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(共49张PPT)
01
第一章
运动的描述 匀变速直线运动
思维进阶一　运动学图像　追及相遇问题
角度突破
运动学图像问题
考点一
破题路径
模型构建
角度突破
追及相遇问题
考点二
破题路径
能力要语
破题路径
[思维进阶(一)]　
运动学图像　追及相遇问题
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谢谢观看思维进阶一　运动学图像　追及相遇问题
考点一　运动学图像问题
x-t图像中，曲线斜率表示速度，弯曲程度显示加速度
【例1】 (2025·徐州检测)如图所示，在同一平直公路上行驶的a车和b车，其位置—时间图像分别为图中直线a和曲线b。已知b车的加速度恒定且初速度为8 m/s，t＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切。下列说法不正确的是(　　)
A.a车的速度大小为2 m/s
B.b车的加速度大小为2 m/s2
C.t＝0时，a车和b车相距15 m
D.t＝2 s时，a车在b车前方1 m处
题后反思：
角度突破
1.定：线
2.定：斜率
3.定：截距
x-t图像的纵截距表示初位置。
【例1】 解析：选C。a车的速度大小为直线a的斜率，计算可得va＝ m/s＝2 m/s，A正确；t1＝3 s时，直线a和曲线b刚好相切，即此时b车速度与a车速度相等为2 m/s，而b车的初速度大小为8 m/s，故加速度大小为a＝＝2 m/s2，B正确；从图像可知，t1＝3 s时，两车相遇，3 s内b车位移为xb＝v0t1－a＝15 m，而此过程中a车位移为xa＝8 m－2 m＝6 m，它们的初始距离为x0＝xb－xa＝9 m，即初始时a车在b车前面9 m处，C错误；t2＝2 s时，两车位移分别为xa'＝vat2＝4 m，xb'＝v0t2－a＝12 m，则此时两车的距离为x'＝xa'＋x0－xb'＝1 m，即此时a车在b车前方1 m处，D正确。
v-t图像中， 图线斜率定加速度，线下面积求位移
【例2】 (现代科技融通题)(2025·徐州一模)如图甲所示为某智能扫地机器人，图乙是该机器人在某段时间内的速度—时间图像。关于该智能机器人，下列说法错误的是(　　)
A.0.1 s时机器人的加速度大小为6.0 m/s2
B.0～0.2 s和0.2～0.7 s过程中，机器人的加速度大小之比为1∶6
C.0～0.7 s机器人的位移大小为1.155 m
D.0～0.7 s机器人的平均速度大小为1.65 m/s
题后反思：
破题路径
【例2】 解析：选B。根据题图乙可知，0.1 s时机器人的加速度大小为a1＝ m/s2＝6.0 m/s2，A正确；0.2～0.7 s过程中机器人的加速度大小为a2＝ m/s2＝1 m/s2，故0～0.2 s和0.2～0.7 s过程中，机器人的加速度大小之比为＝，B错误；v-t图像与横轴所围面积表示位移，由题图乙可知0～0.7 s内机器人的位移大小为x＝ m＝1.155 m，C正确；0～0.7 s内机器人的平均速度大小为＝＝ m/s＝1.65 m/s，D正确。
非常规图像中，分析图像斜率、截距的物理意义，结合函数关系转换已知条件求解
【例3】 利用图像法研究物理量之间的关系是一种常用的数学物理方法。如图所示为物体做直线运动时各物理量之间的关系图像(x、v、a、t分别表示物体运动的位移、速度、加速度和时间)，则下列说法中不正确的是(　　)
A.根据图甲可求出物体的加速度为2 m/s2
B.根据图乙可求出物体的加速度为5 m/s2
C.根据图丙可求出物体的加速度为4 m/s2
D.根据图丁可求出物体在前2 s内的速度变化量大小为3 m/s
模型构建
