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8．1　平方根
第1课时　平方根
1．平方根的概念：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即如果x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
2．表示方法：
正数a的平方根表示为“±”，读作“正、负根号a”.
3．平方根的性质：
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数；
(2)0的平方根是0；
(3)负数没有平方根．
4．开平方：
求一个数a的平方根的运算叫作开平方，其中a叫作被开方数．
考点1?　求一个数的平方根
【典例1】求下列各数的平方根：
(1)25；(2)0.36；(3)；(4)0；(5).
解：(1)∵52＝25，(－5)2＝25，∴25的平方根是5和－5，即±5；
(2)∵0.62＝0.36，(－0.6)2＝0.36，
∴0.36的平方根是0.6和－0.6，即±0.6；
(3)∵＝，＝，
∴的平方根是和－，即±；
(4)∵02＝0，∴0的平方根是0，即0；
(5)∵＝，
∴的平方根是和－，即±.
求一个正数的平方根的基本方法：①先写出是哪个数的平方等于已知数；明确(或易求出)所要求的正数是哪一个数的平方，对于不易求出所要求的正数是哪个数的平方的，可以用计算器进行计算．②再利用平方根的定义求出这个正数的平方根.
【变式训练】
1．如图是小佳的练习册，她答对的题目数量是(C)
判断题： (1)－x2一定没有平方根(√). (2)－9的平方根是±3(×). (3)25的平方根是5(×). (4)6是36的一个平方根(√).
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
考点2?　由平方根求原数
【典例2】(湖北恩施期中)已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
解：(1)依题意，得2a－1＝(±3)2且3a＋b－1＝(±4)2，
∴a＝5，b＝2，∴a＋2b＝5＋4＝9，
∴a＋2b的平方根为±3，即±＝±3.
根据平方根的意义，一个非负数等于其平方根的平方，同时要明确一个正数的两个平方根是互为相反数的．
【变式训练】
2．(海南三亚崖州区校级月考)一个正数a的平方根分别是m和－3m＋1，求m和这个正数a的值．
∵正数有两个平方根，他们互为相反数，
∴m＋(－3m＋1)＝0，解得m＝，
∴a＝＝.
考点3?　求未知数的值
【典例3】利用平方根求下列x的值：
(1)x2＝9；
(2)(x＋2)2－81＝0.
解：(1)x2＝9，∴x＝±3；
(2)(x＋2)2－81＝0，∴(x＋2)2＝81，
∴x＋2＝±9，解得x＝7或x＝－11.
对于此类问题先运用等式的性质把方程化为x2＝b的形式，再求平方根即可．
【变式训练】
3．(海南海口龙华区月考)求下列各式中的x：
(1)x2－143＝1；
(2)4(x＋1)2＝81.
(1)移项并合并，得x2＝144.
∵(±12)2＝144，∴x＝±12；
(2)两边都除以4，得(x＋1)2＝.
∵(±)2＝，∴x＋1＝±，解得x＝或x＝－.
知识点1?　平方根的定义及计算
1．(海南琼中县期中)4的平方根是(D)
A． B．± C．2 D．±2
2．(海南屯昌县月考)已知式子x2＝25，则x的值为±5.
3．求下列各数的平方根：
(1)64；(2)；(3)；(4)2.25.
(1)＝±8，
(2)＝±
(3)＝±
(4)＝±1.5
知识点2?　平方根的性质
4．下列说法正确的是(C)
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．－10是100的一个平方根
D．－1的平方根是－1
5．如果实数m没有平方根，那么m可以是(A)
A．－32 B．|－3|
C．(－3)2 D．－(－3)
6．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
(1)(－3)2；(2)－42；(3)－(a2＋1)
(1)有平方根．(－3)2的平方根是±3.
(2)没有平方根．理由：∵－42是负数，负数没有平方根．
(3)没有平方根．理由：∵－(a2＋1)是负数，负数没有平方根．
易错易混点　平方根的表示错误
7．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是(D)
A．± B．a－1
C．a2－1 D．±
8．若2(x－1)2＝18，则x等于(D)
A．4 B．－2
C．±3 D．－2或4
9．(海南期末)若(8－x)2＋|y－1|＝0，则x＋y的平方根是(D)
A．9 B．±9
C．3 D．±3
10．(四川绵阳江油市期末)若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝1或5．
11．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a－3和5－a.
