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2026 年九年级学业水平模拟测试（二）数学试题（2026.5）
（满分150分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列四个数中，最小的数为（ ）
A.3 B. C. D. 3
2.下列几何体中，左视图是三角形的为（ ）
3.人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek-V3 模型参数可达 6710 亿个，其中数据 “6710 亿” 用科学记数法表示为（ ）
A. 6.71×1012 B.0.671×1012 C.6.71×1011 D.6.71×103
4.已知 a≤b，下列不等式一定成立的是（ ）
A.a+1≥b+1 B.1 a≥1 b C.3a≥3b D. a≤ b
5.围棋是中华民族发明的博弈活动。下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
6.下列运算正确的是（ ）
A.2m+2n=4mn B.(mn2)3=mn6 C.m6÷m2=m3 D.m2·m3=m5
7.若关于 x 的方程 x2+mx 6=0有一个根为 2，则另一个根为（ ）
A.1 B. 3 C.3 D. 1
8.“舜耕历山” 是济南标志性历史文化符号。某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印有 “孝、亲、仁、善” 四张卡片，卡片除文字外完全相同。将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片恰好是 “仁” 和 “善” 的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，CA=5，∠ABC的平分线 BP与 AC相交于点 D。在线段 AD上取一点 K，以点 C 为圆心，CK长为半径作弧，与射线 BP相交于点 M和点 N，再分别以点 M和点 N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点 Q，作射线 CQ，与 AB相交于点 E，连接 DE。则△DAE的周长为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
10.定义：在平面直角坐标系xOy中，点 P的坐标为 (a,b)，点 Q的坐标为 (c,d)。若 c=ka，d= kb，其中 k为常数，且 k≠0，则称点 Q是点 P的 “k级变换点”。例如，点 ( 4,6)是点 (2,3)的 “ 2级变换点”。则下列结论中，正确的个数是（ ）
①函数 y= 的图象上存在点 (1,2)的 “ 3级变换点”；②点 A是函数 y=x 2的图象上一点，A′是点 A的 “1级变换点”，则 OA′的最小值为；③点 A(t,t 2)与其 “2级变换点”B分别在直线 l1，l2上，在 l1，l2上分别取点 (m,y1)，(m,y2)，若 ∣y1 y2∣=2，则 m=8；
④关于 x的二次函数 y=nx2 4nx 5n（x>0）的图象上恰有两个点，这两个点的 “1级变换点” 都在直线 y= x+5上，则 n的取值范围为 0A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.分解因式：9 m2= 。
12.正方形地板由 9 块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是________。
(第12图题) (第13题图) (第14题图) (第15题图)
13.如图AC是正五边形 ABCDE的对角线，过点 B作直线l∥AC ，则 ∠1的大小是____度。
14.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间 t（分）之间的关系如图所示，则乙比甲早到________分钟。
15.如图，在矩形 ABCD中，AB=3，BC=4，点 F在边 AD 上，点 E在边 CD 上。连接 EF，将矩形沿 EF翻折，点 A，B，C 的对应点分别为 A′，B′，C′，线段 B′C′恰好经过点 D。若 EF∥AC，则 AF的长等于________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）计算：(π 1)0+9tan30° +∣ 3∣ () 1。
17.（7 分）解不等式组：并写出它的所有正整数解。
18.（7 分）如图，点 E，F分别在菱形 ABCD的边 BC，CD上，且 CE=CF。求证：∠BAF=∠DAE。
19.（9 分）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域。某科研团队研发了 A，B，C 三款智能机器人。为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试。在图象识别能力测试中，A，B，C 三款机器人的得分（满分为 100 分）分别为 87 分、85 分、90 分。运动能力测试由 10 位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为 10 分）。现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优。
