资源简介

思维进阶二　平衡中的临界、极值问题
考点一　平衡中的临界问题
悬挂系统绳子即将断裂时临界张力问题
【例1】 如图所示，AO绳和BO绳是两根最大承受力均为720 N的绳子，现用这两根绳子吊起一重物处于静止状态，O为结点，已知重物的质量m＝40 kg，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，试求：
(1)AO绳的拉力TA和BO绳的拉力TB的大小；
(2)为确保绳子不被拉断，重物的最大质量。
解析：(1)以O点为研究对象，根据平衡条件可得
TA＝mgsin 53°＝320 N
TB＝mgsin 37°＝240 N。
(2)由于TA＞TB，故当AO绳的拉力达到720 N时，重物的质量最大，则有
TAmax＝mmaxgsin 53°＝720 N
解得重物的最大质量为mmax＝90 kg。
答案：(1)320 N　240 N　(2)90 kg
角度突破
模型 临界条件 突破技巧
斜面物体 恰好滑动时f＝fm 沿斜面、垂直斜面建坐标系
轻绳连接体 绳恰好松弛时拉力T＝0 用矢量三角形分析力的变化
多物体平衡 恰好分离时弹力N＝0 整体法与隔离法结合
能力要语
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。
斜面上的物体滑动问题临界条件分析
【例2】 如图所示，质量m＝2 kg的物体置于倾角θ＝37°的固定斜面上，先用水平推力F1＝40 N作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑；再改用平行于斜面的推力F2作用于物体上，使物体能静止在斜面上。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)物体与斜面间的动摩擦因数μ；
(2)F2的取值范围。
解析：(1)
受力分析如图所示，
由平衡条件有
F1cos 37°＝mgsin 37°＋f
N＝mgcos 37°＋F1sin 37°
f＝μN
代入数据解得μ＝0.5。
(2)用平行于斜面的推力F2作用于物体上，保持物体静止，物体合力为零。
①
若物体刚好不上滑，摩擦力沿斜面向下刚好达到最大，受力分析如图所示，
由平衡条件有
F2＝mgsin 37°＋f1
N1＝mgcos 37°
f1＝μN1
代入数据解得F2＝20 N
②同理，若物体刚好不下滑，摩擦力沿斜面向上刚好达到最大，由平衡条件有
F2＝mgsin 37°－f1
N1＝mgcos 37°
f1＝μN1
代入数据解得F2＝4 N
为保持物体静止，水平推力大小应满足的条件为
4 N≤F2≤20 N
F2的取值范围4 N≤F2≤20 N。
答案：(1)0.5　(2)4 N≤F2≤20 N
破题路径
能力要语
注意明确临界状态，紧扣运动趋势判断摩擦力方向。
教学札记：
考点二　平衡中的极值问题
单物体中绳子拉力随角度变化的极值求解
【例3】 (跨学科融通题)(2025·徐州高三期中)如图所示，解放军战士在水平地面上拉着轮胎进行负荷训练，运动过程中保持绳子与水平面间的夹角为θ，轮胎质量为m，重力加速度为g。
(1)若地面对轮胎的阻力大小为f，当轮胎做匀速直线运动时，求绳中的拉力T；
(2)若训练的过程中，为确保轮胎不飞离地面，求绳中拉力的最大值Tm；
(3)若轮胎与地面间的动摩擦因数为μ，求轮胎匀速运动时绳的拉力的最小值。
解析：(1)轮胎做匀速直线运动，由受力平衡有Tcos θ＝f
绳中的拉力大小为T＝。
(2)轮胎刚好不离开地面时，轮胎与地面之间的弹力为零，此时绳的拉力最大，则在竖直方向受力平衡有
mg＝Tmsin θ
解得绳的拉力最大值为Tm＝。
(3)轮胎在地面上做匀速直线运动，设绳子的拉力为F，轮胎与地面之间的弹力为FN，竖直方向由受力平衡得
mg＝FN＋Fsin θ
水平方向受力平衡得Fcos θ＝μFN
联立解得绳的拉力大小为F＝
由数学知识可知cos θ＋μsin θ＝sin (θ＋α)有最大值，所以绳的拉力最小值为
Fmin＝。
答案：(1)　(2)　(3)
角度突破
辅助角公式的应用
y＝acos θ＋bsin θ＝cos θ＋sin θ)
令sin φ＝，cos φ＝