(1)求a和x的值；
(2)求x＋12a的平方根．
(1)∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a－3和5－a，∴2a－3＋5－a＝0，
解得a＝－2，∴x＝(2a－3)2＝49；
(2)将x＝49，a＝－2代入x＋12a中，得49－24＝25.
∵25的平方根为±5，∴x＋12a的平方根为±5.
【母题P42T3】求下列各式中x的值：
(1)x2＝25；(2)9x2＝4；(3)(x－1)2＝1.
(1)∵(±5)2＝25，∴x＝±＝±5；
(2)原式可化为：x2＝，
∵＝，∴x＝±＝±；
(3)∵(±1)2＝1，
∴x－1＝±＝±1，
∴x－1＝1或x－1＝－1，∴x＝2或x＝0.
【变式】　求下列各式中x的值：
(1)9x2－25＝0；
(2)4(2x－1)2＝36.
(1)9x2－25＝0，
9x2＝25，
x2＝，
x＝±；
(2)4(2x－1)2＝36，
(2x－1)2＝9，
2x－1＝±3，
∴2x－1＝3或2x－1＝－3，
解得x＝2或x＝－1.
12．(运算能力)(湖北武汉洪山区期中)小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏(他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2).
(1)如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的边长为．
(2)若将(1)中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
如题图1，当S1＝1，S2＝1时，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1＋1＝2，因此其边长为；如题图2，当S1＝1，S2＝4时，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1＋4＝5，因此其边长为；如题图3，当S1＝1，S2＝16时，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1＋16＝17，因此其边长为.故答案为，，.
(2)不能．理由如下：设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x·3x＝14.52，∴x2＝1.21, 即x＝1.1(x>0)，因此长方形的长为4x＝4.4，宽为3x＝3.3.∵(4.4)2＝19.36>17，∴不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形．
第2课时　算术平方根
1．算术平方根
(1)算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的算术平方根．
(2)表示方法：
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫作被开方数．
(3)0的算术平方根：
规定：0的算术平方根是0．
2．用计算器求一个正数的算术平方根：在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根时，为了提高计算速度，便可利用计算器直接快速地求出这个数的算术平方根．大多数计算器都有键，利用它可求出任意一个正数的算术平方根．因为计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，但一般先按键，然后按数据键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根.
考点1?　求一个非负数的算术平方根
【典例1】求下列各数的算术平方根．
(1)121；(2)1.69；(3)104；(4)2；(5)(－)2；(6).
解：(1)∵112＝121，∴121的算术平方根是11；
(2)∵1.32＝1.69，∴1.69的算术平方根是1.3；
(3)∵1002＝104，∴104的算术平方根是102＝100；
(4)∵2＝，()2＝，∴2的算术平方根是；
(5)∵(－)2＝，()2＝，∴它的算术平方根是；
(6)∵＝0.09，
0．32＝0.09，∴它的算术平方根是0.3.
求一个数的算术平方根，先找到一个平方等于所求数的非负数，这个数就是所求数的算术平方根.
【变式训练】
1．(山东济宁期末)下列计算正确的是(D)
A.＝±3 B．＝－3
C．＝－3 D．＝3
考点2?　算术平方根的估值
【典例2】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则a＋b的值为．
解析：∵9<13<16，∴<<，
∴3<<4，∴a＝3，b＝－3，
∴a＋b＝.
本题主要考查的是估算无理数的大小，合理地运用夹值法是解题的关键．
【变式训练】
2．已知10＋的整数部分是x，小数部分是y，则x－y的值为12－．
知识点1?　算术平方根的定义及计算
1．(海南三亚吉阳区校级月考)36的算术平方根是(B)
A．±6 B．6 C．±4 D．4
2．下列各数中，不是某个数的算术平方根的数是(A)
A．－11 B．0 C．6 D．2
3．求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)0.25；(3).
(1)＝8；
(2)＝0.5；
(3)＝.
知识点2?　用计算器求算术平方根及估算
4．(山东东营广饶县一模)利用教材中的计算器依次按键如下： ，则计算器面板显示的结果为(B)
A．－3 B．3 C．±3 D．4
5．用计算器求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)(精确到0.01).
(1)＝99.
(2)＝8.78.
(3)≈3.32.