【数据收集与整理】
A，B，C 三款机器人运动能力测试情况统计表：
（1）填空：m= ，n= ；
（2）通过比较方差，判断测试员对______（填 “A”，“B” 或 “C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高；
（3）若按图象识别能力测试成绩占 40%，运动能力测试成绩占 60% 计算综合成绩，请你通过计算判断 A，B 这两款机器人中综合成绩高的是哪一款？
20.（8 分）“泉城济南，好客山东” 成为山东旅游极具影响力的宣传口号，济南某仿古景观城楼成为市民休闲打卡地。某中学数学兴趣小组利用无人机测量该城楼 CD的高度，测量方案如图：在坡底 A处测得楼顶 C的仰角为 45°，沿坡比为 5:12的斜坡 AB前行 13 米到达平台 B处，在 B处测得楼顶C 的仰角为58°。（参考数据：tan58°≈1.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53）
（1）求坡顶 B到地面的距离；
（2）计算城楼 CD 的高度（结果精确到 0.1 米）。
21.（8 分）如图，在△ABC中，AB=AC，以 BC为直径的 ⊙O交 AB边于点 D，点 E 在 AC上，连接 CD，DE，∠ADE=∠BCD。
（1）证明：DE是 ⊙O的切线；
（2）若 ⊙O的直径为5，BD=3，求 AC的长。
22.（10 分）依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校园足球、排球普及工程。某中学计划采购一批足球与排球。已知足球单价是排球单价的 1.5 倍，用 960 元购买足球的数量比用 360 元购买排球的数量多 7 个。
（1）求足球和排球的单价各是多少元？
（2）该校计划购买足球和排球共 50 个，其中排球 a个，足球数量不少于排球数量的，设购买总费用为 w元，求 w与 a的函数关系式，并求出最少购买费用。
23.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=x的图象与反比例函数 y=的图象交于 A，B两点，过点 A作直线AC⊥AB交 x轴于点 C(4,0)，直线 BC交反比例函数y=图象于另一点 D。
（1）求 k值和直线 BC的函数表达式；
（2）连接 AD，求△ABD的面积；
（3）若点 P是反比例函数y=上一点，点 P的横坐标为 m，当 ∠BDP=∠ABC时，请直接写出 m的值。
24.（12 分）已知矩形 ABCD，点 E为直线 BD上的一个动点（点 E不与点 B重合），连接 AE，以 AE为一边构造矩形 AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接 DG，若==m（m为常数），请完成下列问题：
（1）如图 1，当 m=1时，线段 BE与线段 DG的数量关系为______；位置关系为______；
（2）如图 2，当 m=2时，请猜想线段 BE与线段 DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，取线段 BG的中点 M，连接 CM，若 AB=，求线段 CM的最小值。
25.（12 分）如图，二次函数 y=x2+bx 1经过点 ( 2, 1)，点 P是第一象限内抛物线上一点，其横坐标为 m，连接 PO并延长至点 Q，使 OQ=2PO，过点 P作 x轴的垂线，过点Q作 y轴的垂线，这两条垂线交于点 M。
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当△PQM的边 MQ经过此抛物线的最低点时，求点 Q的坐标；
（3）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标 y随 x的增大而增大时，求 m 的取值范围。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.下列四个数中，最小的数为（ D ）
A.3 B. C. D. 3
2.下列几何体中，左视图是三角形的为（ A ）
3.人工智能模型的参数量越大，理解能力越强；Deepseek-V3 模型参数可达 6710 亿个，其中数据 “6710 亿” 用科学记数法表示为（ C ）
A. 6.71×1012 B.0.671×1012 C.6.71×1011 D.6.71×103
4.已知 a≤b，下列不等式一定成立的是（ B ）
A.a+1≥b+1 B.1 a≥1 b C.3a≥3b D. a≤ b
5.围棋是中华民族发明的博弈活动。下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ C ）
6.下列运算正确的是（ D ）
A.2m+2n=4mn B.(mn2)3=mn6 C.m6÷m2=m3 D.m2·m3=m5
7.若关于 x 的方程 x2+mx 6=0有一个根为 2，则另一个根为（ B ）
A.1 B. 3 C.3 D. 1
8.“舜耕历山” 是济南标志性历史文化符号。某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印有 “孝、亲、仁、善” 四张卡片，卡片除文字外完全相同。将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取两张，则这两张卡片恰好是 “仁” 和 “善” 的概率是（ A ）
