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浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 3.4 乘法公式-完全平方公式
一、公式法
1．下列乘法公式运用正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．计算的结果（　　）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．下列式子中，计算正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．计算：
（1）；
（2）．
二、知完全平方公式求参数
6．若是完全平方差公式，则（　　）
A． B． C．4 D．8
7．如果多项式是完全平方式的展开式，则m等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
8．若 则a，b的值为(　　)
A．a=3，b=9 B．a=-3，b=-9 C．a=3，b=-9 D．a=-3，b=9
9．若完全平方式（3x+a）=9x2+12x+b，则a+b=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
10．设(，则单项式A等于（　　）
A．8ab B．-8ab C．8b2 D．4ab
11．若则m=　 　。
三、完全平方公式的应用
12． 已知实数a，b满足，，则的值是（　　）
A．49 B．37 C．36 D．7
13．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
14．已知，且，则的值是（　　）
A．4 B． C．2 D．
15．已知，则的值是（　　）
A．94 B．64 C．38 D．34
16．已知 则 　 　.
17．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
18．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
类比应用：
（2）若，，求的值．
四、完全平方的几何意义
19．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A． B．
C． D．
20．如图，图形面积可以由以下哪个公式表示（　　）
A． B．
C． D．
21．如图，已知正方形与正方形的边长分别为，如果，那么阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
22．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
23． “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
24．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（　　）块
A．2 B．3 C．4 D．5
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误，
C、，本选项错误；
D、，本选项正确；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的特点可对A、D作出判断；利用完全平方公式的特点，可对B、C作出判断.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】根据完全平方公式直接进行计算即可．
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴所有式子中，计算正确的只有算式④，
故选：A．
【分析】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，解题时根据完全平方公式对①③④式逐一展开，根据多项式乘多项式“逐项相乘再合并同类项”的法则对②式展开，核对每个式子的计算结果，统计计算正确的式子个数即可。
5．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可.
（2）根据完全平方公式计算即可.
（1）解：
；
（2）．
6．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是完全平方差公式，
∴，
∴
故答案为：A．
【分析】本题考查考查完全平方公式的应用，解题关键是熟悉完全平方公式的结构。对于，要将其与完全平方公式对比，找出对应的和，从而确定的值.
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2，
∴x2+mx+4=(x ± 2)2，
∴m =±4；
故答案为：D.
【分析】根据a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2得b2=4，得b=±2，所以mx=±2ab，即可得答案.
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
又(y+a)2=y2+2ay+a2，
∴2a=-6，b=a2，
∴a=-3，b=（-3）2=9，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab+b2”展开(y+a)2，根据题意确定a、b的值.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （3x+a）2=9x2+12x+b，
∴（3x+a）2=9x2+6xa+a2，
∴9x2+6xa+a2=9x2+12x+b
∴6a=12，a2=b，
∴a=2，b=4
∴a+b=6；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点，把代数式的左边按照完全平方式展开，再与右边的式子对比，计算出a，b的值.
10．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式和整式的加减法计算法则即可求解.
11．【答案】12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
又，
，
∴，
解得．
故答案为：12.
【分析】先计算，然后根据对应系数相等求出m的值即可．
12．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：A .
【分析】根据完全平方公式展开代入求解即可。
13．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式及变式可得，再求出即可.
14．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式计算求解即可.
15．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式及变形将代数式变形为，再将代入计算即可.
16．【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：5
【分析】根据完全平方公式可得，再整体代入代数式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查整式乘法运算、完全平方公式的变形应用，核心是通过公式变形，将所求代数式用已知的a-b和ab表示，再代入求值。(1) 先利用多项式乘多项式法则展开(a-1)(b+1)得ab+a-b-1，再直接代入已知a-b=7、ab=-12计算。
(2) 根据完全平方公式变形，代入a-b=7、ab=-12计算。
(3) 根据完全平方公式变形，代入求值后再开平方，得到。
（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
18．【答案】解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题以完全平方公式为背景，考查公式的变形应用。
（1）已知 x+y 和 xy，利用 (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ，移项得 x2 + y2 = (x+y)2 - 2xy，代入计算即可。
（2）已知 x+y 和 x2 + y2 ，同样利用完全平方公式变形得 2xy = (x+y)2 - (x2 + y2 )，从而求出 xy。
19．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为，
阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即，因此有，
故答案为：D．
【分析】由图从整体看，阴影部分是边长为的正方形，则面积为，分部分看，阴影部分是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，则可得等式．
20．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】根据图形可得出：大正方形面积为：(a+b)2，
大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选C．
【分析】
利用“面积法”建立等量关系：将图形视为一个边长为(a+b)的大正方形，直接利用正方形面积公式计算；将图形分割成四个小图形（两个正方形和两个长方形），分别计算面积后求和。通过两种计算结果相等，即可验证对应的代数恒等式.
