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第四章　因式分解　常考题精选　
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解；
对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解；
对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义；
对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解．
2．（本题3分）（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列与的乘积等于的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设所求代数式为，
由题意得，，
∵，
∴，
，
∴与的乘积等于的代数式是．
3．（本题3分）（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键．
根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件．
【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式，
选项：，两项符号相同，不符合；
选项：，非平方项，不符合；
选项：，符合平方差公式，可分解为；
选项：，两项符号相同，不符合．
故选：．
4．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是( )
A．能被2022整除 B．能被2023整除
C．能被2024整除 D．能被2025整除
【答案】A
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，将原式分解因式，判断各选项是否为因式的因数．
【详解】解：
故选：A．
5．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．24
【答案】D
【分析】本题考查了求整式的值，先进行因式分解化为，代入计算即可求解；掌握因式分解及整体代入法是解题的关键．
【详解】解：原式，
当，时，
原式
；
故答案：D．
6．（本题3分）（2024七年级下·浙江·专题练习）已知有一个因式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握求解的方法，设该多项式的另一个因式是 ，再利用多项式的乘法即可求解．
【详解】解：设该多项式的另一个因式是，
∴，
，
，
，
∴，，
解得：，
∴．
故选：C．
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
【答案】D
【分析】本题考查了二元一次方程和利用平方差公式分解因式，学生们熟练掌握二元一次方程的计算和平方差公式的计算即可． 把代入原方程组得，解出与，再进一步即可求出答案．
【详解】解：把代入原方程组
得，
∴两个方程相加得：即，
两个方程相减得：，
∴，
故答案选D．
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可．
【详解】解：由图可知：，
正方形边长为a，正方形边长为b，
，
，
，
，
，
将，代入得：
，
故选：B．
9．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
【答案】B
【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值．
【详解】解：
，
故选：B．
10．（本题3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可．
【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是，
正确，，
乙看错了的值，分解的结果是，
正确，，
正确多项式为，
因式分解得．
故选：A．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：___．
【答案】
【详解】解：．
12．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·期中）因式分解：______．
【答案】
【分析】通过变号将多项式转化为具备公因式的形式，再利用提取公因式法进行分解．
【详解】解：
．
13．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则___________．
【答案】200
【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用图形面积可得，再利用平方差公式可得答案；
【详解】解：由题意得，，
∴．
故答案为：．
14．（本题3分）（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若代数式的值是5，则代数式的值是______．
【答案】
【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，先根据题意得到，再由，把整体代入计算即可．
【详解】解：∵代数式的值是5，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若可因式分解为，则常数a为________．
【答案】
【分析】根据单项式乘以多项式进行计算，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘方，熟练掌握多项式的乘法法则是解题的关键．
16．（本题3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，均为正整数，且，．若，则的值为______．
【答案】或
【分析】本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，代数式求值，由题意得，则有，然后通过的正整数因数对为和，列出方程组，然后解方程组，再代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的正整数因数对为：和，
∴或，
解得：或，
综上所述，或，
故答案为：或．
三、解答题（共52分）
17．（本题6分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）用提公因式法因式分解；
（2）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（本题6分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）分解因式：
(1)．
(2)．
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（3）提取公因式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
19．（本题6分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）．
【答案】，，（答案不唯一）
【分析】本题考查了分解因式．运用提公因式法或公式法进行分解即可解答．
【详解】解：选择，，
∴；
选择，
∴；
选择，，，
∴．
20．（本题6分）（21-22七年级上·山东枣庄·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．
解：因为，所以原式．
仿照以上解题方法，完成下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）仿照例题，可得，将，整体代入求解即可；
（2）仿照例题，可得，将，，，整体代入求解即可．
【详解】（1）解：因为，
所以原式
．
（2）解：因为，，
所以原式
．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．
21．（本题6分）（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，．
(1)因式分解：________；
(2)若，求的值；
(3)若，求，之间满足的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，分式的化简求值，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）仿照题干计算即可；
（2）仿照题干计算得到，则，则因式分解为，得到，再代入进行分式的求值；
（3）先由新定义计算得到，化简因式分解可得，则即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，
，
解得或．
22．（本题6分）（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值：
解：
因为，所以．当时，有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____
(2)用配方法因式分解：
(3)若，求的最大值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式，对于，，得，故常数项为；
（2）将凑成，再用平方差公式分解；
（3）将凑成，结合即可得到的最大值．
【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即，
即，
故添加一个常数为；
（2）解：
；
（3）解：
，
，
，，
即当时，取得最大值．
23．（本题8分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）（1）已知，求的值；
（2）已知问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
【答案】（1）；（2）有公因式，公因式为
【分析】本题主要考查公因式的确定，代数式求值，因式分解；
（1）先利用提公因式法和公式法分解因式，再代入计算即可；
（2）先利用提公因式法和公式法分解因式，然后再确定公因式．
【详解】解：（1）∵，
（2）多项式A、B、C有公因式．
∴多项式A、B、C的公因式是．
24．（本题8分）（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积．
(1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________．
(2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
(3)若满足，求代数式的值．
【答案】(1)；
(2)图中阴影部分面积为；
(3)代数式的值为．
【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解；
（）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解；
（）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解．
【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴图中阴影部分面积为；
（3）解：设，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴代数式的值为．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第四章　因式分解　常考题精选　
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（本题3分）（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列与的乘积等于的代数式是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是( )
A．能被2022整除 B．能被2023整除
C．能被2024整除 D．能被2025整除
5．（本题3分）（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．24
6．（本题3分）（2024七年级下·浙江·专题练习）已知有一个因式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（23-24七年级下·浙江温州·期中）若是方程组的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．16
8．（本题3分）（23-24七年级下·浙江舟山·期末）边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．28 B．39 C．61 D．68
9．（本题3分）（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（ ）
A．30 B．36 C．42 D．48
10．（本题3分）（25-26八年级上·全国·单元测试）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：___．
12．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·期中）因式分解：______．
13．（本题3分）（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则___________．
14．（本题3分）（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若代数式的值是5，则代数式的值是______．
15．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）若可因式分解为，则常数a为________．
16．（本题3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，均为正整数，且，．若，则的值为______．
三、解答题（共52分）
17．（本题6分）（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分解因式：
(1)； (2)．
18．（本题6分）（24-25七年级下·浙江杭州·期末）分解因式：
(1)． (2)． (3)．
（本题6分）（24-25七年级下·浙江金华·期末）从，，这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解（写出两种情况）．
20．（本题6分）（21-22七年级上·山东枣庄·期末）阅读理解：已知，求代数式的值．
解：因为，所以原式．
仿照以上解题方法，完成下面的问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，，求的值．
21．（本题6分）（24-25七年级下·浙江台州·期末）我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，．
(1)因式分解：________；
(2)若，求的值；
(3)若，求，之间满足的数量关系．
22．（本题6分）（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：，
解：原式
②，利用配方法求的最小值：
解：
因为，所以．当时，有最小值5
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____
(2)用配方法因式分解：
(3)若，求的最大值
23．（本题8分）（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）（1）已知，求的值；
（2）已知问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
24．（本题8分）（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积．
(1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________．
(2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
(3)若满足，求代数式的值．
试卷第1页，共3页
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