【例3】 解析：选C。根据x＝at2，得k＝a＝ m/s2＝1 m/s2，则题图甲中物体的加速度为a＝2 m/s2，A正确；根据v2＝2ax知，k＝2a＝ m/s2＝10 m/s2，则题图乙中物体的加速度为a＝5 m/s2，B正确；根据x＝v0t＋at2，得＝v0＋at，k＝a＝－ m/s2＝－2 m/s2，则题图丙中物体的加速度为a＝－4 m/s2，C错误；根据a＝知，a-t图线与横轴围成的图形面积等于速度变化量，则题图丁中物体在前2 s内的速度变化量大小为Δv＝×3×2 m/s＝3 m/s，D正确。
考点二　追及相遇问题
分段函数分析法：针对变速运动的追及问题，分段计算位移并比较位置关系
【例4】 一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。问：
(1)汽车从路口开动后，且在追上自行车之前，两车经过多长时间相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析：(1)设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，则
Δx＝v自t1－a
代入已知数据可得Δx＝6t1－
由二次函数求极值的条件可知，t1＝2 s时，Δx有最大值为6 m
所以经过t1＝2 s，两车相距最远，此时距离为Δx＝6 m。
(2)当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，则有v自t2＝a
解得t2＝＝ s＝4 s
此时汽车的速度v1'＝at2＝12 m/s。
答案：(1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s
角度突破
函数法求解追及相遇问题
先通过画草图找出两物体运动的时间关系和位移关系。
设从开始运动至相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论：
①若Δ＞0，则有两个解，说明可以相遇两次；
②若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；
③若Δ＜0，说明追不上或不能相遇。
教学札记：
速度相等临界法：分析两物体速度相等时的位移差，判断相遇条件或极值距离
【例5】 A、B两辆汽车在一条足够长的平直公路上沿着同一方向并排行驶，初始时刻，A车在前，B车在后，二者间距为x0＝26 m，两车均做匀变速直线运动，初始速度分别为vA＝16 m/s和vB＝4 m/s，汽车A以大小为2 m/s2的加速度减速行驶，汽车B以大小为1 m/s2的加速度加速行驶。问：
(1)经过多长时间两车相距最远？此时间距是多少？
(2)经过多长时间两车相遇？
(3)若初始时，A车在后，B车在前，则当两车初始间距x0满足什么条件时，两车可以相遇两次。
解析：(1)开始时A车在前，且A车的速度大于B车的速度，两车的距离越来越大，由于B车加速运动，A车减速运动，故当B车的速度等于A车的速度时，两车相距最远，设经过时间t两车的速度相等，则有
vA－aAt＝vB＋aBt
解得t＝4 s
此时A车的位移xA＝vAt－aAt2＝48 m
B车的位移xB＝vBt＋aBt2＝24 m
故两车的最远距离Δx＝xA－xB＋x0＝50 m。
(2)A车停下来的时间tA＝＝8 s
通过的总位移x＝vAtA＝64 m
此时B车的位移x'＝vBtA＋aB＝64 m
显然此时B车还没有追上A车，设经过t'时间B车追上A车，则有
x＋x0＝vBt'＋aBt'2
解得t'＝10 s。
(3)A车在后减速，B车在前加速，当两车速度相等时，两车已经相遇过一次，则以后两车可以再次相遇，故有x0＜xA－xB，即x0＜24 m。
答案：(1)4 s　50 m　(2)10 s　(3)x0＜24 m
破题路径
能力要语
若被追赶的物体做减速运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。
教学札记：
教学札记：
图像法：v-t图像中两条图线与横轴围成面积的差值等于初始距离时相遇
