资源简介

广东深圳市南山实验教育集团麒麟中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学
1．下列运算正确的是(　　).
A． B． C． D．
2．2026粤港澳大湾区花展于3月27日在深圳笔架山体育公园启幕，本届花展主题花为鸢尾.由南山区城市管理和综合执法局打造的“粼光贝屿“花园，一举斩获城市花园组金奖和最佳建造奖.已知鸢尾花花粉直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法示为(　　).
A． B． C． D．
3．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为（　　）
A．10° B．15° C．18° D．30°
4．作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是(　　).
A． B．
C． D．
5．麒麟中学校园内出现了下列场景，其中数学原理解释错误的是( ).
A．测量校门口两棵树之间的距离，园林工人要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短.
B．班级文化建设时，小明用两颗图钉将一根木条固定在墙上，使海报挂正，应用的数学原理是：两点确定一条直线.
C．春季学期体测测量跳远成绩，体育老师从落点向起跳线作垂线读取数据，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
D．从教学楼向操场边缘的直跑道修建一条最短甬路，施工人员选择了垂直于跑道的路线，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
6． 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形，医学上常用 Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当 Cobb角>10°为脊柱侧弯.如图是脊柱侧弯 Cobb角(∠O)的检测示意图，DA⊥OC于A，CB⊥OD于B，BC与AD交于点 E，已知 Cobb角为35°，则∠AEC的大小是(　　).
A．35° B．45° C．55° D．65°
7．如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠4=∠5；③∠2+∠5=180°；④∠1=∠3；⑤∠6=∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8． 如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点 A2，B2，C2，使 顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2026，最少经过(　　)次操作.
A．7 B．6 C．5 D．4
9．已知，，则　 　．
10．若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足 则该等腰三角形的周长是　 　.
11．若代数式 是一个完全平方式，则实数k=　 　.
12．如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH 折叠，使点 D 和点A 都落在点 M处，若∠1+∠2=120°，则∠EMF的度数是　 　.
13．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，F是线段AD上一动点，连接BF，以BF为边在其上方作等边△BFE，连接AE，若BC=12，则线段AE的最小值为　 　.
14．计算：
（1）
（2）
15．先化简，再求值： 其中x=2，y=1.
16．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米.这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸.
（1）把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖 如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元
（2）已知房屋的高度为h米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸 如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱 (计算时不算门、窗所占的面积).
17． 如图，在△ABC中， ∠B=∠C，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：(保留作图痕迹，不写作法)
①在 BD 右侧作∠DAM=∠C；
②连接BE 并延长交射线AM于点 F；
（2）求证： AF∥BC且AF=BC.
18．【项目式探究】科技节里的“磁贴数学”.
项目背景 在麒麟中学科技节的“数学艺术展板设计”活动中，同学们需要利用不同尺寸的磁贴进行创意拼接(不重叠无缝隙)，并用整式乘法的知识解释拼接原理.
材料准备 三类磁贴： A 类：边长为a的正方形磁贴 B 类：边长为b的正方形磁贴 C 类：长为a、宽为b的长方形磁贴
探究环节 情境与图示 探究任务
基础探究 麒睿小组尝试用磁贴拼一个 长 为 (a+3b) 、 宽 为(2a+b) 的大长方形. (1)求需要 A、B、C三类磁贴各多少张
核心探究 麒智小组利用4张C类磁贴，拼出如图所示的大正方形. (2)①【建模】利用“面积法”推导，写出(a+b)2、(a-b)2、(ab 三者之间的等量关系式 ▲ ； ②【应用】实数x，y满足3x-2y-5， 且xy=1，请你仿照①中得到的结论，求 的值；
综合拓展 麒慧小组将A类与B类磁贴按图摆放，并连接相关线段形成阴影区域. (3)已知A类大正方形与B类小正方形的面积之差为 50.结合已经探究的 “面积法 ，直接写出阴影部分面积为 ▲
19．【学科融合】
物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律.
（1）【数学推理】
如图②，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.由以上光的反射定律可知∠1=∠2，∠3=∠4.在这样的条件下，求证： AB∥CD.
（2）【尝试探究】
两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.
如图③，光线AB与CD相交于点 E，请你用α表示∠BEC；
（3）如图④，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，则α与β之间满足的等量关系是　 　.
