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第十九章 数据的分析
19.2.1 方差
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解最大值与最小值的差，知道最大值与最小值的差是用来反映数据波动范围的一个量.
01
理解方差的概念和意义，会求一组数据的方差，会用计算器求一组数据的平均数和方差.
02
能在具体情境中用方差刻画一组数据的波动大小，并解决实际问题.
03
02
新知导入
观察下面的折线统计图，图中反映了甲、乙、丙三个选手的射击成绩.这三人谁的成绩较好
02
新知导入
从图中可以看出甲、乙两人的射击成绩整体水平比丙的好，所以只需要计算出甲、乙两位选手射击成绩的平均数.
通过计算，可知甲、乙两位选手射击成绩的平均数都是7.9环.
甲、乙的平均成绩相同，你认为哪个选手更稳定？
【问题1】下表显示的是2022年7月20日8时至7月21日5时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢
03
新知探究
从表中可以看出，天津与新加坡的气温相比，有4个时刻的气温相对高些，有4个时刻的气温相对低些.
【问题1】下表显示的是2022年7月20日8时至7月21日5时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢
03
新知探究
比较两地气温的高低，求平均气温是一种常用的方法.
经计算可知，这两地的平均气温相等，都是27.25°C.
这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢
观察下图，你感觉它们有没有差异呢
03
新知探究
通过观察，我们可以发现：
图1中的点波动范围比较大——从23°C到32°C，相差9°C;
图2中的点波动范围比较小——从26°C到29°C，相差3°C.
03
新知探究
【概括】(1)比较两组数据时，通常可以先画图，直观地感受一下两组数据的整体特点.
(2)即便两组数据的平均数相等，它们还可能在数据的波动大小上表现出差异，因此，不能只限于比较平均数.
数据波动小，则平均数更具有代表性.
【问题2】小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示. 谁的成绩较为稳定 为什么
03
新知探究
通过计算发现，两人测试成绩的平均数都是12.4，成绩的最大值与最小值也都相差4.
从右图可以看出：
相比之下，小明的成绩大部分集中在其平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.
通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定.
03
新知探究
【思考】怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢
03
新知探究
我们已经看出，小兵的测试成绩与其平均数的偏差与小明相比略大.
那么如何加以说明呢 可以直接将各数据与其平均数的差进行累加吗
-2.4
1.6
0.6
-0.4
0.6
0
-1.4
-1.4
2.6
1.6
-1.4
0
事实上，在之前的学习中我们已经知道，一组数据中的每个数与这组数据平均数的差相加之和始终等于0.
03
新知探究
我们发现，求和的结果都是0.
既然直接求和不行，那么用什么办法可以从整体上反映各个数据远离平均数的情况呢
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和”所得到的结果反映组数据与其平均数的离散程度.
03
新知探究
这个结果称为这组数据的离差平方和.
通常用x1，x2，··· 表示各个原始数据，用 表示一组数据的平均数.
表中小明和小兵5次测试成绩的离差平方和的计算式就是
计算可得:
小明5次测试成绩的离差平方和为：
(-2.4)2+(1.6)2+(0.6)2+(-0.4)2+(0.6)2
=5.76+2.56+0.36+0.16+0.36=9.2
03
新知探究
小兵5次测试成绩的离差平方和为：
(-1.4)2+(-1.4)2+(2.6)2+(1.6)2+(-1.4)2
=1.96+1.96+6.76+2.56+1.96=15.2
【思考】如果一共进行了7次测试，小明因故缺席了2次，怎样比较谁的成绩更稳定
03
新知探究
在计算一组数据的离差平方和时，随着数据个数的增多，和通常也会增大.
因此，当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为σ2.
我们通常用方差来衡量一组数据偏离其平均数的情况.
03
新知探究
小明5次测试成绩的方差的计算式为：
03
新知探究
小兵7次测试成绩的方差的计算式为：
计算可得：小明5次测试成绩的方差为_______,
小兵7次测试成绩的方差为______.
1.84
2.82
因为1.84<2.82，所以小明的成绩比较稳定.
总结归纳
求方差的步骤：
第一步：求出原始数据的平均数；
第二步：求出原始数据中各数据与平均数的差；
第三步：求所得各个差数的平方；
第四步：求所得各平方数的平均数.
注意：方差越大，数据波动越大，越不稳定；
方差越小，数据波动越小，越稳定.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的离差平方和是(　　)
A．1.6
B．7
C．8
D．9
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是(　　)
A．2
B．4
C．1
D．3
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是(　　).
