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浙教版2025-2026学年第二学期八年级数学期末模拟提升卷
时间：120分钟 满分：120分
注意事项：
1、本试卷共三大题，满分120分，时间120分。
2、答题前，请考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡和试卷规定的位置上。
3、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（）
A．， B．， C．， D．，
2．已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　）
A． B． C．2 D．
5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．1班成绩比2班成绩集中
B．1班成绩的上四分位数是80分
C．1班同学的成绩有超过140分的
D．1班和2班成绩的中位数相同
6．已知α，β是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．6
8．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．8
9．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________．
12．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，五边形的一个内角，则等于_________．
13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是___________ ．
14．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______．
16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长．
18．（6分）（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①；②．
(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值．
(3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
19．（8分）（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若点在线段上，，则的最小值为________．
20．（8分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接．
(1)补全图形，并回答问题：当 时，；
(2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明；
(3)直接写出当 时，将平行．
21．（10分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
22．（10分）（24-25九年级上·重庆·期末）年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩是：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级
八年级
八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的_____，_____，_____；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
23．（12分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．
求该收纳盒的高是多少？
判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
24．（12分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025-2026学年第二学期八年级数学期末模拟提升卷
答案与解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（25-26七年级上·北京海淀·期末）若最简二次根式与可以合并，则，的值为（）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的定义，代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键．
两个根式可以合并，需满足根指数相同且被开方数相同．由第二个根式为二次根式，知根指数为2，故第一个根式的根指数；再令被开方数相等，得，解得，代入得．验证符合条件．
【详解】解：∵最简二次根式与可以合并，
∴它们为同类二次根式，根指数相同，且被开方数相同，
∴，
解得，，
经验证，当，时，，，为同类二次根式，可以合并．
故选D．
2．已知是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，则菱形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用一元二次方程的根得出的值，再求得方程的两根，再结合菱形的对角线利用勾股定理求出边长，即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，解得：，
∴方程为，
解得：，，
∵这个方程的两个根恰好是菱形两条对角线的长，
∴设对角线，，与交于点，
如图，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的周长为．
3．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称呼，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，图1是翻花绳的一种图案，可以将其简化成图2，在矩形中，，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解题的关键．由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：∵矩形中，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
故选：C．
4．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】先判断，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴输出的值为2．
5．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）已知八年级1班和2班的人数相等，在一次考试中两个班成绩的箱线图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．1班成绩比2班成绩集中
B．1班成绩的上四分位数是80分
C．1班同学的成绩有超过140分的
D．1班和2班成绩的中位数相同
【答案】D
【分析】本题考查了箱线图，根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可．
【详解】解：A．观察箱线图知：二班成绩的箱线图宽度较窄，则二班成绩比一班成绩集中，故原说法错误；
B．观察箱线图知：一班成绩的下四分位数是80分，故原说法错误；
C．观察箱线图知：一班没有同学的成绩超过140分， 故原说法错误；
D．观察箱线图知：一班和二班成绩的中位数相同， 故原说法正确．
故选：D．
6．已知α，β是方程的两个根，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】利用方程根的定义化简所求式子，再根据两根之积得出，最终计算结果．
【详解】解：∵α是方程的根，
∴．
对变形，得.
同理可得，.
