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7．2.3　平行线的性质
1．两条平行线被第三条直线所截，同位角 ．简称为：两直线平行，同位角 ．
2．两条平行线被第三条直线所截，内错角 ．简称为：两直线平行，内错角 ．
3．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角 ．简称为：两直线平行，同旁内角 ．
考点1?　平行线性质的运用
【典例1】(山东聊城莘县校级月考)如图，AD平分∠CAB，DE∥AC，∠CAD＝28°.求∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质，关键是分析确定平行线被第三条直线所截的同位角、内错角和同旁内角．
【变式训练】
1．(山西朔州月考)如图，a∥c，b∥d，若∠1＝110°，求∠3的度数．
考点2?　综合运用平行线的判定与性质说理
【典例2】如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF，那么BC平分∠DBE吗？为什么？
平行线的判定是利用角的关系(如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)推出两直线平行，而平行线的性质是指由两条直线平行推出角之间的关系．在实际解题过程中，两者的运用并不是孤立的，从复杂的图形中分析出基本图形是学习数学的一大基本功，在分析与解题过程中“桥”的作用也是不可忽视的，即等量代换，如本题中的∠C.
【变式训练】
2．(海南期末)完成推理填空
如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，与CD交于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E.
试说明：AD∥BC.
考点3?　添加平行线解决拐点问题
【典例3】如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．
对于拐点问题，在拐点处构造已知直线的平行线进而证明多条直线平行是解题的关键．
【变式训练】
3．中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是( )
　　
A．106° B．110° C．118° D．120°
知识点1?　两直线平行，同位角相等
1．(云南中考)如图，直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝35°，则∠2＝( )
A．145° B．65°
C．55° D．35°
2．(海南海口一模)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
知识点2?　两直线平行，内错角相等
3．(海南东方二模)如图①是某商场某品牌的椅子，图②是其侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，则∠CAB等于( )
　　
A．70° B．65°
C．60° D．50°
4．(海南陵水县模拟)如图，已知AB∥CD，且B，C，E三点在同一直线上．若∠1∶∠2＝2∶3，则∠3的大小为( )
A．130° B．125°
C．108° D．72°
5．(海南海口琼山区校级模拟)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为 ．
知识点3?　两直线平行，同旁内角互补
6．(湖北中考)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60°
C．70° D．80°
7．(海南海口龙华区校级模拟)如图，AB∥CD，BC为∠ACD的平分线，∠1＝155°，则∠2为( )
A．155° B．130° C．150° D．135°
8．如图是从举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A＝115°，∠D＝110°.已知梯形的两底AD∥BC，请你求出另外两个角的度数.
易错易混点　平行线性质综合利用其他几何知识求解角度，易忽略其他知识9.如图，AB∥CD，AE交CD于点F，连接DE，若∠D＝28°，∠E＝112°，则∠A的度数为( )
A．48° B．46°
C．42° D．40°
10．(海南海口期末)如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠A＝80°，则∠ADC等于( )
A．60° B．80°
C．90° D．100°
11．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋∠4＝ ．
12．如图，已知AB∥CD，∠B＝60°，EM平分∠BEC，∠MEN＝80°，求∠DEN的度数．
【母题P18T2】如图，AB∥CD，且∠1＝∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？
【变式】　已知：如图，如果AB∥CD，AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END.对MP∥NQ说明理由．
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠AMF＝ ( ).
∵MP平分∠AMF(已知)，
∴∠1＝∠ (角平分线定义).
同理∠2＝∠END，
∴∠1＝ ( ).
∴MP∥NQ( ).
13．(几何直观)(海南澄迈县期末)如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠1＋∠2＝180°，求证：∠BEC＋∠B＝180°；
(3)在(2)的基础上，若∠BEC＝2∠B＋30°，求∠C的度数．7．2.3　平行线的性质
1．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称为：两直线平行，同位角相等．
2．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称为：两直线平行，内错角相等．
3．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称为：两直线平行，同旁内角互补．
考点1?　平行线性质的运用
【典例1】(山东聊城莘县校级月考)如图，AD平分∠CAB，DE∥AC，∠CAD＝28°.求∠1的度数．
解：∵AD平分∠CAB，
∴∠CAB＝2∠CAD＝2×28°＝56°.