A．σ甲2＞σ乙2
B．σ甲2＜σ乙2
C．σ甲2＝σ乙2
D．无法确定
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4. 已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　　).
A．平均数 B．离差平方和
C．众数 D．方差
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.一组数据的方差的计算公式如下：σ2＝ ×[(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2]＝3.6．
(1)这组数据的中位数是______，众数是______．
(2)若这组数据中的每个数据都加1，则新数据的平均数为________，方差为________．
8
10
9
3.6
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是(　　)
A．98 B．101
C．104 D．107
C
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成如下尚不完整的统计图表．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是______环．
(2)求a的值．
9
解:因为甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，甲运动员前5箭的总成绩是5＋7＋9＋9＋10＝40(环)，
所以a＝40－8－10－8－6＝8.
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.(3)如果从中选择一名成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由．
【解】应选乙运动员去．理由如下：两名运动员的平均成绩都为40÷5＝8(环)，则甲运动员成绩的方差是 ×[(9－8)2＋(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2]＝3.2，乙运动员成绩的方差是 ×[(8－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2]＝1.6. 因为3.2＞1.6，所以乙运动员的成绩更稳定，所以应选乙运动员参加全市中学生比赛．
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.求方差的步骤：
第一步：求出原始数据的平均数；
第二步：求出原始数据中各数据与平均数的差；
第三步：求所得各个差数的平方；
第四步：求所得各平方数的平均数.
2.方差越大，数据波动越大，越不稳定；
方差越小，数据波动越小，越稳定.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.某校为了解学生本周观看某普法栏目的时长，校团委随机抽取了7名学生的观看时长(单位：min)进行分析，相关数据如下：
100，95，165，150，210，200，180，则这组数据的最大值与最小值的差是________.
115
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则王亮这5次测试成绩的离差平方和为________.
2
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为σ甲2＝3.6，σ乙2＝5.8，则这两种小麦长势更整齐的是________.
甲
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，四种花开花时间的平均数及方差如下表，则四种花中开花时间最短且最平稳的是________.
乙
种类 甲 乙 丙 丁
平均数/天 2.3 2.3 2.8 3.1
方差 1.05 0.78 1.05 0.78
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 甲、乙两人是高中数学小组成员．以下是他们参加数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)如下：
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中甲的平均成绩是85分，乙的平均成绩是85分，
方差分别是σ甲2＝58.4，σ乙2＝a.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)如下:
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.(1)乙在集训期间的成绩最好与最差相差________分；
(2)求a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
10
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.(3)当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为________，若要从中选择一人参加高中数学联赛，试分析选谁更合适.
89.6
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
Thanks!
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19.2.1 方差 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十九章
课题 19.2.1 方差 课时 1课时
课标要求 通过本节课的学习，理解方差的统计意义，掌握方差的概念与计算公式，明确方差是刻画一组数据离散程度（波动大小）的核心统计量；能熟练计算一组简单数据的方差，会通过方差大小比较两组数据的稳定性与波动情况；能结合生活实际情境，运用方差知识分析、解决简单的统计问题，建立数据分析观念；经历方差公式的推导过程，体会“量化数据波动”的数学思想，提升数据处理与逻辑推理能力。
教材分析 本节课是华师大版八年级下册第19章《数据的分析》19.2的内容，本节课的知识既是对前期统计知识的巩固与升华，也是后续学习标准差、数据综合分析、统计决策的基础，在初中统计教学中起到承上启下的关键作用。教材通过生活实例创设冲突情境，让学生发现仅靠平均数无法全面评价数据，进而引出方差的概念，遵循“情境感知—探究推导—公式应用—实际运用”的认知逻辑，贴合初中生的认知规律，注重培养学生的数据分析核心素养。
