，四边形是平行四边形；
（3）解：过点作于点，则
∵，
∴，
∴
又
∴四边形为平行四边形，
∴，，
在中，由勾股定理得：
其中，，，
∴
∴
由此可得两种情况：
①当时，解得
②当时：解得
经检验，和均在范围内，均符合题意，
∴当或时，的长度为．
23．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴；
∵点E是中点，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴图中所有与相等的角为，，，．
24．（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴∠，
∴．
（2）解：延长交于,
由（）知，点为中点，，
∴，
∴,
∵平分，平分，
∴，，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
∴∠，，
∴，，
∴，，
又∵，，，
∴，
∴；
同理可证,
∴是的中点，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴为的中位线，
∴，
∴．
（3）解：如图，
过作交于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴,,，
由（）知，
∴，
∴，
∵,
∴，
由（）可知，，,，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．（1）解：∵，
在中，，，
由勾股定理得：
又，
，
．
四边形是平行四边形，
，，且，
，
，即．
过点作，交的延长线于点，
∴，
在和中
∴
∴，
∴，
在中：
；
（2）解：①在 中，，
又，
，
，
，
，
在和中，
，
②连接，
在中，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰直角三角形，

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