21．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵，
∴阴影部分的面积为：
，
；
故选A．
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积的综合应用，解题先通过分割法表示出阴影部分的面积，再对代数式化简并结合完全平方公式计算。先将阴影部分面积表示为，再对该式子去括号、合并同类项，将其变形为含和的形式，最后代入已知条件的数值计算即可。
22．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
B中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
C中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
D中，利用阴影部分的面积可得，故符合题意；
故选：D．
【分析】
根据等式左边(x 1)2表示边长为(x 1)的正方形面积。然后分别分析每个选项中阴影部分面积的计算方法，看是否能通过图形的面积运算得到等式右边的式子。
23．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
24．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：取甲纸片1块，再取乙纸片4块，可得它们的面积之和为a2+4b2，
∵小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，
∴再取4张丙纸片可得它们的面积之和为a2+4b2+4ab=（a+2b）2，可以拼成边长为（a+2b）的正方形，
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式即可判断应该增加的项为4ab，再求解即可.
1 / 1浙教版数学七年级下册常考题型分类同步练 3.4 乘法公式-完全平方公式
一、公式法
1．下列乘法公式运用正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，本选项错误；
B、，本选项错误，
C、，本选项错误；
D、，本选项正确；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的特点可对A、D作出判断；利用完全平方公式的特点，可对B、C作出判断.
2．计算的结果（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故选：B．
【分析】根据完全平方公式直接进行计算即可．
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：．
故答案为：C．
【分析】利用完全平方公式的定义及计算方法（两个数的和或差的平方等于这两个数的平方和与这两个数积的2倍的和或差）分析求解即可.
4．下列式子中，计算正确的有（　　）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∴所有式子中，计算正确的只有算式④，
故选：A．
【分析】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，解题时根据完全平方公式对①③④式逐一展开，根据多项式乘多项式“逐项相乘再合并同类项”的法则对②式展开，核对每个式子的计算结果，统计计算正确的式子个数即可。
5．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算即可.
（2）根据完全平方公式计算即可.
（1）解：
；
（2）．
二、知完全平方公式求参数
6．若是完全平方差公式，则（　　）
A． B． C．4 D．8
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵是完全平方差公式，
∴，
∴
故答案为：A．
【分析】本题考查考查完全平方公式的应用，解题关键是熟悉完全平方公式的结构。对于，要将其与完全平方公式对比，找出对应的和，从而确定的值.
7．如果多项式是完全平方式的展开式，则m等于（　　）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．±4
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ∵a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2，
∴x2+mx+4=(x ± 2)2，
∴m =±4；
故答案为：D.
【分析】根据a2 ± 2ab + b2 = (a ±b)2得b2=4，得b=±2，所以mx=±2ab，即可得答案.
8．若 则a，b的值为(　　)
A．a=3，b=9 B．a=-3，b=-9 C．a=3，b=-9 D．a=-3，b=9
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
又(y+a)2=y2+2ay+a2，
∴2a=-6，b=a2，
∴a=-3，b=（-3）2=9，
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab+b2”展开(y+a)2，根据题意确定a、b的值.
9．若完全平方式（3x+a）=9x2+12x+b，则a+b=（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ （3x+a）2=9x2+12x+b，
∴（3x+a）2=9x2+6xa+a2，
∴9x2+6xa+a2=9x2+12x+b
∴6a=12，a2=b，
∴a=2，b=4
∴a+b=6；
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点，把代数式的左边按照完全平方式展开，再与右边的式子对比，计算出a，b的值.
10．设(，则单项式A等于（　　）
A．8ab B．-8ab C．8b2 D．4ab
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵
∴
故答案为：A.
【分析】根据完全平方公式和整式的加减法计算法则即可求解.
11．若则m=　 　。
【答案】12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
又，
，
∴，
解得．
故答案为：12.
