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2026年安徽省“c20”联盟合肥市第三十八中学等校中考考前模拟数学试题
一、单选题
1．在实数0，，，中，最小的是（ ）
A．0 B． C． D．
2．年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到，而其核心光电转换层厚度仅为米．数用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍（chú méng）”的几何体，书中记载：“刍甍者，下有袤有广而上有袤无广，刍，草也；甍，层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，烧杯中装有适量溶液，向烧杯中不断滴入稀盐酸后，烧杯中的溶液的值变化情况用图象可近似表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点，，，在同一条直线上，，，．当时，的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，都在反比例函数（为常数）的图象上，当时，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，为的直径，，过点作的切线，交的延长线于点．若，，则的长为（）
A． B． C． D．
9．已知两个不为零的实数，满足，其中．则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点，连接，的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．6
二、填空题
11．计算：________．
12．若，，则______．
13．考拉兹猜想(又称冰雹猜想、猜想)是全球知名的数学难题，至今未获得证明．其规则为：对任意正整数，重复以下变换：若它是奇数，则对它乘3加1；若它是偶数，则对它除以2．猜想断言：无论从哪个正整数开始，最终都会落入“”的循环，也就是一定会走到1．数学家已验证极大范围内的数均符合该猜想的规律．在正整数1，2，3，4中，随机选取两个不同的数，分别按上述规则进行一次操作后，两个结果均为偶数的概率是________．
14．若关于的整式的系数，，，，均为整数，，且相邻两个系数的差（后项减前项）满足：对任意，，，都有，则称该整式为递增阶梯整式．当时，整式的取值称为该“递增阶梯整式”的全系数和，记作．请完成下列探究：
（1）若某“递增阶梯整式”的相邻系数差均为2，且首项系数，则该整式的全系数和________；
（2）若某“递增阶梯整式”满足，则所有满足条件的的值之和为________．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？
17．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、．
(1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的；
(2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的；
(3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标．
18．如图，老师带领数学小组测量河里面一棵大树树顶离水面的高度，小高用高的测量仪在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为，，求树顶离水面的高度（结果保留一位小数，，，）
19．综合与实践
【项目背景】近年来，真无线蓝牙耳机成为大众常用的数码产品，续航时长是影响用户体验的核心指标．为验证某款耳机的省电模式优化效果，测评机构在统一的标准测试环境（固定音量、相同连接状态、统一播放内容）下，对50台同批次的该款耳机，分别在普通模式、省电模式下进行满电单次续航时长测试，对比验证省电模式的优化效果．
【数据收集与整理】收集这50台耳机在普通模式、省电模式下的单次续航时长（单位：小时，用表示续航时长），并进行分组如下：
组别 A B C D E
整理1：耳机在省电模式下的部分续航时长记录如下（含C组全部数据和D，E组部分数据）：14，14，14，14，15，15，15，15，15，15，15，15，15，15，16，16，16，16，17，17，18，…
整理2：将普通模式下的续航测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将省电模式下的续航测试成绩绘制成如图②的扇形统计图．
整理3：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为．
【数据处理和应用】
(1)任务1：普通模式测试成绩在C组的有________人，并补全频数分布直方图；
(2)任务2：省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数是________，D组对应扇形的圆心角是________；
(3)任务3：已知省电模式下的这50台耳机的平均续航为15.8小时；普通模式测试成绩在A，B，C，D，E五组中的平均分分别为11，13，15，17，19；若省电模式的平均续航比普通模式高出，就认为该省电模式的优化效果卓越．请你通过计算说明该款耳机的省电模式是否达到“效果卓越”？
20．如图，内接于，是的直径，的平分线交于点，在上取一点，使得．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
21．综合与实践：线段拼接与几何量求和的计数规律探究