【例6】 (2025·南京模拟)甲、乙两车沿平直道路进行追逐赛，甲车匀速行驶。乙车从距甲车80 m处开始由静止加速追赶，经一定时间后匀速运动。甲车经一定时间开始加速，如图为它们沿同方向做直线运动的v-t图像，下列说法正确的是(　　)
A.乙车在0～6 s内的平均速度小于甲车
B.甲车加速时的加速度大于乙车加速时的加速度
C.0～7 s内，乙车和甲车间的距离先逐渐增大后逐渐减小
D.在0～12 s内乙车能追上甲车
题后反思：
破题路径
【例6】 解析：选C。根据题图可知，乙车在0～6 s内的位移大小为x＝×6×24 m＝72 m，则平均速度为＝ m/s＝12 m/s，甲车平均速度为10 m/s，A错误；v-t图像斜率的绝对值表示加速度大小，甲车加速时的加速度大小为a1＝ m/s2＝2.8 m/s2，乙车加速时的加速度大小为a2＝ m/s2＝4 m/s2，B错误；由题图可知，0～2.5 s内，甲车的速度大于乙车的速度，两车的距离逐渐增大，2.5～7 s内，两车的距离逐渐减小，C正确；v-t图像与时间轴所围的面积大小为位移大小，由题图可知，0～12 s内，甲车的位移x1＝10×7 m＋×(10＋24)×(12－7) m＝155 m，乙车的位移x2＝×6×24 m＋(12－6)×24 m＝216 m，可得x2－x1＝216 m－155 m＝61 m＜80 m，则在0～12 s内，乙车不能追上甲车，D错误。
[思维进阶(一)]　运动学图像　追及相遇问题
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.标准泳池的长度为50 m，百米游泳比赛中，运动员的位移x随时间t变化的图像可能是(　　)
解析：选C。因为比赛所用标准泳池的长度为50 m，所以运动员在百米游泳比赛中，终点与起点在同一位置，则运动员最后的位移为零，所以运动员的位移大小先增大后减小，且离出发点最远处位移大小为50 m，C正确。
2.交通法规定，汽车出现故障停在道路上时，应在车后放置如图所示的三角警示牌，提醒后面驾车的驾驶员减速避让。某道路上有一车辆因故障停车，无人驾驶汽车在此路试。它车头装有一个激光雷达，就像车辆的“鼻子”。若无人驾驶汽车以20 m/s的速度从后面匀速驶来。“嗅”到前方20 m处三角警示牌的“气息”时立即开始自动制动，制动系统反应时间为0.1 s，制动加速度大小为4 m/s2，为了避免相撞，司机将三角警示牌至少要放在故障车辆后多远处(　　)
A.22 m B.32 m
C.42 m D.52 m
解析：选B。反应时间内匀速运动的位移为x1＝vt1＝20×0.1 m＝2 m，从刹车到停止的位移为x2，则x2＝＝50 m，无人驾驶汽车从发现三角警示牌到停止的总位移为x＝x1＋x2＝52 m，则有Δx＝x－L＝32 m，三角警示牌至少要放在故障车辆后32 m处，才能有效避免两车相撞，B正确。
3.(现代科技融通题)如图甲所示是某无人机的飞行表演，图乙为该无人机表演过程中在竖直方向运动的v-t图像，以向上为正方向，下列说法正确的是(　　)
A.无人机前4 s内的位移达到最大值
B.无人机在5 s时静止在某高度处
C.4～6 s内无人机的速度大小一直在减小
D.无人机在0～2 s和4～5 s两个阶段的平均速度相等
解析：选D。v-t图像面积表示位移，由题图可知前5 s内位移最大，A错误；无人机在5 s时速度为0，但并非处于静止，B错误；4～6 s内无人机的速度先减小后增大，C错误；无人机在0～2 s和4～5 s两个阶段位移之比为2∶1，时间之比为2∶1，根据＝可知，两阶段平均速度相等，D正确。
4.(跨学科融通题)(2025·宿迁检测)猎豹追捕猎物时运动的最大加速度可达9 m/s2，最大速度可达30 m/s。羚羊被追捕时运动的最大加速度可达12.5 m/s2，最大速度可达25 m/s。猎豹某次觅食中，距羚羊20 m时被羚羊发现，此时两者同时由静止开始沿同一直线运动，尽力奔跑，以最大加速度运动至各自的最大速度后开始匀速。则(　　)
A.猎豹和羚羊加速运动的时间相等