∵DE∥AC，
∴∠1＝∠CAB＝56°.
此题主要考查了平行线的性质，关键是分析确定平行线被第三条直线所截的同位角、内错角和同旁内角．
【变式训练】
1．(山西朔州月考)如图，a∥c，b∥d，若∠1＝110°，求∠3的度数．
∵a∥c，∴∠1＋∠2＝180°.
∵∠1＝110°，∴∠2＝180°－∠1＝70°.
∵b∥d，∴∠3＝∠2＝70°.
考点2?　综合运用平行线的判定与性质说理
【典例2】如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF，那么BC平分∠DBE吗？为什么？
解：BC平分∠DBE.理由如下：
∵∠2＋∠BDC＝180°，∠1＋∠2＝180°，
∴∠BDC＝∠1，
∴AE∥FC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠EBC＝∠C，∠EBD＝∠BDF(两直线平行，内错角相等).
又∵∠A＝∠C(已知)，
∴∠EBC＝∠A，
∴AD∥BC(同位角相等，两直线平行).
∴∠ADB＝∠CBD.
又∵DA平分∠BDF，
∴∠CBD＝∠ADB＝∠BDF＝∠EBD，
∴BC平分∠DBE(角平分线的定义).
平行线的判定是利用角的关系(如同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)推出两直线平行，而平行线的性质是指由两条直线平行推出角之间的关系．在实际解题过程中，两者的运用并不是孤立的，从复杂的图形中分析出基本图形是学习数学的一大基本功，在分析与解题过程中“桥”的作用也是不可忽视的，即等量代换，如本题中的∠C.
【变式训练】
2．(海南期末)完成推理填空
如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，与CD交于点F，交BC的延长线于点E，∠CFE＝∠E.
试说明：AD∥BC.
解：∵AB∥CD(已知)，
∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等).
∵AE平分∠BAD(已知)，
∴∠1＝∠2(角平分线定义)，
∴∠CFE＝∠2(等量代换).
∵∠CFE＝∠E(已知)，
∴∠E＝∠2(等量代换)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
考点3?　添加平行线解决拐点问题
【典例3】如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝65度．
解析：过点C作CF平行于AB，如图．∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥ED.
由AB∥CF，得∠1＝180°－∠B＝30°.
由CF∥ED，得180°－∠D＝35°，
∴∠BCD＝∠1＋∠2＝65°.故填65.
对于拐点问题，在拐点处构造已知直线的平行线进而证明多条直线平行是解题的关键．
【变式训练】
3．中华武术，博大精深．小明把如图1所示的武术动作抽象成数学问题．如图2，已知AB∥CD，∠C＝90°，∠B＝78°，∠E＝98°，则∠F的度数是(B)
　　
A．106° B．110° C．118° D．120°
如图，过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB.
∵AB∥CD，∴AB∥FH∥EG∥CD，∴∠B＋∠HFB＝180°，∠EFH＝∠GEF，∠C＋∠CEG＝180°，∴∠HFB＝180°－∠B＝102°，∠CEG＝180°－∠C＝90°，∴∠GEF＝∠CEF－∠CEG＝98°－90°＝8°，∴∠EFH＝∠GEF＝8°，∴∠EFB＝∠EFH＋∠HFB＝102°＋8°＝110°.