∴原式．
∵ α，β是方程的两个根，得．
∴原式．
7．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，，是直角且，其中，，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．过点A作，证得四边形是正方形，再利用正方形的性质求得，，最后利用勾股定理求得的长度即可．
【详解】解：过点A作，交的延长线于点E，
∵，是直角，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
如图可得，，，
在中，根据勾股定理可得， ．
故选：C．
8．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，点F是的中点，
，
，，
四边形是矩形，
，
E是的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
,
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
9．（25-26八年级上·福建福州·期末）若，，，其中，，为连续整数，且，则，，的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较二次根式的大小，由m，n，k为连续整数且，设，（），代入表达式计算a，b，c，再比较大小．
【详解】解：∵m，n，k为连续整数，且，
∴，（）．
∴，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
10．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．
④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及三角形面积等知识，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________．
【答案】/
【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
，
又∵，
∴，
∴，，
∴的整数部分，的整数部分为，
∴的小数部分，
∴．
故答案为：．
12．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，五边形的一个内角，则等于_________．
【答案】
【分析】本题考查多边形外角和定理，内角与外角的关系，掌握多边形外角和定理是解题关键．
先求出的外角，再用减去该外角，即可得到．
【详解】解： ，
的外角为，
．
故答案为：．
13．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m的值是___________ ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出关于的方程，解方程即可．
【详解】解：关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
，即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练记忆一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解题的关键．
14．如图，在中，对角线，，垂足为，且，，则与之间的距离为______．
【答案】．
【分析】设与之间的距离为，由条件可知的面积是的面积的2倍，可求得的面积，，因此可求得的长．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
设与之间的距离为，
∵，
∴，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，由已知条件得到四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍是解题的关键（本题也可以采用等底等高的三角形的面积是平行四边形面积的一半来求解）．
15．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形是矩形是解题的关键．
根据等腰三角形三线合一的性质得到，，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴矩形的面积．
故答案为：．
16．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在中，，的平分线分别交于点，．若，，则的长为______．
【答案】
【分析】作，交于点，连接交于点，由平行四边形的性质得，，根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，即可推得，，根据等角对等边得出，根据平行四边形的判定定理得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定和性质得出，，，，推得，根据平行线的判定定理得出，根据平行四边形的判定和性质得出，根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：解：作，交于点，连接交于点，如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，的平分线分别交于点，，
∴，，
∵，
∴，，
故，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判定与性质，角平分线的定义，等角对等边，勾股定理等知识，正确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）四边形中，，，O为对角线的中点，过O点作直线，交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)如果四边形与四边形的周长分别是16与10，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】（1）由平行线的性质得到，，则可证明，得到，据此可证明结论；
（2）可证明四边形是平行四边形，，则可证明四边形的周长，同理可得四边形的周长，则可推出，再根据三角形的周长公式可得答案．
【详解】（1）证明：∵，
，，
∵O为对角线的中点，
∴
∴，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴四边形的周长；
同理可得四边形的周长，
∵四边形与四边形的周长分别是16与10，
∴，
∴，
∴的周长．
18．（6分）（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知、是关于x的一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：
(1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号）
①；②．
(2)已知关于x的方程是“差根方程”，求的值．
(3)已知是直角三角形，，的长为，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程．
【答案】(1)①
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及勾股定理，理解所给“差根方程”的定义及勾股定理是解题的关键．
（1）根据所给“差根方程”的定义进行判断即可；
（2）根据所给“差根方程”的定义进行计算即可；
（3）设直角三角形两直角边，根据所给“差根方程”的定义，结合勾股定理进行计算即可；
【详解】（1）解：① ，因式分解得根，，符合差根方程定义；
② ，因式分解得根，，不符合．
故答案为：①．
（2）解：方程中，，，
因为是差根方程，所以，
平方得： ，
代入得，即，
解得．
（3）解：设直角三角形两直角边，
由勾股定理得： ，
因为是差根方程的两根，所以，
平方得： ，
代入得： ，
解得．
，
因为，所以．
以为根的一元二次方程为，
即，验证得，符合差根方程定义．
19．（8分）（25-26九年级上·吉林·期末）如图，将线段绕点顺时针旋转得到线段，再将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若点在线段上，，则的最小值为________．
【答案】(1)正方形，见解析
(2)
【分析】此题考查了正方形的判定和性质、轴对称的性质、勾股定理等知识．
（1）根据旋转的性质得到，．证明四边形是平行四边形．由即可证明四边形是正方形；
（2）作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值，根据勾股定理进行解答即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
理由：由旋转得，．
．
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．
，
∴四边形是正方形；
（2）解：如图，作点关于对称的点，连接交于点P，则，，连接，此时为最小值，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
故答案为：.
20．（8分）（25-26九年级上·山西太原·期末）如图，点是菱形对角线上一动点，．在线段的同侧作线段，使得，连接．
(1)补全图形，并回答问题：当 时，；
(2)连接，交于点，若，探索与的数量关系，并证明；
(3)直接写出当 时，将平行．
【答案】(1)图见详解，；
(2)，证明见详解；
(3)．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；过点作交于点，连接，证明四边形为平行四边形，得出，即，得出当时，，当时，四边形为菱形，得出，，得出当点在对角线的交点上时，符合题意，此时；
（2）连接、， 证明，得出，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，根据，即可得出；
（3）连接，，证明，得出，证明，由（2）得四边形为平行四边形，得出，从而得出．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示：
过点作交于点，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，即，
当时，，
，
四边形为菱形，
，，
当点在对角线的交点上时，符合题意，
此时，
故答案为：；
（2）；
证明：连接、，如图所示：
，
，
四边形为菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
；
（3）解：连接，，如图所示：
四边形为菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
根据解析（2）可知，四边形为平行四边形，
，
，
即当时，将平行，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定．
21．（10分）（25-26八年级上·上海·期末）阅读材料：
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；
和为两个相邻的整数，；…
小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明：
根据题意，得，移项可得．
根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得．
整理得．
请根据以上材料，解决以下问题：
(1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程．
(2)若和为两个相邻整数，则的值是．
(3)若和为相差的两个整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．
()根据证明过程补全即可；
()根据已知结论，得出，求出的值即可；
()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得，
故答案为：；
（2）解：由题意可知，，
∴，即，
故答案为：.