【情境引入】有一批小木棒，木棒长度分别为、、、…、（每根木棒长度为互不相等的正整数，每根木棒仅可使用一次）．将选取的木棒首尾顺次无缝拼接，形成一条新的线段，新线段的长度即为所选木棒的长度之和．小航同学获得了一次随机选取5根木棒拼接的机会，他想探究：按规则拼接后，能得到多少种不同长度的线段？为此，小航同学从最简单的情形入手，开启了如下探究之旅．
【模型建构与探究】
我们遵循“特殊情形入手→逐步递进归纳→验证猜想→通用建模”的思路开展探究．
★探究一：任取2根木棒拼接的长度种数
我们先研究从连续长度的木棒中，选取2根拼接的情况：
从长度为、、的3根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？
选取的2根木棒 、 、 、
拼接后总长度
从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为，最大长度为，共有3种不同的结果．
从长度为、、、的4根木棒中，任取2根拼接，能得到多少种不同长度的线段？
选取的2根木棒 、 、 、 、 、 、
拼接后总长度
从表格中可得结论：拼接后线段的最小长度为，最大长度为，共有5种不同的结果．
(1)从长度为、、、、的5根木棒中，任取2根拼接，这2根木棒拼接后的长度共有 种不同的结果．
(2)规律猜想：从长度为、、…、（为正整数，且）的根木棒中，任取2根拼接，共有 种不同的长度结果．
★探究二：任取3根木棒拼接的长度种数
我们进一步研究选取3根拼接的情况：
从长度为、、、的4根木棒中，任取3根拼接，经操作发现，拼接后线段的最小长度为，最大长度为，共有4种不同的结果．
(3)从长度为、、…、（为正整数，且）的根木棒中，任取3根拼接，猜想共有 种不同的长度结果．
★探究三：任取k根木棒拼接的通用规律
(4)从长度为、、、（为正整数，且）的根木棒中，任取根拼接，共有 种不同的长度结果．
(5)若从长度为、、、（、为正整数，且）的根木棒中，任取根拼接，共有 种不同的长度结果．
【拓展延伸】
(6)现有一组线段，长度分别为、、、、（、均为正整数，且）．从中任取条（）首尾拼接，共有 种不同的长度结果（用含、、的代数式表示的结果）．
22．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、．
(1)求的值；
(2)该二次函数图象的顶点为，与轴正半轴交于点，设点的横坐标为．抛物线与轴两个交点的横坐标之和为．
（ⅰ）求顶点的坐标；
（ⅱ）若、是该二次函数图象上不重合的两点，其中且．
求证：．
23．已知，在等腰中，，点为的中点，点为上一点，，交于点，过点作交的延长线于点．
(1)如图1，．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）求证：．
(2)如图2，若，，求的长．
参考答案
1．C
【详解】解：∵ 所有负数都小于0，
∴ 0不是最小的，
，
∵，，
∴，即，
因此四个数中最小的是．
2．B
【详解】解：．
3．B
【详解】
解：刍甍的俯视图为．
4．C
【详解】解：选项A：从小于7开始上升，不符合初始碱性的情况，排除．
选项B：始终不变，不符合中和反应的变化，排除．
选项C：从大于7开始，逐渐减小至小于7，符合上述变化规律．
选项D：最终稳定在7，不符合盐酸过量后呈酸性的情况，排除．
故选C．
5．C
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式的解集为，
整数解包括：0，1，2，3，4，共5个．
6．B
【详解】解： 在Rt中，， ，
∴ ，
∵，
∴ ，
在Rt中，， ，
，
是的外角 ，
，
．
7．C
【详解】解：∵对任意实数，都有，
∴，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，
∵，可得，
∴点在第三象限，点在第一象限，
∴，
∴，
故选C．
8．B
【详解】连接，如图：
是的切线，
，即，
在中，，
，即圆心角，
，根据圆中平行弦所夹的弧相等，可知，
，
又直径，
半径，
根据弧长公式，
可得的长为．
9．A
【详解】解：∵ ，且，
∴两边同乘，得
展开整理得
因式分解得 ，即
∵ ，
∴ ，可得
∴
∴
将代入 得
∵ ，
∴ ，即 ．
10．C
【详解】解：如图，过点作，分别交于点M，交于点N，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，，
在中，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴点在的角平分线上，
∵，是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得，
又，
∴，解得
∵在中，，
∴的最大值为2，当且仅当与重合时取等号，
当时，，且，即与重合，与重合,此时，四边形是正方形，且最大，
∵点在的角平分线上，
∴最大时，最小，
如图，当时，延长交于点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴,,
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是直角三角形，
由勾股定理得：．
11．/
【详解】解：原式．
12．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为．
13．
【详解】解：对每个正整数进行一次变换：
是奇数，变换结果为，是偶数；
是偶数，变换结果为，是奇数；
是奇数，变换结果为，是偶数；
是偶数，变换结果为，是偶数；
因此变换后结果为偶数的原数为1，3，4，共3个，变换后结果为奇数的原数为2，
从4个数中随机选取2个不同的数，所有等可能的结果为：，共6种，
其中两个结果均为偶数的结果有，共3种，
根据概率公式可得．
14． 25 7
【详解】解：（1）由题意得，，相邻系数差均为，因此
，
，
，
，
全系数和；
（2）设四个相邻差为，，，，
由题意得 （），且为整数，
设，则 ，即 .