则有y＝(sin φcos θ＋cos φ·sin θ)＝sin (φ＋θ)
所以当φ＋θ＝时，y有最大值，且ymax＝。
教学札记：
教学札记：
多物体中绳子拉力随角度变化的极值求解
【例4】 (跨学科融通题)如图所示，质量M＝2 kg的木块A套在水平杆上，并用轻绳将木块与质量m＝ kg的小球B相连。现用与水平方向成α＝30°角的力F＝10 N，拉着小球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，g取10 m/s2。求：
(1)木块与水平杆间的弹力大小；
(2)运动过程中轻绳与水平方向的夹角θ；
(3)当α的正切函数值为多大时，使小球和木块一起向右匀速运动的拉力最小。
解析：(1)对A、B整体进行分析，根据平衡条件
FN＋Fsin 30°＝(M＋m)g
解得FN＝25 N。
(2)
对B进行受力分析如图所示，
设细绳对B的拉力为T，由平衡条件可得
Fcos 30°＝Tcos θ
Fsin 30°＋Tsin θ＝mg
解得T＝10 N，tan θ＝
即θ＝30°。
(3)对A进行受力分析，由平衡条件有
Tsin θ＋Mg＝FN，Tcos θ＝μFN
解得μ＝
对A、B进行受力分析，由平衡条件有
Fsin α＋FN＝(M＋m)g
Fcos α＝μFN
解得F＝
令sin β＝，cos β＝
即tan β＝
则F＝＝
显然，当α＋β＝90°时，F有最小值，所以
tan α＝μ＝。
答案：(1)25 N　(2)30°　(3)
破题路径
能力要语
根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
教学札记：
[思维进阶(二)]　平衡中的临界、极值问题
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.某同学利用所学物理知识，测量一段长为16 cm的头发能承受的最大拉力。如图所示，刻度尺水平放置，头发穿过钩码的光滑挂钩，一端固定在P点，另一端从P点开始缓慢向右移动，当移动到如图所示的Q点时，头发恰好被拉断。已知钩码和挂钩的总质量为0.3 kg，取重力加速度g＝10 m/s2，则头发能承受的最大拉力为(　　)
A. N B. N
C. N D.3 N
解析：选C。头发恰好被拉断时，设头发与竖直方向的夹角为θ，根据受力平衡可得2Fmcos θ＝mg，根据图中几何关系可得sin θ＝＝，可得θ＝30°，则头发能承受的最大拉力为Fm＝＝ N＝ N，C正确。
2.如图所示，一质量为5 kg的小球用长为L的轻质细线连接，现用一水平力F拉小球，使细线偏离竖直方向30°，然后逆时针缓慢转动力F至竖直方向，在转动过程中小球静止不动，g取10 m/s2，那么F的大小可能为(　　)
A.15 N B.30 N
C.100 N D.150 N
解析：
选B。对小球受力分析如图所示，小球受重力mg、细线拉力FT、水平拉力F，三个力的合力为零，逆时针缓慢转动力F至竖直方向的过程中，F先减小后增大。初位置F＝mgtan 30°≈28.9 N；F与细线垂直时最小，为F＝mgsin 30°＝25 N；竖直位置F＝mg＝50 N，A、C、D错误，B正确。
3. (智能科技融通题)如图所示，国产人形机器人“天工”能平稳通过斜坡。若它可以在倾角不大于30°的斜坡上稳定地站立和行走，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选B。设斜坡的倾角为θ，机器人“天工”的质量为m，它的脚和斜面间的动摩擦因数为μ。因为它可以在斜坡上稳定地站立和行走，根据共点力的平衡条件有mgsin θ＝f静，又静摩擦力f静≤μmgcos θ，联立得μ≥tan θ，由题意知θ≤30°，则μ≥tan 30°＝，即它的脚和斜面间的动摩擦因数不能小于，B正确。
4.(2025·宿迁高三期末)山体滑坡是由于重力作用，山坡的“表层土”在“下层土”上面滑动时就会发生山体滑坡，如图甲所示。图乙是山体简化结构图，设山坡的倾角为40°时，表层土处于静止状态。假如连日降雨使“表层土”和“下层土”间的动摩擦因数减小到时，就会发生山体滑坡，以下说法正确的是(　　)