知识点1?　两直线平行，同位角相等
1．(云南中考)如图，直线c与直线a，b都相交．若a∥b，∠1＝35°，则∠2＝(D)
A．145° B．65°
C．55° D．35°
2．(海南海口一模)在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为(A)
A．30° B．45° C．60° D．75°
知识点2?　两直线平行，内错角相等
3．(海南东方二模)如图①是某商场某品牌的椅子，图②是其侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，则∠CAB等于(C)
　　
A．70° B．65°
C．60° D．50°
4．(海南陵水县模拟)如图，已知AB∥CD，且B，C，E三点在同一直线上．若∠1∶∠2＝2∶3，则∠3的大小为(C)
A．130° B．125°
C．108° D．72°
5．(海南海口琼山区校级模拟)一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为15°．
知识点3?　两直线平行，同旁内角互补
6．(湖北中考)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是(B)
A．50° B．60°
C．70° D．80°
7．(海南海口龙华区校级模拟)如图，AB∥CD，BC为∠ACD的平分线，∠1＝155°，则∠2为(B)
A．155° B．130° C．150° D．135°
8．如图是从举世闻名的三星堆考古中发掘出的一个梯形残缺玉片，工作人员从玉片上已经量得∠A＝115°，∠D＝110°.已知梯形的两底AD∥BC，请你求出另外两个角的度数.
∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.
∵∠A＝115°，∠D＝110°，
∴∠B＝180°－115°＝65°，
∠C＝180°－110°＝70°.
易错易混点　平行线性质综合利用其他几何知识求解角度，易忽略其他知识9.如图，AB∥CD，AE交CD于点F，连接DE，若∠D＝28°，∠E＝112°，则∠A的度数为(D)
A．48° B．46°
C．42° D．40°
10．(海南海口期末)如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠A＝80°，则∠ADC等于(D)
A．60° B．80°
C．90° D．100°
11．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3＋∠4＝105°．
12．如图，已知AB∥CD，∠B＝60°，EM平分∠BEC，∠MEN＝80°，求∠DEN的度数．
∵AB∥CD，∠B＝60°，
∴∠BED＝∠B＝60°，
∴∠BEC＝180°－60°＝120°.
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM＝∠BEC＝60°.
∵∠MEN＝80°，
∴∠BEN＝∠MEN－∠BEM＝80°－60°＝20°，
∴∠DEN＝∠BED－∠BEN＝60°－20°＝40°.
【母题P18T2】如图，AB∥CD，且∠1＝∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？
BE∥CF，理由如下：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCB.
又∵∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠DCB－∠2，
∴∠CBE＝∠BCF，∴BE∥CF.
【变式】　已知：如图，如果AB∥CD，AB，CD与直线EF分别相交于点M和N，MP平分∠AMF，NQ平分∠END.对MP∥NQ说明理由．
理由：∵AB∥CD(已知)，
∴∠AMF＝∠END(两直线平行，内错角相等).
∵MP平分∠AMF(已知)，
∴∠1＝∠AMF(角平分线定义).
同理∠2＝∠END，
∴∠1＝∠2(等量代换).
∴MP∥NQ(内错角相等，两直线平行).
∵AB∥CD(已知)，
∴∠AMF＝∠END( 两直线平行，内错角相等).
∵MP平分∠AMF(已知)，
∴∠1＝∠AMF(角平分线定义).
同理∠2＝∠END，∴∠1＝∠2( 等量代换).
∴MP∥NQ(内错角相等，两直线平行).
故答案为∠END；两直线平行，内错角相等；AMF；∠2；等量代换；内错角相等，两直线平行．
13．(几何直观)(海南澄迈县期末)如图，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC.
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠1＋∠2＝180°，求证：∠BEC＋∠B＝180°；
(3)在(2)的基础上，若∠BEC＝2∠B＋30°，求∠C的度数．
(1)∵∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC，
∠AGE＝∠DGC，
∴∠A＝∠D，
∴AB∥CD；
(2)∵∠1＝∠BHA，∠1＋∠2＝180°，
∴∠2＋∠BHA＝180°，
∴BF∥CE，
∴∠BEC＋∠B＝180°；
(3)∵∠BEC＋∠B＝180°，∠BEC＝2∠B＋30°，
∴∠B＝50°，
∴∠BEC＝130°.
∵AB∥CD，
∴∠C＋∠BEC＝180°，
∴∠C＝50°.

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