A. B. C. D.
9.如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，CA=5，∠ABC的平分线 BP与 AC相交于点 D。在线段 AD上取一点 K，以点 C 为圆心，CK长为半径作弧，与射线 BP相交于点 M和点 N，再分别以点 M和点 N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点 Q，作射线 CQ，与 AB相交于点 E，连接 DE。则△DAE的周长为（ A ）
A.7 B.8 C.9 D.10
10.定义：在平面直角坐标系xOy中，点 P的坐标为 (a,b)，点 Q的坐标为 (c,d)。若 c=ka，d= kb，其中 k为常数，且 k≠0，则称点 Q是点 P的 “k级变换点”。例如，点 ( 4,6)是点 (2,3)的 “ 2级变换点”。则下列结论中，正确的个数是（ C ）
①函数 y= 的图象上存在点 (1,2)的 “ 3级变换点”；②点 A是函数 y=x 2的图象上一点，A′是点 A的 “1级变换点”，则 OA′的最小值为；③点 A(t,t 2)与其 “2级变换点”B分别在直线 l1，l2上，在 l1，l2上分别取点 (m,y1)，(m,y2)，若 ∣y1 y2∣=2，则 m=8；
④关于 x的二次函数 y=nx2 4nx 5n（x>0）的图象上恰有两个点，这两个点的 “1级变换点” 都在直线 y= x+5上，则 n的取值范围为 0A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分。）
11.分解因式：9 m2= (3+m)(3﹣m) 。
12.正方形地板由 9 块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是________。
(第12图题) (第13题图) (第14题图) (第15题图)
13.如图AC是正五边形 ABCDE的对角线，过点 B作直线l∥AC ，则 ∠1的大小是__36__度。
14.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行 2400 米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发 4 分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间 t（分）之间的关系如图所示，则乙比甲早到____6____分钟。
15.如图，在矩形 ABCD中，AB=3，BC=4，点 F在边 AD 上，点 E在边 CD 上。连接 EF，将矩形沿 EF翻折，点 A，B，C 的对应点分别为 A′，B′，C′，线段 B′C′恰好经过点 D。若 EF∥AC，则 AF的长等于________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
16.（7 分）计算：(π 1)0+9tan30° +∣ 3∣ () 1。
=1+3﹣3+3﹣2
=2
17.（7 分）解不等式组：并写出它的所有正整数解。
解不等式①得：x<4 ……………………2 分
解不等式②得：x<5 ……………………4 分
∴不等式组的解集为 x<4……………………6 分
∴正整数解是 1,2,3 ……………………7 分
18.（7 分）如图，点 E，F分别在菱形 ABCD的边 BC，CD上，且 CE=CF。求证：∠BAF=∠DAE。
证明：∵四边形 ABCD是菱形
∴AB=AD,∠B=∠D,BC=CD ……………………3 分
∵CE=CF
∴BC CE=CD CF，即 BE=DF……………………5 分
在 △ABE和 △ADF中：
∴△ABE≌△ADF（SAS） ……………………6 分
∴∠BAF=∠DAE ……………………7 分
19.（9 分）在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域。某科研团队研发了 A，B，C 三款智能机器人。为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，该团队对它们进行了全面测试。在图象识别能力测试中，A，B，C 三款机器人的得分（满分为 100 分）分别为 87 分、85 分、90 分。运动能力测试由 10 位专业测试员根据一系列动作任务进行打分（满分为 10 分）。现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析，以评估哪款机器人的综合性能更优。
【数据收集与整理】
A，B，C 三款机器人运动能力测试情况统计表：
（1）填空：m= ，n= ；
（2）通过比较方差，判断测试员对______（填 “A”，“B” 或 “C”）款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高；