B.在猎豹达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离越来越大
C.在羚羊达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离越来越大
D.在羚羊恰好达到最大速度时，猎豹和羚羊相距最远
解析：选C。猎豹和羚羊加速运动的时间分别为t豹＝ s＝ s，t羊＝ s＝2 s，A错误；羚羊的最大加速度大，在羚羊达到最大速度之前，羚羊的速度一直大于猎豹的速度，猎豹和羚羊间的距离越来越大，羚羊的速度先达到最大，猎豹的最大速度大于羚羊的最大速度，所以在猎豹达到最大速度之前，猎豹和羚羊间的距离先变大后变小，B错误，C正确；根据运动规律可知，当猎豹与羚羊的速度相同，即猎豹达到羚羊的最大速度时，猎豹和羚羊相距最远，D错误。
5.物体做直线运动的v2-x图像如图所示，关于该物体的运动，下列说法中正确的是(　　)
A.速度随位移均匀变化
B.位移随时间均匀变化
C.物体的加速度恒定且大小为1 m/s2
D.前16 m内运动的平均速度为2 m/s
解析：选D。速度的平方随位移均匀变化，A错误；根据图像可得v2＝x，对比v2－＝2ax可得，初速度v0＝0，加速度a＝0.5 m/s2，x＝v2＝(at)2＝0.25t2，B、C错误；根据v2＝x，得位移x＝16 m时速度v＝4 m/s，则平均速度＝＝2 m/s，D正确。
6.(生产生活融通题)图甲中a、b两列动车在两平行直轨道上行驶，从某时刻两列动车前进方向的车头相遇开始计时，得到它们的v-t图像如图乙所示，则下列说法正确的是(　　)
A.在30 s时两列动车前进方向的车头又相遇
B.0～30 s两列动车的平均速度大小相等
C.a、b两列动车此后还能相遇一次
D.再次相遇前两列动车前进方向的车头间最大距离为90 m
解析：选C。t＝30 s时，两列动车速度相等，再次相遇前两列动车在t＝30 s时相距最远，最远距离为Δx＝×30 m－＝80 m，D错误；v-t图像与坐标轴围成的面积表示位移，由题图可知前30 s动车b的位移更大，则在30 s时两列动车前进方向的车头没有相遇，根据＝可知， 0～30 s两列动车的平均速度大小不相等，A、B错误；在t＝30 s时，b动车在前方，此后a动车会追上b动车并超越，所以还能相遇一次，C正确。
7.甲、乙两车某时刻由同一地点、沿同一方向开始做直线运动，若以该时刻作为计时起点，得到如图所示的x-t图像，甲图像过O点的切线与乙图像AB段平行，过C点的切线与乙图像OA段平行，则下列说法中正确的是(　　)
A.在两车相遇时，两车的速度相等
B.0～t2时间内，t1时刻两车相距最远
C.0～t2时间内，甲车的路程大于乙车的路程
D.0～t1时间内甲车的平均速度大于t1～t2时间内乙车的平均速度
解析：选B。根据x-t图像的切线斜率表示速度，可知在两车相遇时，两图线的切线斜率不相等，所以两车的速度不相等，A错误；根据x-t图像可知，0～t1时间内，甲车速度一直大于乙车速度，两车距离逐渐增大；在t1～t2时间内，甲车速度一直小于乙车速度，两车距离逐渐减小，则0～t2时间内，t1时刻两车相距最远，B正确；由于0～t2时间内两车均做单向直线运动，且两车的初、末位置都相同，所以甲车的路程等于乙车的路程，C错误；根据x-t图像的切线斜率表示速度，可知t1～t2时间内乙车做匀速直线运动，且t＝0时刻甲车的速度等于t1～t2时间内乙车的速度，而0～t1时间内甲车的速度逐渐减小，所以0～t1时间内甲车的平均速度小于t1～t2时间内乙车的平均速度，D错误。
8.(现代科技融通题)随着科技的发展，自动驾驶成为当代汽车领域的重要技术。在某汽车公司研究旗下汽车刹车性能的测试中(刹车过程可看作匀减速直线运动)，得到了如图所示的 图像，则这辆汽车运动7 s内的位移大小为(　　)
A.100 m B.140 m
C.80 m D.50 m