学情分析 八年级学生已具备良好的知识基础和学习能力：在知识层面，学生已经熟练掌握平均数的计算方法，理解集中趋势统计量的意义，具备基本的数据计算和简单统计分析能力；在思维层面，学生初步具备观察、对比、归纳的数学思维，但抽象概括能力和量化分析能力较弱，对于“数据波动”的理解仅停留在直观感知层面，无法用数学公式精准量化。
核心素养目标 数学抽象：通过对比两组平均数相同但波动不同的数据，抽象出数据离散程度的数学概念，理解方差的定义与公式内涵，摆脱直观感知，建立量化数据波动的数学模型。数据分析：掌握方差的计算方法，能通过方差数值大小分析数据的波动大小和稳定性，能结合实际情境对数据做出合理判断、评价和预测，形成科学的数据分析思维。数学运算：熟练掌握“求平均—求偏差—平方—再平均”的方差计算步骤，精准完成简单数据的方差运算，提升有理数混合运算与统计运算的能力。
教学重点 1.理解方差的概念与统计意义；2.掌握方差的计算公式，能熟练计算一组数据的方差；3.能根据方差大小判断数据的波动大小与稳定性。
教学难点 1.理解方差公式的推导逻辑和每一步运算的意义；2.灵活运用方差知识结合实际情境进行数据分析与合理决策；3.区分数据集中趋势与离散程度的统计意义，全面、客观分析数据。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 观察下面的折线统计图，图中反映了甲、乙、丙三个选手的射击成绩.这三人谁的成绩较好 从图中可以看出甲、乙两人的射击成绩整体水平比丙的好，所以只需要计算出甲、乙两位选手射击成绩的平均数.通过计算，可知甲、乙两位选手射击成绩的平均数都是7.9环.甲、乙的平均成绩相同，你认为哪个选手更稳定？ 独立计算甲乙两人的平均成绩，验证平均数相同；观察两组数据，直观发现乙成绩波动小、更稳定，甲成绩忽高忽低、波动大； 从学生熟悉的成绩分析情境入手，利用“平均数相同但数据状态不同”的认知冲突，打破学生固有思维，让学生直观感知数据波动的存在，体会学习方差的必要性，激发学生的探究兴趣和学习主动性。
二、探究 【问题1】下表显示的是2022年7月20日8时至7月21日5时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢 从表中可以看出，天津与新加坡的气温相比，有4个时刻的气温相对高些，有4个时刻的气温相对低些.比较两地气温的高低，求平均气温是一种常用的方法. 经计算可知，这两地的平均气温相等，都是27.25°C.这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢 观察下图，你感觉它们有没有差异呢 通过观察，我们可以发现：图1中的点波动范围比较大——从23°C到32°C，相差9°C;图2中的点波动范围比较小——从26°C到29°C，相差3°C.【概括】(1)比较两组数据时，通常可以先画图，直观地感受一下两组数据的整体特点.(2)即便两组数据的平均数相等，它们还可能在数据的波动大小上表现出差异，因此，不能只限于比较平均数.数据波动小，则平均数更具有代表性.【问题2】小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示. 谁的成绩较为稳定 为什么 通过计算发现，两人测试成绩的平均数都是12.4，成绩的最大值与最小值也都相差4.从右图可以看出：相比之下，小明的成绩大部分集中在其平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定.【思考】怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢 我们已经看出，小兵的测试成绩与其平均数的偏差与小明相比略大.那么如何加以说明呢 可以直接将各数据与其平均数的差进行累加吗 我们发现，求和的结果都是0.事实上，在之前的学习中我们已经知道，一组数据中的每个数与这组数据平均数的差相加之和始终等于0.既然直接求和不行，那么用什么办法可以从整体上反映各个数据远离平均数的情况呢 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后求和”所得到的结果反映组数据与其平均数的离散程度.这个结果称为这组数据的离差平方和.通常用x1，x2，··· 表示各个原始数据，用表示一组数据的平均数.表中小明和小兵5次测试成绩的离差平方和的计算式就是计算可得:小明5次测试成绩的离差平方和为：（-2.4）2+（1.6）2+（0.6）2+（-0.4）2+（0.6）2=5.76+2.56+0.36+0.16+0.36=9.2小兵5次测试成绩的离差平方和为：（-1.4）2+（-1.4）2+（2.6）2+（1.6）2+（-1.4）2=1.96+1.96+6.76+2.56+1.96=15.2【思考】如果一共进行了7次测试，小明因故缺席了2次，怎样比较谁的成绩更稳定 在计算一组数据的离差平方和时，随着数据个数的增多，和通常也会增大.因此，当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为σ2.我们通常用方差来衡量一组数据偏离其平均数的情况.小明5次测试成绩的方差的计算式为：小兵7次测试成绩的方差的计算式为：计算可得：小明5次测试成绩的方差为_1.84______,小兵7次测试成绩的方差为__2.82____.因为1.84<2.82，所以小明的成绩比较稳定.总结归纳求方差的步骤：第一步：求出原始数据的平均数；第二步：求出原始数据中各数据与平均数的差；第三步：求所得各个差数的平方；第四步：求所得各平方数的平均数.注意：方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定. 计算天津与新加坡的气温，得到两个城市的平均气温相同；观察两组图片，直观发现新加坡气温波动小、更稳定，天津气温忽高忽低、波动大；跟随教师思路，思考偏差求和的弊端，理解偏差平方的意义；识记方差定义与计算公式，标注公式关键要点；分组尝试计算导入情境中甲乙两组成绩的方差，对比计算结果；结合计算结果，验证“甲方差小、成绩稳定，乙方差大、成绩波动大”的规律，总结方差的统计意义。 通过层层设问、逐步推导，让学生全程参与公式的生成过程，避免机械记忆公式，深刻理解公式每一步的数学意义，突破教学难点；通过实操计算，初步掌握方差计算方法，建立方差与数据波动的对应关系。