20．数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回答以下问题.点A在直线l上，AB=AC，点 D、E为直线 l 上的动点，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=α.
（1）【特殊化探究】
如图①，当α=90°时，猜想 DE、BD、CE之间的数量关系为　 　；
（2）【一般化推理】
如图②，若α为任意锐角或钝角，请问(1)中结论是否仍然成立 如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）【综合应用】
如图③，α是钝角，直线l 与 CB的延长线交于点 F，若BC=3BF，△ABC的面积是 S，请用S表示△FBD与△CEA 的面积之和；
（4）【深化探究】
如图④，α=120°，△ABF为等边三角形，求FD与FE的数量关系和夹角度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，不能合并，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000075用科学记数法示为
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】B
4．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
B：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
C：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
D：AD垂直BC，是BC边长的高，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A：测量校门口两棵树之间的距离，园林工人要拉直皮尺，
应用的数学原理是：两点之间，线段最短，正确，不符合题意；
B：班级文化建设时，小明用两颗图钉将一根木条固定在墙上，使海报挂正，
应用的数学原理是：两点确定一条直线，正确，不符合题意；
C：春季学期体测测量跳远成绩，体育老师从落点向起跳线作垂线读取数据，
应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意；
D：从教学楼向操场边缘的直跑道修建一条最短甬路，施工人员选择了垂直于跑道的路线，
应用的数学原理是：垂线段最短，错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B
∴△DOA和△DBE为直角三角形
∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°
∴∠DEB=∠O=35°
∴∠AEC=∠DEB=35°
故答案为：A
【分析】由题意可得，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B，根据直角三角形判定定理可得△DOA和△DBE为直角三角形，则△DOA和△DBE为直角三角形，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，不能判定 l1∥l2，②∵∠4=∠5，
∴l1∥l2，能判定；
③∵∠2+∠5=180°，不能判定l1∥l2；
④∵∠1=∠3，
∴ l1∥l2，能判定；
⑤∵∠6=∠1+∠2=∠3+∠2，
∴∠1=∠3
∴l1∥l2，能判定．
共有3个能判定；
故选C．
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行逐项进行分析判断．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接A1C
∵A1B=AB
∴△ABC和△A1BC的面积相等
∵△ABC面积为1
∵BB1=2BC
∴
同理可得，
∴
=2+2+2+1=7
同理可证
第三次操作后的面积为7×49=343
第四次操作后的面积为7×343=2401
∴要使得到的三角形的面积超过2026，最少经过4次操作
故答案为：D
【分析】连接A1C，根据同底等高的三角形面积可得△ABC和△A1BC的面积相等，则BB1=2BC，根据割补法，结合三角形面积可得，同理可证，第三次操作后的面积为7×49=343，第四次操作后的面积为7×343=2401，即可求出答案.
9．【答案】200
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：200．
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆用，把待求式子变形为(10x)2×(10y)，再整体代入计算即可得出答案.
10．【答案】16或14
【知识点】等腰三角形的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴a-6=0，b-4=0
解得：a=6，b=4
①当a为腰长，b为底边长时
三角形周长为：6+6+4=16
②当a为底边长，b为腰长时
三角形周长为：6+4+4=14
故答案为：16或14
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性可得a，b值，再根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形周长即可求出答案.
11．【答案】7或-5
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式
∴k-1=±6
解得：7或-5
故答案为：7或-5
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
12．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形
∴AD∥BC
∴∠DEG=∠1，∠AFH=∠2
∵∠1+∠2=120°
∴∠DEG+∠AFH=120°
∵∠AEG=180°-∠DEG，∠DFH=180°-∠AFH
∴∠AEG+∠DFH=180°-∠DEG+180°-∠AFH=360°-(∠DEG+∠AFH)=240°
由折叠可得，∠GEM=∠FEM=∠AEG，∠HFM=∠EFM=∠DFH
∴∠FEM+∠EFM=∠AEG+∠AEG=(∠AEG+∠DFH)=120°
∴∠EMF=180°-(∠FEM+∠EFM)=60°
故答案为：60°
【分析】根据长方形性质可得AD∥BC，则∠DEG=∠1，∠AFH=∠2，根据角之间的关系可得∠AEG+∠DFH=240°，再根据折叠性质可得∠FEM+∠EFM=120°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接CF
由题意可得，∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF，AB=BC
∴∠CBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF，即∠ABE=∠CBF
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴AE=CF
∴线段AE的最小值，即为线段CF的最小值
∵F为直线AD上一动点，CD⊥AD
∴点F与点D重合时，CF最小
∵在等边△ABC中，AD⊥BC
∴BD=CD
∵BC=12
∴
故答案为：6
【分析】连接CF，根据等边三角形性质可得∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF，AB=BC，根据角之间的关系可得∠ABE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CBF(SAS)，则AE=CF，线段AE的最小值，即为线段CF的最小值，点F与点D重合时，CF最小，再根据等边三角形性质即可求出答案.