（3）若按图象识别能力测试成绩占 40%，运动能力测试成绩占 60% 计算综合成绩，请你通过计算判断 A，B 这两款机器人中综合成绩高的是哪一款？
（1）m=9；n=8 ……………………4 分
（2）方差越小一致性越高，选 B ……………………6 分
（3）综合成绩计算：
A 款：87×40%+85×60%=85.8分
B 款：85×40%+87×60%=86.2分 ……………………8 分
∵86.2>85.8，
∴综合成绩最高的是 B 款机器人 ……………………9 分
20.（8 分）“泉城济南，好客山东” 成为山东旅游极具影响力的宣传口号，济南某仿古景观城楼成为市民休闲打卡地。某中学数学兴趣小组利用无人机测量该城楼 CD的高度，测量方案如图：在坡底 A处测得楼顶 C的仰角为 45°，沿坡比为 5:12的斜坡 AB前行 13 米到达平台 B处，在 B处测得楼顶C 的仰角为58°。（参考数据：tan58°≈1.60，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53）
（1）求坡顶 B到地面的距离；
（2）计算城楼 CD 的高度（结果精确到 0.1 米）。
（1）过点B作 BF⊥AE，垂足为 F。
∵斜坡 AB坡比为 5:12，
设 BF=5x，AF=12x，则 AB=13x。
∵AB=13米，
∴x=1，BF=5米，AF=12米。
答：坡顶 B 到地面的距离为 5米。 ……………………3 分
（2）设 BD=EF=y米，则 AE=12+y米。
在 Rt△AEC中，∠CAE=45 ，
∴CE=AE=12+y。
在 Rt△CBD中，
tan58 ≈1.6，
∴CD≈1.6y。
∵CD+DE=CE，即 1.6y+5=12+y，
解得 y=。
∴CD≈1.6×≈18.7米。
答：城楼 CD高度约为 18.7米。 ……………………8 分
21.（8 分）如图，在△ABC中，AB=AC，以 BC为直径的 ⊙O交 AB边于点 D，点 E 在 AC上，连接 CD，DE，∠ADE=∠BCD。
（1）证明：DE是 ⊙O的切线；
（2）若 ⊙O的直径为5，BD=3，求 AC的长。
（1）连接 OD，则 OD=OB，
∴∠ODB=∠B。
∵BC是直径，
∴∠BDC=90 。
∵∠ADE=∠BCD，
∴∠ADE+∠ODB=∠BCD+∠B=90 。
∴∠ODE=90 ，DE⊥OD，
故 DE是 ⊙O的切线。 ……………………4 分
（2）∵BC=5，BD=3，
∴CD==4。
设 AC=AB=x，则 AD=x 3。
在 Rt△ADC中，AD2+CD2=AC2，即 (x 3)2+42=x2。
解得 x=，即 AC=。 ……………………8 分
22.（10 分）依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校园足球、排球普及工程。某中学计划采购一批足球与排球。已知足球单价是排球单价的 1.5 倍，用 960 元购买足球的数量比用 360 元购买排球的数量多 7 个。
（1）求足球和排球的单价各是多少元？
（2）该校计划购买足球和排球共 50 个，其中排球 a个，足球数量不少于排球数量的，设购买总费用为 w元，求 w与 a的函数关系式，并求出最少购买费用。
（1）设排球单价为 x元，则足球单价为 1.5x元。
由题意：=+7，
解得 x=40，
经检验，x=40十原方程的根
1.5x=60。
答：足球单价 60元，排球单价 40元。 ……………………6 分
（2）设购买排球 a个，则足球 (50 a)个。
∵50 a≥a，
∴a≤30。
总费用 W=40a+60(50 a)= 20a+3000。
∵ 20<0，
W随 a增大而减小，
∴a=30时，W最小。
W最小= 20×30+3000=2400元。
答：最少购买费用为 2400元。 ……………………10
23.（10 分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=x的图象与反比例函数 y=的图象交于 A，B两点，过点 A作直线AC⊥AB交 x轴于点 C(4,0)，直线 BC交反比例函数y=图象于另一点 D。
（1）求 k值和直线 BC的函数表达式；
（2）连接 AD，求△ABD的面积；
（3）若点 P是反比例函数y=上一点，点 P的横坐标为 m，当 ∠BDP=∠ABC时，请直接写出 m的值。
（1）∵AC⊥AB，A在 y=x上，
∴△AOC为等腰直角三角形，A(2,2)。
∴k=2×2=4，反比例函数为 y=。
∴B( 2, 2)，
设 BC解析式为 y=mx+n，代入 B（ 2, 2）,C(4,0)
得
解得
∴BC解析式为 y=x。 ……………………4 分
（2）联立y=x 与y=，
解得 D(6,)。
过 A作 AE∥y轴交 BC于E(2, )，