知识点3?　比较大小
6．下列四个实数中，最大的数是(B)
A． B．2 C．0 D．－3
7．(山东临沂沂南县一模)比较大小：－<－1(填“>”“＝”或“<”)
易错易混点　忽略(a≥0)的平方根需要先化简，再求平方根8.的算术平方根是3．
9．已知≈3.606，≈36.06，则a的值是(B)
A．130 B．1 300
C．169 D．1 690
∵≈3.606，≈36.06，∴＝，∴a＝1 300.
10．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数2－的点P在(B)
A．线段AB上 B．线段BO上
C．线段OC上 D．线段CD上
11．(湖北咸宁咸安区期末)大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着美丽“黄金分割”，如图，＝，这个比值介于整数n－1和n之间，则n的值是1．
【母题P47T10】(1)求()2，()2，()2，()2，()2的值．对于任意非负数a，()2等于多少？
(2)求，，，，的值．对于任意数a，等于多少？
(1)()2＝0；()2＝4；()2＝9；()2＝25；()2＝36；对于任意非负数a，()2＝a；
(2)＝0；＝2；＝3；＝5；＝6；对于任意数a，＝|a|.
【变式】　计算：＝3，＝0.5，＝0，＝6，＝．
12．(数学建模)国际比赛的足球场长在100～110 m之间，宽在64～75 m之间．为了迎接某次奥运会，某地新建了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2.这个足球场符合国际比赛足球场的要求吗？请说明理由．
这个足球场符合国际比赛足球场的要求．理由如下：
设这个足球场的宽为x m，则长为1.5x m.
由题意，得1.5x2＝7 560，
∴x2＝5 040.
∵x＞0，∴x＝.
又∵702＝4 900，712＝5 041，
∴70＜＜71，即70＜x＜71.
∴105＜1.5x＜106.5.
∴这个足球场符合国际比赛足球场的要求．8．1　平方根
第1课时　平方根
1．平方根的概念：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即如果x2＝a，那么这个数x叫作a的 或 ．
2．表示方法：
正数a的平方根表示为“ ”，读作“正、负根号a”.
3．平方根的性质：
(1)正数有 个平方根，它们 ；
(2)0的平方根是 ；
(3)负数没有平方根．
4．开平方：
求一个数a的平方根的运算叫作 ，其中a叫作 ．
考点1?　求一个数的平方根
【典例1】求下列各数的平方根：
(1)25；(2)0.36；(3)；(4)0；(5).
求一个正数的平方根的基本方法：①先写出是哪个数的平方等于已知数；明确(或易求出)所要求的正数是哪一个数的平方，对于不易求出所要求的正数是哪个数的平方的，可以用计算器进行计算．②再利用平方根的定义求出这个正数的平方根.
【变式训练】
1．如图是小佳的练习册，她答对的题目数量是( )
判断题： (1)－x2一定没有平方根(　). (2)－9的平方根是±3(　). (3)25的平方根是5(　). (4)6是36的一个平方根(　).
A．1道 B．2道 C．3道 D．4道
考点2?　由平方根求原数
【典例2】(湖北恩施期中)已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的平方根是±4，求a＋2b的平方根．
根据平方根的意义，一个非负数等于其平方根的平方，同时要明确一个正数的两个平方根是互为相反数的．
【变式训练】
2．(海南三亚崖州区校级月考)一个正数a的平方根分别是m和－3m＋1，求m和这个正数a的值．
考点3?　求未知数的值
【典例3】利用平方根求下列x的值：
(1)x2＝9；
(2)(x＋2)2－81＝0.
对于此类问题先运用等式的性质把方程化为x2＝b的形式，再求平方根即可．
【变式训练】
3．(海南海口龙华区月考)求下列各式中的x：
(1)x2－143＝1；
(2)4(x＋1)2＝81.
知识点1?　平方根的定义及计算
1．(海南琼中县期中)4的平方根是( )
A． B．± C．2 D．±2
2．(海南屯昌县月考)已知式子x2＝25，则x的值为 .
3．求下列各数的平方根：
(1)64；(2)；(3)；(4)2.25.
知识点2?　平方根的性质
4．下列说法正确的是( )
A．正数的平方根是它本身
B．100的平方根是10
C．－10是100的一个平方根
D．－1的平方根是－1
5．如果实数m没有平方根，那么m可以是( )
A．－32 B．|－3|
C．(－3)2 D．－(－3)
6．下列各数是否有平方根？若有，求出它的平方根；若没有，请说明理由．
(1)(－3)2；(2)－42；(3)－(a2＋1)
易错易混点　平方根的表示错误
7．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的上一个自然数的平方根是( )
A．± B．a－1
C．a2－1 D．±
8．若2(x－1)2＝18，则x等于( )
A．4 B．－2
C．±3 D．－2或4
9．(海南期末)若(8－x)2＋|y－1|＝0，则x＋y的平方根是( )
A．9 B．±9
C．3 D．±3
10．(四川绵阳江油市期末)若x2＝4，y2＝9，则|x＋y|＝ ．
11．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a－3和5－a.