14．【答案】（1）解：原式=3+1×1-4
=3+1-4
=0；
（2）解：
原式
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据绝对值性质，有理数的乘方，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据单项式乘单项式，单项式除以单项式化简计算即可求出答案.
15．【答案】解：原式：
=3x-6y，
当x=2， y=1时，原式=3×2-6=0.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式去小括号，合并同类项化简，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：根据题意得：
答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要11xy 平方米的砖
11xy×50=550xy(元)
答：购买所需地砖至少需要550xy元
（2）解：根据题意得：
答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要(8xh+12yh)平方米的壁纸
(8xh+12yh)×10=80xh+120yh (元)
答：购买所需壁纸至少需要(80xh+120yh)元
【知识点】几何体的表面积；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据矩形面积可得房屋总面积，再乘以单价即可求出答案.
（2）根据求出各个长方体的表面积，再乘以单价即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示， ∠DAM 和点 F 即为所求
（2）证明： ∵∠ABC=∠C， ∠DAM=∠C
∴∠ABC=∠DAM
∴AF∥BC
∴∠FAE=∠C
∵E是AC中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)
∴AF=BC
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据直线平行判定定理可得AF∥BC，则∠FAE=∠C，再根据线段中点可得AE=EC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】解： （1）
所以需要A类磁贴2张，B类磁贴3张，C类磁贴7张
（2）
②原式= (3x-2y)2+4×3x×2y
=25+24
=49.
（3）25
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）①由图可得，小正方形的边长为a-b，则面积为(a-b)2
小正方形的面积还等于大正方形面积-4个矩形面积，即(a-b)2=(a+b)2-4ab
∴
故答案为：
（3）根据图形可得，阴影部分的面积=
=
=
∵A类大正方形与B类小正方形的面积之差为50
∴
∴
故答案为：25
【分析】（1）根据长方形面积，结合多项式乘多项式化简，再结合长方形面积即可求出答案.
（2）①根据小正方形面积=大正方形面积-4个矩形面积即可求出答案.
②根据①中规律列式计算即可求出答案.
（3）根据三角形面积，结合题意列式计算即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：∵OM⊥ON，
∴∠CON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：在△OBC中， ∵∠MON=α，
∴∠2+∠3=180°-α，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，
∴∠BEC=180°-∠ABC-∠BCD
=180° - (180°-2∠2) - (180°-2∠3)
=2(∠2+∠3) - 180°
（3）β=2
【知识点】角的运算；平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3）∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3
∴∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=∠β
∵∠MON=∠3-∠2=
∴β=2
故答案为：β=2
【分析】（1）根据垂直可得∠CON=90°，根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=90°，再根据角之间的关系可得∠DCB+∠ABC=180°，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=180°-α，根据角之间的关系可得∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）根据角之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）DE=BD+CE
（2）解：(1)中结论仍然成立；理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA (AAS)，
∴AE=BD， AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）解：由(2)知△ABD≌△CAE (AAS)，
设△ABC的底边 BC上的高为h，则△ABF的底边 BF上的高为h，
∵BC=3BF，
∴△FBD 与△CEA 的面积之和为 S.