解析：选A。汽车在刹车过程中做匀减速直线运动，由位移—时间公式x＝v0t－at2，可得＝－，由此可知-图像中斜率为v0，纵截距为－，代入题图中数据可得v0＝40 m/s，a＝8 m/s2，该汽车从开始刹车到减速为0的时间为t＝＝5 s＜7 s，故该辆汽车运动7 s内的位移大小为x＝＝100 m，A正确。
9.甲、乙两物体同时从同一地点沿同一方向做直线运动的速度—时间图像如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A.在0～6 s内，第1 s末两物体相距最远
B.乙物体先沿正方向运动2 s，之后沿反方向运动
C.4 s末乙在甲前面2 m
D.两物体两次相遇的时刻是2 s末和4 s末
解析：选C。图像与坐标轴围成的面积等于位移，则两物体速度相等时分别为1 s末和4 s末，1 s末两物体相距的距离Δx1＝×1×2 m＝1 m，而4 s末两物体相距的距离Δx2＝3×2× m－1×2× m＝2 m，明显4 s末二者的距离最大，此时乙在甲前面2 m，A错误，C正确；在0～6 s内，乙的速度一直为正，说明其运动方向始终未发生变化，B错误；t＝2 s时乙的位移为x＝×2×4＝4 m，甲的位移为x'＝2×2＝4 m，两者位移相同，又是从同一地点出发，故2 s末时二者相遇，同理可判断6 s末二者也是相遇，D错误。
10.(2025·福建高考)某运动员在游泳过程中做直线运动，某次入水后的v-t图如图所示，各阶段图像均为直线。求：
(1)0～2 s内的平均速度；
(2)44.2～46.2 s内的加速度；
(3)44.2～46.2 s内的位移。
解析：(1)0～2 s内的平均速度＝ m/s＝2.4 m/s，方向与正方向相同。
(2)44.2～46.2 s内的加速度a＝ m/s2＝0.1 m/s2，方向与正方向相同。
(3)44.2～46.2 s内的位移x＝ m＝4.2 m，方向与正方向相同。
答案：(1)2.4 m/s，方向与正方向相同
(2)0.1 m/s2，方向与正方向相同
(3)4.2 m，方向与正方向相同
11.平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲车停在路旁，乙车从甲车旁边以10 m/s的速度匀速超过甲车，经3 s，甲车发动起来，从静止开始以加速度a＝2 m/s2做匀加速运动，速度达到20 m/s后做匀速运动。求：
(1)3 s末两车相距多大；
(2)在甲车追上乙车之前，两车间的最大距离是多大；
(3)甲车发动后要多长时间才能追上乙车。
解析：(1)3 s末甲车刚启动，位移为零，则两车相距
Δx＝v乙Δt＝10×3 m＝30 m。
(2)甲车启动后经过时间t两车共速，此时距离最远，则v甲＝at＝v乙
解得t＝5 s
两车间的最大距离
Δxm＝v乙(t＋Δt)－at2＝55 m。
(3)设甲车达到最大速度需要的时间为t1，则
t1＝＝10 s
此时两车相距
Δx'＝v乙(Δt＋t1)－t1＝30 m
则甲车追上乙车还需要运动的时间为
t2＝＝ s＝3 s
故甲车发动后追上乙车需要的时间为
t'＝t1＋t2＝13 s。
答案：(1)30 m　(2)55 m　(3)13 s
12.(生产生活融通题)一辆公交车以15 m/s的速度匀速直线行驶，一名送餐员骑一辆电动车以10 m/s的速度突然驶入公交车正前方10 m处的机动车道并以此速度继续匀速直线行驶，公交车与电动车行驶方向相同。公交车司机见状立即紧急刹车，为了避免突然刹车让乘客有明显的顿挫感，其刹车的加速度大小a随时间t按如图所示规律变化。若刹车结束时，公交车恰好不会撞上电动车，则公交车的刹车时间为(　　)
A.2 s B.3 s
C.4 s D.5 s
解析：选C。恰好不相撞，即t0时刻公交车与电动车速度相等。由a-t图像可得，刹车过程中，公交车和电动车的v-t图像分别如图所示。
0～t0时间段内，公交车的平均速度＝＝12.5 m/s，“恰好不相撞”需满足t0＝v电t0＋s0，代入数据解得t0＝4 s，C正确。

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