A.表层土静止时，表层土受到4个力的作用
B.表层土静止时，表层土受到下层土的作用力方向垂直于下层土表面向上
C.表层土静止时，表层土受到5个力的作用
D.为了避免山体滑坡的发生，山坡的倾角至少应减小10°
解析：选D。表层土静止时，受到自身重力、下层土对它的支持力以及下层土对它的静摩擦力，共 3 个力的作用，A、C错误；根据平衡条件可知，下层土对表层土的作用力与表层土的重力等大反向，由于表层土重力的方向竖直向下，所以下层土对表层土的作用力的方向竖直向上，B错误；设当山坡倾角为θ时，表层土刚好不会滑坡，对表层土进行受力分析，沿山坡方向有μmgcos θ＝mgsin θ，解得tan θ＝μ＝，即θ最大为30°，故山坡的倾角至少应减小Δθ＝40°－30°＝10°，D正确。
5.(跨学科融通题)质量为m＝10 kg的木箱置于水平地面上，它与地面间的动摩擦因数μ＝，取g＝10 m/s2，其受到一个与水平方向成θ角斜向上的拉力F，如图所示，为使木箱做匀速直线运动，拉力F的最小值以及此时角度θ分别是(　　)
A.50 N　30° B.50 N　60°
C. N　30° D. N　60°
解析：选A。对木箱受力分析，木箱受重力mg、拉力F、地面的支持力N和滑动摩擦力f作用，木箱做匀速直线运动，根据平衡条件得Fcos θ＝f，Fsin θ＋N＝mg，又f＝μN，联立解得F＝＝，其中tan α＝＝，即α＝60°，由数学知识可知，当θ＋α＝90°，即θ＝30°时F有最小值，且最小值为Fmin＝＝ N＝50 N，A正确，B、C、D错误。
6.如图所示，质量分别为m和2m的小球a、b之间用轻绳相连，小球a固定在轻杆一端，轻杆另一端固定在左侧竖直墙壁上且与竖直墙壁的夹角为30°。现改变作用在小球b上的外力F的大小和方向，但轻绳与竖直方向的夹角保持60°不变，则(　　)
A.轻绳上的拉力一定小于2mg
B.外力F的最小值为mg
C.轻杆对小球a的作用力的方向不变
D.轻杆对小球a的作用力的最小值为3mg
解析：选B。对小球b进行受力分析如图甲所示，并作出力的矢量三角形，如图乙所示，
当改变作用在小球b上的外力F的大小和方向时，由图乙知轻绳上的拉力可能小于2mg，可能等于2mg，也可能大于2mg，A错误；外力F的最小值为Fmin＝2mgsin 60°＝mg，B正确；由于轻杆是“定杆”，所以轻杆对小球a的作用力的方向可以变化，C错误；当轻绳的拉力为零时，轻杆对小球a的作用力最小，最小值为mg，D错误。
7.(传统文化融通题)筷子是中华饮食文化的标志之一，我国著名物理学家李政道曾夸赞说：“筷子如此简单的两根木头，却精妙绝伦地应用了物理学杠杆原理。”如图所示，用筷子夹住质量为m的小球，两根筷子均在竖直平面内，且筷子和竖直方向的夹角均为θ。已知小球与筷子之间的动摩擦因数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，小球静止。下列说法正确的是(　　)
A.筷子对小球的最小压力是
B.当θ增大时，筷子对小球的最小压力一定减小
C.当θ减小时，筷子对小球的最小压力一定增大
D.要想用筷子夹住小球，必须满足μ＞tan θ
解析：选D。对小球受力分析，如图所示，
小球受力平衡，竖直方向有2fcos θ＝mg＋2Nsin θ，f≤fmax＝μN，解得N≥，故筷子对小球的最小压力为，A错误；根据Nmin＝，可知当θ增大时，筷子对小球的最小压力一定增大，B、C错误；要想用筷子夹住小球，则Nmin＝＞0，则μcos θ－sin θ＞0，即必须满足μ＞tan θ，D正确。
8.春节前夕，小明需移开沙发，清扫污垢。质量m＝10 kg的沙发放置在水平地面上，沙发与地面间的动摩擦因数μ＝，小明用力F＝100 N推沙发，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法错误的是(　　)
A.若力F斜向下与水平成θ角，当θ＝30°时沙发恰好做匀速直线运动
B.若力F斜向下与水平成θ角，当θ＞60°时，无论力F多大，沙发都不会动
C.若力F方向能随意改变，让沙发匀速运动，F斜向上与水平成30°时，F最小
D.若力F方向能随意改变，让沙发匀速运动，F斜向上与水平成60°时，F最小