（4）解：∵△ADB≌△CEA
∴BD=AE，∠ABD=∠CAE
∵△ABF为等边三角形
∴∠FBA=∠FAB=∠BFA=60°， FB=FA
∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=60°
∴∠FAC=∠FBA
∴∠FAC+∠CAE=∠FBA+∠ABD
即∠FBD=∠FAE
在△FBD和△FAE中，
∴△FBD≌△FAE (SAS)
∴FD=FE，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°
且FD与FE夹角为
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】解：（1）DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°
∴∠DBA=∠EAC
∵AB=AC
∴△DBA≌△EAC(AAS)
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=BD+CE
故答案为：DE=BD+CE
【分析】（1）根据角之间的关系可得∠DBA=∠EAC，根据全等三角形判定定理可得△DBA≌△EAC(AAS)，则AD=CE，BD=AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得∠CAE=∠ABD，根据全等三角形判定定理可得△ADB≌△CEA (AAS)，则AE=BD，AD=CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据全等三角形性质可得，设△ABC的底边 BC上的高为h，则△ABF的底边 BF上的高为h，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）根据全等三角形性质可得BD=AE，∠ABD=∠CAE，根据等边三角形性质可得∠FBA=∠FAB=∠BFA=60°，FB=FA，根据角之间的关系可得∠FBD=∠FAE，再根据全等三角形判定定理可得△FBD≌△FAE (SAS)，则FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据角之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东深圳市南山实验教育集团麒麟中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学
1．下列运算正确的是(　　).
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意；
B：，不能合并，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
2．2026粤港澳大湾区花展于3月27日在深圳笔架山体育公园启幕，本届花展主题花为鸢尾.由南山区城市管理和综合执法局打造的“粼光贝屿“花园，一举斩获城市花园组金奖和最佳建造奖.已知鸢尾花花粉直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法示为(　　).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0000075用科学记数法示为
故答案为：A
【分析】科学记数法是把一个数表示成与10的n次幂相乘的形式.
3．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，则的度数为（　　）
A．10° B．15° C．18° D．30°
【答案】B
4．作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
B：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
C：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
D：AD垂直BC，是BC边长的高，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
5．麒麟中学校园内出现了下列场景，其中数学原理解释错误的是( ).
A．测量校门口两棵树之间的距离，园林工人要拉直皮尺，应用的数学原理是：两点之间，线段最短.
B．班级文化建设时，小明用两颗图钉将一根木条固定在墙上，使海报挂正，应用的数学原理是：两点确定一条直线.
C．春季学期体测测量跳远成绩，体育老师从落点向起跳线作垂线读取数据，应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
D．从教学楼向操场边缘的直跑道修建一条最短甬路，施工人员选择了垂直于跑道的路线，应用的数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A：测量校门口两棵树之间的距离，园林工人要拉直皮尺，
应用的数学原理是：两点之间，线段最短，正确，不符合题意；
B：班级文化建设时，小明用两颗图钉将一根木条固定在墙上，使海报挂正，
应用的数学原理是：两点确定一条直线，正确，不符合题意；
C：春季学期体测测量跳远成绩，体育老师从落点向起跳线作垂线读取数据，
应用的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确，不符合题意；
D：从教学楼向操场边缘的直跑道修建一条最短甬路，施工人员选择了垂直于跑道的路线，
应用的数学原理是：垂线段最短，错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
6． 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有锥体旋转的脊柱畸形，医学上常用 Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，当 Cobb角>10°为脊柱侧弯.如图是脊柱侧弯 Cobb角(∠O)的检测示意图，DA⊥OC于A，CB⊥OD于B，BC与AD交于点 E，已知 Cobb角为35°，则∠AEC的大小是(　　).
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】A
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：由题意可得，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B
∴△DOA和△DBE为直角三角形
∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°
∴∠DEB=∠O=35°
∴∠AEC=∠DEB=35°
故答案为：A
【分析】由题意可得，DA⊥OC于点A，CB⊥OD于点B，根据直角三角形判定定理可得△DOA和△DBE为直角三角形，则△DOA和△DBE为直角三角形，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．如图，下列条件：①∠1=∠2；②∠4=∠5；③∠2+∠5=180°；④∠1=∠3；⑤∠6=∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，不能判定 l1∥l2，②∵∠4=∠5，
∴l1∥l2，能判定；
③∵∠2+∠5=180°，不能判定l1∥l2；
④∵∠1=∠3，
∴ l1∥l2，能判定；
⑤∵∠6=∠1+∠2=∠3+∠2，
∴∠1=∠3
∴l1∥l2，能判定．
共有3个能判定；
故选C．
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行逐项进行分析判断．
8． 如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1.第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点 A2，B2，C2，使 顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2026，最少经过(　　)次操作.