(1)求a和x的值；
(2)求x＋12a的平方根．
【母题P42T3】求下列各式中x的值：
(1)x2＝25；(2)9x2＝4；(3)(x－1)2＝1.
【变式】　求下列各式中x的值：
(1)9x2－25＝0；
(2)4(2x－1)2＝36.
12．(运算能力)(湖北武汉洪山区期中)小强同学用两个小正方形纸片做拼剪构造大正方形游戏(他选用的两个小正方形的面积分别为S1，S2).
(1)如图1，S1＝1，S2＝1，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为 ；如图2，S1＝1，S2＝4，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为 ；如图3，S1＝1，S2＝16，拼成的大正方形A3B3C3D3的边长为 ．
(2)若将(1)中的图3沿正方形A3B3C3D3边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由．
第2课时　算术平方根
1．算术平方根
(1)算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数x的 等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫作a的 ．
(2)表示方法：
a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫作 ．
(3)0的算术平方根：
规定：0的算术平方根是 ．
2．用计算器求一个正数的算术平方根：在求某些数的算术平方根时，有些数很大或很小，或不易求出算术平方根时，为了提高计算速度，便可利用计算器直接快速地求出这个数的算术平方根．大多数计算器都有键，利用它可求出任意一个正数的算术平方根．因为计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，但一般先按键，然后按数据键，再按键，计算器显示的结果就是该数的算术平方根.
考点1?　求一个非负数的算术平方根
【典例1】求下列各数的算术平方根．
(1)121；(2)1.69；(3)104；(4)2；(5)(－)2；(6).
求一个数的算术平方根，先找到一个平方等于所求数的非负数，这个数就是所求数的算术平方根.
【变式训练】
1．(山东济宁期末)下列计算正确的是( )
A.＝±3 B．＝－3
C．＝－3 D．＝3
考点2?　算术平方根的估值
【典例2】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则a＋b的值为 ．
本题主要考查的是估算无理数的大小，合理地运用夹值法是解题的关键．
【变式训练】
2．已知10＋的整数部分是x，小数部分是y，则x－y的值为 ．
知识点1?　算术平方根的定义及计算
1．(海南三亚吉阳区校级月考)36的算术平方根是( )
A．±6 B．6 C．±4 D．4
2．下列各数中，不是某个数的算术平方根的数是( )
A．－11 B．0 C．6 D．2
3．求下列各数的算术平方根：
(1)64；(2)0.25；(3).
知识点2?　用计算器求算术平方根及估算
4．(山东东营广饶县一模)利用教材中的计算器依次按键如下： ，则计算器面板显示的结果为( )
A．－3 B．3 C．±3 D．4
5．用计算器求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)(精确到0.01).
知识点3?　比较大小
6．下列四个实数中，最大的数是( )
A． B．2 C．0 D．－3
7．(山东临沂沂南县一模)比较大小：－ －1(填“>”“＝”或“<”)
易错易混点　忽略(a≥0)的平方根需要先化简，再求平方根8.的算术平方根是 ．
9．已知≈3.606，≈36.06，则a的值是( )
A．130 B．1 300
C．169 D．1 690
10．如图，数轴上的点A，B，O，C，D分别表示数－2，－1，0，1，2，则表示数2－的点P在( )
A．线段AB上 B．线段BO上
C．线段OC上 D．线段CD上
11．(湖北咸宁咸安区期末)大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着美丽“黄金分割”，如图，＝，这个比值介于整数n－1和n之间，则n的值是 ．
【母题P47T10】(1)求()2，()2，()2，()2，()2的值．对于任意非负数a，()2等于多少？
(2)求，，，，的值．对于任意数a，等于多少？
【变式】　计算：＝ ，＝ ，＝ ，＝ ，＝ ．
12．(数学建模)国际比赛的足球场长在100～110 m之间，宽在64～75 m之间．为了迎接某次奥运会，某地新建了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2.这个足球场符合国际比赛足球场的要求吗？请说明理由．

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