【分析】先计算，然后根据对应系数相等求出m的值即可．
三、完全平方公式的应用
12． 已知实数a，b满足，，则的值是（　　）
A．49 B．37 C．36 D．7
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
故答案为：A .
【分析】根据完全平方公式展开代入求解即可。
13．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】利用完全平方公式及变式可得，再求出即可.
14．已知，且，则的值是（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式计算求解即可.
15．已知，则的值是（　　）
A．94 B．64 C．38 D．34
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：D．
【分析】先利用完全平方公式及变形将代数式变形为，再将代入计算即可.
16．已知 则 　 　.
【答案】5
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴，即
∴
故答案为：5
【分析】根据完全平方公式可得，再整体代入代数式即可求出答案.
17．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】本题考查整式乘法运算、完全平方公式的变形应用，核心是通过公式变形，将所求代数式用已知的a-b和ab表示，再代入求值。(1) 先利用多项式乘多项式法则展开(a-1)(b+1)得ab+a-b-1，再直接代入已知a-b=7、ab=-12计算。
(2) 根据完全平方公式变形，代入a-b=7、ab=-12计算。
(3) 根据完全平方公式变形，代入求值后再开平方，得到。
（1）解：
；
（2）解：，，
；
（3）解：，，
．
．
18．完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：∵，，
∴，，
∴，
，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，求的值；
类比应用：
（2）若，，求的值．
【答案】解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】本题以完全平方公式为背景，考查公式的变形应用。
（1）已知 x+y 和 xy，利用 (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 ，移项得 x2 + y2 = (x+y)2 - 2xy，代入计算即可。
（2）已知 x+y 和 x2 + y2 ，同样利用完全平方公式变形得 2xy = (x+y)2 - (x2 + y2 )，从而求出 xy。
四、完全平方的几何意义
19．如图，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，可得等式（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：阴影部分是边长为的正方形，因此其面积为，
阴影部分也可以看作是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，即，因此有，
故答案为：D．
【分析】由图从整体看，阴影部分是边长为的正方形，则面积为，分部分看，阴影部分是边长为的大正方形的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，再加上边长为的正方形面积，则可得等式．
20．如图，图形面积可以由以下哪个公式表示（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】根据图形可得出：大正方形面积为：(a+b)2，
大正方形面积=4个小图形的面积和=a2+b2+ab+ab，
∴可以得到公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，
故选C．
【分析】
利用“面积法”建立等量关系：将图形视为一个边长为(a+b)的大正方形，直接利用正方形面积公式计算；将图形分割成四个小图形（两个正方形和两个长方形），分别计算面积后求和。通过两种计算结果相等，即可验证对应的代数恒等式.
21．如图，已知正方形与正方形的边长分别为，如果，那么阴影部分的面积为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵，
∴阴影部分的面积为：
，
；
故选A．
【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积的综合应用，解题先通过分割法表示出阴影部分的面积，再对代数式化简并结合完全平方公式计算。先将阴影部分面积表示为，再对该式子去括号、合并同类项，将其变形为含和的形式，最后代入已知条件的数值计算即可。
22．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：A中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
B中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
C中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
D中，利用阴影部分的面积可得，故符合题意；
故选：D．
【分析】
根据等式左边(x 1)2表示边长为(x 1)的正方形面积。然后分别分析每个选项中阴影部分面积的计算方法，看是否能通过图形的面积运算得到等式右边的式子。
23． “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（a+b）2-（a-b）2=4ab表示边长为（a+b）的大正方形与边长为（a-b）的小正方形的面积差，等于4个长宽分别为a、b的长方形的面积和．
选项A：根据面积关系可得，（a+b）2=a2+2ab+b2，不符合题意，故A错误；
选项B：根据面积关系可得，，不符合题意，故B错误；
选项C：根据面积关系可得，，即，不符合题意，故C错误；
选项D：大正方形边长（a+b）、小正方形边长（a-b），根据面积关系可得，，符合题意，故D正确.
故选：D．
【分析】通过图形的面积计算，利用面积相等，帮助理解代数关系．熟练掌握完全平方公式，运用数形结合思想是解题的关键.
24．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（　　）块
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：取甲纸片1块，再取乙纸片4块，可得它们的面积之和为a2+4b2，
∵小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，
∴再取4张丙纸片可得它们的面积之和为a2+4b2+4ab=（a+2b）2，可以拼成边长为（a+2b）的正方形，
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式即可判断应该增加的项为4ab，再求解即可.
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