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：连接A1C
∵A1B=AB
∴△ABC和△A1BC的面积相等
∵△ABC面积为1
∵BB1=2BC
∴
同理可得，
∴
=2+2+2+1=7
同理可证
第三次操作后的面积为7×49=343
第四次操作后的面积为7×343=2401
∴要使得到的三角形的面积超过2026，最少经过4次操作
故答案为：D
【分析】连接A1C，根据同底等高的三角形面积可得△ABC和△A1BC的面积相等，则BB1=2BC，根据割补法，结合三角形面积可得，同理可证，第三次操作后的面积为7×49=343，第四次操作后的面积为7×343=2401，即可求出答案.
9．已知，，则　 　．
【答案】200
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：200．
【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则逆用，把待求式子变形为(10x)2×(10y)，再整体代入计算即可得出答案.
10．若a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足 则该等腰三角形的周长是　 　.
【答案】16或14
【知识点】等腰三角形的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵
∴a-6=0，b-4=0
解得：a=6，b=4
①当a为腰长，b为底边长时
三角形周长为：6+6+4=16
②当a为底边长，b为腰长时
三角形周长为：6+4+4=14
故答案为：16或14
【分析】根据绝对值，偶次方的非负性可得a，b值，再根据等腰三角形性质分类讨论，结合三角形周长即可求出答案.
11．若代数式 是一个完全平方式，则实数k=　 　.
【答案】7或-5
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式
∴k-1=±6
解得：7或-5
故答案为：7或-5
【分析】根据完全平方公式即可求出答案.
12．如图，长方形纸片ABCD，点E，F在AD边上，点G，H在BC边上，分别沿EG，FH 折叠，使点 D 和点A 都落在点 M处，若∠1+∠2=120°，则∠EMF的度数是　 　.
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为长方形
∴AD∥BC
∴∠DEG=∠1，∠AFH=∠2
∵∠1+∠2=120°
∴∠DEG+∠AFH=120°
∵∠AEG=180°-∠DEG，∠DFH=180°-∠AFH
∴∠AEG+∠DFH=180°-∠DEG+180°-∠AFH=360°-(∠DEG+∠AFH)=240°
由折叠可得，∠GEM=∠FEM=∠AEG，∠HFM=∠EFM=∠DFH
∴∠FEM+∠EFM=∠AEG+∠AEG=(∠AEG+∠DFH)=120°
∴∠EMF=180°-(∠FEM+∠EFM)=60°
故答案为：60°
【分析】根据长方形性质可得AD∥BC，则∠DEG=∠1，∠AFH=∠2，根据角之间的关系可得∠AEG+∠DFH=240°，再根据折叠性质可得∠FEM+∠EFM=120°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
13．如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，F是线段AD上一动点，连接BF，以BF为边在其上方作等边△BFE，连接AE，若BC=12，则线段AE的最小值为　 　.
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接CF
由题意可得，∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF，AB=BC
∴∠CBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF，即∠ABE=∠CBF
在△ABE和△CBF中
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴AE=CF
∴线段AE的最小值，即为线段CF的最小值
∵F为直线AD上一动点，CD⊥AD
∴点F与点D重合时，CF最小
∵在等边△ABC中，AD⊥BC
∴BD=CD
∵BC=12
∴
故答案为：6
【分析】连接CF，根据等边三角形性质可得∠EBF=∠ABC=60°，BE=BF，AB=BC，根据角之间的关系可得∠ABE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CBF(SAS)，则AE=CF，线段AE的最小值，即为线段CF的最小值，点F与点D重合时，CF最小，再根据等边三角形性质即可求出答案.
14．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=3+1×1-4
=3+1-4
=0；
（2）解：
原式
【知识点】单项式乘单项式；零指数幂；负整数指数幂；单项式除以单项式；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据绝对值性质，有理数的乘方，0指数幂，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据单项式乘单项式，单项式除以单项式化简计算即可求出答案.
15．先化简，再求值： 其中x=2，y=1.