解析：选D。若力F斜向下与水平成θ＝30°时，地面对沙发的摩擦力大小为Ff＝μ(mg＋Fsin 30°)＝50 N，力F在水平方向的分力大小为Fcos 30°＝50 N，两个力大小相等、方向相反，故沙发恰好做匀速直线运动，A正确；若力F斜向下与水平成θ角，则最大静摩擦力大小为Ff＝μ(mg＋Fsin θ)，若要物体静止不动，应该满足Fcos θ≤μ(mg＋Fsin θ)，变形得F(cos θ－μsin θ)≤μmg，如果满足cos θ－μsin θ＜0，即θ＞60°，则此时无论F多大，沙发都保持静止，B正确；如果力F斜向上与水平成θ角，且沙发做匀速运动，则有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，变形可得F＝＝，其中sin φ＝＝，即φ＝60°，故当θ＝30°时，F有最小值，C正确，D错误。
9.如图所示，工人在装载货箱时可将卡车车尾处斜搭木板构成斜面使货箱沿斜面推入车厢。若某时刻人在倾角θ＝30°的斜面上对质量为65 kg的货箱施加沿斜面向上的推力使货箱静止在斜面上，已知货箱与斜面间的动摩擦因数μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)人施加推力的最小值；
(2)人施加推力的最大值。
解析：(1)因为μ＝＜tan 30°，所以货箱不能自由静止在斜面上，当货箱所受摩擦力沿斜面向上取到最大时水平推力最小，设为Fmin，货箱受力如图所示，
由平衡条件得Ff＋Fmin＝mgsin θ
其中FN＝mgcos θ，Ff＝μFN
联立解得Fmin＝mg＝81.25 N。
(2)当货箱所受静摩擦力沿斜面向下取到最大时，水平推力最大，设为Fmax，货箱受力如图所示，
由平衡条件得Fmax＝mgsin θ＋Ff
其中FN＝mgcos θ，Ff＝μFN
联立解得Fmax＝mg＝568.75 N。
答案：(1)81.25 N　(2)568.75 N
10.(2025·盐城高三期末)如图所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，已知A、B质量分别为2 kg和0.8 kg，轻绳绕过光滑的定滑轮与水平轻绳OP右端及轻绳BO上端连接于O点，轻绳OC段与竖直方向的夹角θ＝60°，斜面倾角α＝30°，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，求：
(1)OP、OC绳的弹力大小；
(2)物块A受到的摩擦力；
(3)若A物块质量不变，物块A与斜面间动摩擦因数μ＝，为了使A和B始终在图示位置处于静止状态，B物块的质量要满足什么条件？
解析：(1)以结点O为研究对象，受力如图所示，
根据平衡条件有FOP－FOCsin 60°＝0
FOCcos 60°－mBg＝0
解得FOP＝8 N，FOC＝16 N。
(2)由题意得，重力沿斜面向下分力小于OC拉力，所以摩擦力沿斜面向下，则对物块A受力分析如图所示，
由平衡条件有FOC－f－mAgsin 30°＝0
解得f＝6 N
方向沿斜面向下。
(3)由题意得，A受到的最大静摩擦为
fmax＝μmAgcos 30°＝5 N
若B质量最小，A受到沿斜面向上的摩擦力，受力分析如图所示，
由平衡条件可得
FOC'＋fmax－mAgsin 30°＝0
FOC'cos 60°－mB1g＝0
解得mB1＝0.25 kg
若B质量最大，A受到沿斜面向下的摩擦力，受力分析如图所示，
由平衡条件可得
FOC″－fmax－mAgsin 30°＝0
FOC″cos 60°－mB2g＝0
解得mB2＝0.75 kg
则有0.25 kg≤mB'≤0.75 kg。
答案：(1)8 N　16 N　(2)6 N，沿斜面向下　(3)0.25 kg≤mB'≤0.75 kg(共51张PPT)
01
第二章
相互作用
思维进阶二　平衡中的临界、极值问题
角度突破
平衡中的临界问题
考点一
能力要语
破题路径
能力要语
角度突破
平衡中的极值问题
考点二
破题路径
能力要语
[思维进阶(二)]　平衡中的临界、极值问题
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