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1.已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的离差平方和是(　C　)A．1.6 B．7 C．8 D．92.一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是(　A　)A．2 B．4 C．1 D．33.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是(　A　).A．σ甲2＞σ乙2 B．σ甲2＜σ乙2C．σ甲2＝σ乙2 D．无法确定4. 已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　C　).A．平均数 B．离差平方和C．众数 D．方差【知识技能类作业】选做题：5.一组数据的方差的计算公式如下：σ2＝×[(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2]＝3.6．(1)这组数据的中位数是__8____，众数是___10___．(2)若这组数据中的每个数据都加1，则新数据的平均数为____9____，方差为_____3.6___．6.如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是(　C　)A．98 B．101 C．104 D．107【综合拓展类作业】7. 在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成如下尚不完整的统计图表．(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是___9___环．(2)求a的值．解:因为甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，甲运动员前5箭的总成绩是5＋7＋9＋9＋10＝40(环)，所以a＝40－8－10－8－6＝8.(3)如果从中选择一名成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由．【解】应选乙运动员去．理由如下：两名运动员的平均成绩都为40÷5＝8(环)，则甲运动员成绩的方差是 ×[(9－8)2＋(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2]＝3.2，乙运动员成绩的方差是 ×[(8－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2]＝1.6. 因为3.2＞1.6，所以乙运动员的成绩更稳定，所以应选乙运动员参加全市中学生比赛． 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸本节课你学到了什么？1.求方差的步骤：第一步：求出原始数据的平均数；第二步：求出原始数据中各数据与平均数的差；第三步：求所得各个差数的平方；第四步：求所得各平方数的平均数.2.方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据波动越小，越稳定. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 19.2 方差1.离差平方和.2.方差的定义.3.求方差的步骤4.综合应用 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1.某校为了解学生本周观看某普法栏目的时长，校团委随机抽取了7名学生的观看时长(单位：min)进行分析，相关数据如下：100，95，165，150，210，200，180，则这组数据的最大值与最小值的差是___115_____.2.教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则王亮这5次测试成绩的离差平方和为____2____.【知识技能类作业】选做题：3. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为σ甲2＝3.6，σ乙2＝5.8，则这两种小麦长势更整齐的是___甲_____.4. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，四种花开花时间的平均数及方差如下表，则四种花中开花时间最短且最平稳的是___乙_____.【综合拓展类作业】5. 甲、乙两人是高中数学小组成员．以下是他们参加数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)如下：其中甲的平均成绩是85分，乙的平均成绩是85分，方差分别是σ甲2＝58.4，σ乙2＝a.信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)如下:(1)乙在集训期间的成绩最好与最差相差____10____分；(2)求a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；解：σ乙2＝×[2＋2＋…＋2]＝8.2，即a＝8.2. 因为甲＝85，乙＝85，σ甲2＝58.4，所以甲＝乙，σ甲2>σ乙2，所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．(3)当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为____89.6____，若要从中选择一人参加高中数学联赛，试分析选谁更合适.从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
教学反思 本节课借助简易动画、图形演示数据偏差与波动的关系，直观化公式推导过程，帮助学困生理解公式本质，杜绝死记硬背。丰富课堂变式题型，增加生活、生产中的实际应用题，强化学生的知识迁移能力，提升学生的统计应用意识。教学中应优化小组合作模式，实行分层任务分配，让学困生参与基础计算，优等生负责拓展分析，兼顾不同层次学生的学习需求，提升课堂全员参与度。课后布置实践性作业，引导学生用方差分析生活数据，真正实现学以致用，深化数据分析核心素养。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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