（3）解：根据题意，得，
等式两边同时平方，得，
整理得：
∴，
∴，
∴．
22．（10分）（24-25九年级上·重庆·期末）年月日，中国“春节”申遗成功．中国春节文化源远流长，全国各地衍生出纷繁多样的春节习俗．某校为了解学生对春节文化的了解情况，举办了春节文化知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩是：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，．
八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级
八年级
八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的_____，_____，_____；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的春节文化知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校七年级有名，八年级有名学生参加了此次春节文化知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【答案】(1)，，；
(2)八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
(3)人．
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，可知；根据八年级学生成绩达到的人数为人，可知八年级学生的成绩从大到小排列第和名的成绩分别为和，所以可知八年级的中位数为；根据八年级级名学生竞赛成绩在组的数据共有个，可以求出；
根据八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
用样本估计总体，分别求出七年级和八年级达到优秀的人数，两数之和即为该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的人数．
【详解】（1）解：从七年级名学生的竞赛成绩可以看出，七年级的成绩众数是分，
；
从扇形统计图中可知：八年级学生成绩达到组的占，
八年级学生成绩达到的人数为：，
八年级名学生竞赛成绩在组的数据是，，，，，，，
八年级名学生竞赛成绩在组的人数为，
八年级名学生竞赛成绩在组和组的共有人，
八年级名学生竞赛成绩的众数为，
；
八年级名学生竞赛成绩在组的人数为，
八年级名学生竞赛成绩在组的百分率为，
，
故答案为：，，；
（2）解：我认为八年级学生的成绩更好，因为八年级学生与七年级学生的平均分相等，八年级学生的众数比七年级学生的众数高，且八年级学生的方差小，说明八年级学生的成绩波动较小，成绩稳定；
（3）解：七年级参加竞赛的人中达到优秀的有人，占总人数的，
估计七年级的名学生达到优秀的有人，
八年级参加竞赛的人中达到优秀的有，
估计八年级的名学生中达到优秀的有人，
估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有人．
【点睛】本题主要考查了统计表、扇形统计图、平均数、中位数、众数、方差、用样本估计总体．平均数、中位数、众数反映的是一组数据的集中趋势，方差反映的是一组数据的波动大小，方差越小说明这组数据的波动越小．
23．（12分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习
【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具．
【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板．
【任务要求】
任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
【问题解决】
(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？
(2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．
求该收纳盒的高是多少？
判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由．
【答案】(1)
(2) ；不能；理由见解析．
【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键．
（）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可；
（）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可；
求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒．
【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：剪去的小正方形的边长为；
（2）解：根据题意，设收纳盒的高为，
则收纳盒底面的长为，宽为，
∴，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴收纳盒的高为；
∵，，但，，
∴玩具车不能完全放入该收纳盒．
24．（12分）（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转．
【特例感知】
(1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ；
【类比迁移】
(2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由；
【方法运用】
(3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值．
【答案】(1)等边三角形
(2)等边三角形，见解析
(3)或
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形；
（2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形；
（3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到．
【详解】（1）解：由题意可得，，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
、、三点共线
，，
是等边三角形
故答案为：等边三角形．
（2）解：是等边三角形，理由如下，
如下图，连接，交分别、于点、，
，
四边形是平行四边形
，
和是等边三角形
，，
点在线段的延长线上
，即
，
是等腰三角形
又，
是等边三角形
（3）解：①如下图，连接、
同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形
有
设，则，
是直角三角形，
取的中点，连接
此时在边上
②如下图，连接、
同①，可证是直角三角形，，
此时在边上
综上所述，或．

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