AE=2+=。
S△ABD=××(6+2)=。 ……………………8 分
（3）m= 或 m=。 ……………………10 分
24.（12 分）已知矩形 ABCD，点 E为直线 BD上的一个动点（点 E不与点 B重合），连接 AE，以 AE为一边构造矩形 AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接 DG，若==m（m为常数），请完成下列问题：
（1）如图 1，当 m=1时，线段 BE与线段 DG的数量关系为______；位置关系为______；
（2）如图 2，当 m=2时，请猜想线段 BE与线段 DG的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，取线段 BG的中点 M，连接 CM，若 AB=，求线段 CM的最小值。
解：（1）BE=DG；BE⊥DG；…………………………4 分
（2）DG=2BE，BE⊥DG，
理由如下：…………………………5 分
由题意知：四边形ABCD和四边形AEFG为矩形，
∴∠BAD=∠EAG=90
即∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG，
∴∠BAE=∠DAG，
∵==m=2，
∴△BAE∽△DAG，…………………………7 分
∴==2，∠ABE=∠ADG，
∴DG=2BE，∠ADG+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90 ，
∴∠BDG=90 ，
∴BE⊥DG；…………………………8 分
（3）由（2）知∠BDG=90
∴△BDG为直角三角形，
∵M是线段BG的中点，
∴DM=BM=MG=BG，
∴点M的轨迹为线段BD的中垂线，…………………………9 分
取BD的中点M′，作直线MM′交BC于点H，过点C作CN⊥MM′，垂足为N，
∴
当点M运动到与点N重合时，线段CM长度取得最小值，
∵在矩形ABCD中,=2，AB=
∴BD==5，cos∠CBD=，
∴BM′=BD=，
在直角三角形BM′H中
∵BM′=，cos∠CBD=，
∴BH=，…………………………10 分
∴CH=BC BH=，
又∵CN⊥MM′，BD⊥MM′，
∴∠BM′N=∠CNM′=90 ，
∴CN∥BD，
∴∠HCN=∠CBD，
∴cos∠HCN=cos∠CBD=，…………………………11 分
在直角三角形CNH中
∵cos∠HCN=，CH=，
∴CN=，
即线段CM的最小值为。…………………………12 分
25.（12 分）如图，二次函数 y=x2+bx 1经过点 ( 2, 1)，点 P是第一象限内抛物线上一点，其横坐标为 m，连接 PO并延长至点 Q，使 OQ=2PO，过点 P作 x轴的垂线，过点Q作 y轴的垂线，这两条垂线交于点 M。
（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；
（2）当△PQM的边 MQ经过此抛物线的最低点时，求点 Q的坐标；
（3）当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标 y随 x的增大而增大时，求 m 的取值范围。
解：（1）将(2, 1)代入y=x2 bx 1得，
1=4 2b 1，…………………………1 分
解得b=2，…………………………2 分
∴抛物线的解析式为y=x2+2x 1；…………………………3 分
顶点坐标为( 1, 2)，…………………………4 分
（2）因为QM经过最低点，即经过顶点，如图
∵ON∥QM
∴==，
根据顶点纵坐标可得，MN=2，…………………………5 分
∵P(m,m2+2m 1)
则=，即=，…………………………6 分
解得m= 1±，
∵m>0
∴m= 1+，…………………………7 分
∴Q(2 2, 2)；…………………………8 分
（3）①当PQ经过顶点G时，过点G作GF⊥y轴，PE⊥y轴
由∠PEO=∠GFO=90 ，∠POE=∠GOF，
△POE∽△GOF，
∴ =，即=，
解得m=1，或m= 1（舍去），…………………………9 分
∴当点P向右运动时，满足题意，
∴m≥1；…………………………10 分
②如图所示，
∵=，
∴Q( 2m, 2(m2+2m 1))，代入抛物线解析式得， 2(m2+2m 1)=( 2m)2 4m 1，
解得m=，或m= （舍去），
此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时（注意：P点在第一象限，）都符合题意，
当yP=0时，有x2+2x 1=0，
解得x1= 1 ，x2= 1+，…………………………11 分
∴ 1+综上：m≥1或 1+

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