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分课时学案
课题 19.2.1 方差 单元 19 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 数学抽象：通过对比两组平均数相同但波动不同的数据，抽象出数据离散程度的数学概念，理解方差的定义与公式内涵，摆脱直观感知，建立量化数据波动的数学模型。 数据分析：掌握方差的计算方法，能通过方差数值大小分析数据的波动大小和稳定性，能结合实际情境对数据做出合理判断、评价和预测，形成科学的数据分析思维。 数学运算：熟练掌握“求平均—求偏差—平方—再平均”的方差计算步骤，精准完成简单数据的方差运算，提升有理数混合运算与统计运算的能力。
重点 1.理解方差的概念与统计意义； 2.掌握方差的计算公式，能熟练计算一组数据的方差； 3.能根据方差大小判断数据的波动大小与稳定性。
难点 1.理解方差公式的推导逻辑和每一步运算的意义； 2.灵活运用方差知识结合实际情境进行数据分析与合理决策； 3.区分数据集中趋势与离散程度的统计意义，全面、客观分析数据。
教学过程
导入新课 观察下面的折线统计图，图中反映了甲、乙、丙三个选手的射击成绩.这三人谁的成绩较好
新知讲解 【问题1】下表显示的是2022年7月20日8时至7月21日5时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢 观察下图，你感觉它们有没有差异呢 【问题2】小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示. 谁的成绩较为稳定 为什么 【思考】怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢 【思考】如果一共进行了7次测试，小明因故缺席了2次，怎样比较谁的成绩更稳定 总结归纳 求方差的步骤：
巩固训练 【知识技能类作业】必做题： 1.已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的离差平方和是(　 　) A．1.6 B．7 C．8 D．9 2.一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是(　 　) A．2 B．4 C．1 D．3 3.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是(　 ). A．σ甲2＞σ乙2 B．σ甲2＜σ乙2 C．σ甲2＝σ乙2 D．无法确定 4. 已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　 　). A．平均数 B．离差平方和 C．众数 D．方差 【知识技能类作业】选做题： 5.一组数据的方差的计算公式如下：σ2＝×[(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2]＝3.6． (1)这组数据的中位数是______，众数是______． (2)若这组数据中的每个数据都加1，则新数据的平均数为 ，方差为 ． 6.如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是(　 ) A．98 B．101 C．104 D．107 【综合拓展类作业】 7. 在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成如下尚不完整的统计图表． (1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是 环． (2)求a的值． (3)如果从中选择一名成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由．
作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.某校为了解学生本周观看某普法栏目的时长，校团委随机抽取了7名学生的观看时长(单位：min)进行分析，相关数据如下： 100，95，165，150，210，200，180，则这组数据的最大值与最小值的差是________. 2.教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则王亮这5次测试成绩的离差平方和为________. 【知识技能类作业】选做题： 3. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为σ甲2＝3.6，σ乙2＝5.8，则这两种小麦长势更整齐的是 . 4. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，四种花开花时间的平均数及方差如下表，则四种花中开花时间最短且最平稳的是 . 【综合拓展类作业】 5. 甲、乙两人是高中数学小组成员．以下是他们参加数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)如下： 其中甲的平均成绩是85分，乙的平均成绩是85分， 方差分别是σ甲2＝58.4，σ乙2＝a. 信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)如下: (1)乙在集训期间的成绩最好与最差相差________分； (2)求a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． (3)当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为________，若要从中选择一人参加高中数学联赛，试分析选谁更合适.
答案：
【知识技能类作业】必做题：
1.已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的离差平方和是(　C　)
A．1.6 B．7 C．8 D．9
2.一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是(　A　)
A．2 B．4 C．1 D．3
3.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是(　A　).
A．σ甲2＞σ乙2
B．σ甲2＜σ乙2
C．σ甲2＝σ乙2
D．无法确定
4. 已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　C　).
A．平均数 B．离差平方和
C．众数 D．方差
【知识技能类作业】选做题：
5.一组数据的方差的计算公式如下：σ2＝×[(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(10－8)2]＝3.6．
(1)这组数据的中位数是__8____，众数是___10___．
(2)若这组数据中的每个数据都加1，则新数据的平均数为 9 ，方差为 3.6 ．
6.如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是(　C　)
A．98 B．101
C．104 D．107
【综合拓展类作业】
7. 在某校射箭队的一次训练中，甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，教练将两人的成绩绘制成如下尚不完整的统计图表．
(1)甲运动员前5箭射击成绩的众数是 9 环．
(2)求a的值．
解:因为甲、乙两名运动员前5箭的平均成绩相同，甲运动员前5箭的总成绩是5＋7＋9＋9＋10＝40(环)，
所以a＝40－8－10－8－6＝8.
(3)如果从中选择一名成绩稳定的运动员参加全市中学生比赛，你认为应选谁去？请说明理由．
【解】应选乙运动员去．理由如下：两名运动员的平均成绩都为40÷5＝8(环)，则甲运动员成绩的方差是×[(9－8)2＋(5－8)2＋(10－8)2＋(7－8)2＋(9－8)2]＝3.2，乙运动员成绩的方差是 ×[(8－8)2＋(10－8)2＋(8－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2]＝1.6. 因为3.2＞1.6，所以乙运动员的成绩更稳定，所以应选乙运动员参加全市中学生比赛．
作业设计
【知识技能类作业】必做题：
1.某校为了解学生本周观看某普法栏目的时长，校团委随机抽取了7名学生的观看时长(单位：min)进行分析，相关数据如下：
100，95，165，150，210，200，180，则这组数据的最大值与最小值的差是___115_____.
2.教练对王亮进行5次3分投篮测试，每次投10个球，这5次投篮测试中投中的个数分别为6，7，8，7，7，则王亮这5次测试成绩的离差平方和为____2____.
【知识技能类作业】选做题：
3. 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为σ甲2＝3.6，σ乙2＝5.8，则这两种小麦长势更整齐的是 甲 .
4. 科学家同时培育了甲、乙、丙、丁四种花，四种花开花时间的平均数及方差如下表，则四种花中开花时间最短且最平稳的是 乙 .
【综合拓展类作业】
5. 甲、乙两人是高中数学小组成员．以下是他们参加数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息．
信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)如下：
其中甲的平均成绩是85分，乙的平均成绩是85分，
方差分别是σ甲2＝58.4，σ乙2＝a.
信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)如下:
(1)乙在集训期间的成绩最好与最差相差____10____分；
(2)求a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价；
解：σ乙2＝×[2＋2＋…＋2]＝8.2，即a＝8.2. 因为甲＝85，乙＝85，σ甲2＝58.4，
所以甲＝乙，σ甲2>σ乙2，
所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定．
(3)当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为____89.6____，若要从中选择一人参加高中数学联赛，试分析选谁更合适.
从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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