因为 ，且 ，代入得
，
整理得，
将代入不等式得 ，
解不等式得 ，
因为是整数，所以满足条件的为，，
所有满足条件的的值之和为．
15．，9
【详解】解：
，
∵
∴原式．
16．2小时
【详解】解：设小辰参与标注的时间是x小时，依题意，得
，
解得，
答：小辰参与标注的时间是2小时．
17．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心，
，，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将代入，得：，
解得，
直线的解析式为，
将与联立，得：，
解得，
点的坐标为．
18．
【详解】解：水平地面离水面的高度为，测量仪高，
，
由题意知，四边形为矩形，
，
设，
在中，，
，
在中，，
，
即，
解得，
，
，
即树顶离水面的高度为．
19．(1)12，图见解析
(2)16，115.2
(3)没有
【详解】（1）解：这50台耳机在普通模式下的续航优良率（测试成绩大于或等于16小时为优良）为，
D，E组人数之和为：，
D组人数为：，
C组人数为：，
补全频数分布直方图如图，
（2）解：由图②知，省电模式下，A，B组人数之和为：，
由整理1的数据得，C组人数为：14人，
，
省电模式下这50台耳机测试成绩的中位数在D组，第25，26个数据分别是16，16，
中位数为；
D组人数所占百分比为：
D组对应扇形的圆心角是；
（3）解：普通模式下平均续航时间为：（小时），
，
该款耳机的省电模式没有达到“效果卓越”．
20．(1)证明见详解；
(2)
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
为等腰直角三角形，
，
平分，
，
又，
，
，，
，即平分；
（2）解：在等腰直角三角形中，，
，
连接交于点，
，
，
且，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
联立得，，
解得：，
，
．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【详解】（1）解：从到的木棒中任取2根，最小长度为，最大长度为，根据前面探究可知，到之间每个整数长度都可以得到，因此总种数为；
（2）解：从到的木棒中任取2根，最小长度为，最大长度为，总种数为，验证得时结果为，时结果为，符合已知结论；
（3）解：从到的木棒中任取3根，最小长度为，最大长度为，总种数为，验证得时结果为，符合已知结论；
（4）解：从到的木棒中任取4根，最小长度为，最大长度为，总种数为；
（5）解：从到的木棒中任取根，最小和，最大和，总种数为；
（6）解：长度为的木棒总共有根，将，代入(5)的公式得：．
22．(1)
(2)（i）顶点的坐标为（ii）见解析
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点、，
∴A，B两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线，
又抛物线的对称轴公式为，
∴，
∴；
（2）解：（i）由（1）知，
∴二次函数可化为，
设抛物线与轴的两个交点的横坐标分别为、，
∵两个交点的横坐标之和为，
∴，
∴，
由根与系数的关系得，抛物线与轴的两个交点的横坐标之和为，
∴，
解得，
∴抛物线与轴的一个交点坐标为，代入得：
，
解得，
∴，
∴二次函数解析式为：，
配方得，
∴顶点的坐标为；
（ii）证明：∵、是该二次函数图象上不重合的两点，
∴，
整理得，
∴，
∴，
∴，
设方程的两个根为，则：
，，
，
∴左边右边．
23．(1)（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析
(2)
【详解】（1）证明：（ⅰ）∵等腰，
∴，
∵，
．
∵，
∴，
∴．．．
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（ⅱ）∵点为的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
解得（负值舍去），
如图2，延长交的延长线于点H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵D为中点，
∴，
∴，
∴．

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