【答案】解：原式：
=3x-6y，
当x=2， y=1时，原式=3×2-6=0.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；多项式除以单项式；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据完全平方公式，平方差公式去小括号，合并同类项化简，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
16．麒麟花园一间房屋结构如图，图中数据单位为米.这家房子的主人打算铺地砖，并且贴壁纸.
（1）把卧室以外的部分铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖 如果某种地砖的价格是50元/平方米，那么购买所需地砖至少需要多少元
（2）已知房屋的高度为h米，需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸 如果壁纸的价格是10元/平方米，那么购买所需壁纸至少需要多少钱 (计算时不算门、窗所占的面积).
【答案】（1）解：根据题意得：
答：把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要11xy 平方米的砖
11xy×50=550xy(元)
答：购买所需地砖至少需要550xy元
（2）解：根据题意得：
答：在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要(8xh+12yh)平方米的壁纸
(8xh+12yh)×10=80xh+120yh (元)
答：购买所需壁纸至少需要(80xh+120yh)元
【知识点】几何体的表面积；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【分析】（1）根据矩形面积可得房屋总面积，再乘以单价即可求出答案.
（2）根据求出各个长方体的表面积，再乘以单价即可求出答案.
17． 如图，在△ABC中， ∠B=∠C，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母：(保留作图痕迹，不写作法)
①在 BD 右侧作∠DAM=∠C；
②连接BE 并延长交射线AM于点 F；
（2）求证： AF∥BC且AF=BC.
【答案】（1）解：如图所示， ∠DAM 和点 F 即为所求
（2）证明： ∵∠ABC=∠C， ∠DAM=∠C
∴∠ABC=∠DAM
∴AF∥BC
∴∠FAE=∠C
∵E是AC中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(ASA)
∴AF=BC
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；作图-平行线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据直线平行判定定理可得AF∥BC，则∠FAE=∠C，再根据线段中点可得AE=EC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
18．【项目式探究】科技节里的“磁贴数学”.
项目背景 在麒麟中学科技节的“数学艺术展板设计”活动中，同学们需要利用不同尺寸的磁贴进行创意拼接(不重叠无缝隙)，并用整式乘法的知识解释拼接原理.
材料准备 三类磁贴： A 类：边长为a的正方形磁贴 B 类：边长为b的正方形磁贴 C 类：长为a、宽为b的长方形磁贴
探究环节 情境与图示 探究任务
基础探究 麒睿小组尝试用磁贴拼一个 长 为 (a+3b) 、 宽 为(2a+b) 的大长方形. (1)求需要 A、B、C三类磁贴各多少张
核心探究 麒智小组利用4张C类磁贴，拼出如图所示的大正方形. (2)①【建模】利用“面积法”推导，写出(a+b)2、(a-b)2、(ab 三者之间的等量关系式 ▲ ； ②【应用】实数x，y满足3x-2y-5， 且xy=1，请你仿照①中得到的结论，求 的值；
综合拓展 麒慧小组将A类与B类磁贴按图摆放，并连接相关线段形成阴影区域. (3)已知A类大正方形与B类小正方形的面积之差为 50.结合已经探究的 “面积法 ，直接写出阴影部分面积为 ▲
【答案】解： （1）
所以需要A类磁贴2张，B类磁贴3张，C类磁贴7张
（2）
②原式= (3x-2y)2+4×3x×2y
=25+24
=49.
（3）25
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）①由图可得，小正方形的边长为a-b，则面积为(a-b)2
小正方形的面积还等于大正方形面积-4个矩形面积，即(a-b)2=(a+b)2-4ab
∴
故答案为：
（3）根据图形可得，阴影部分的面积=
=
=
∵A类大正方形与B类小正方形的面积之差为50
∴
∴
故答案为：25
【分析】（1）根据长方形面积，结合多项式乘多项式化简，再结合长方形面积即可求出答案.
（2）①根据小正方形面积=大正方形面积-4个矩形面积即可求出答案.
②根据①中规律列式计算即可求出答案.
（3）根据三角形面积，结合题意列式计算即可求出答案.
19．【学科融合】
物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律.
（1）【数学推理】
如图②，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.由以上光的反射定律可知∠1=∠2，∠3=∠4.在这样的条件下，求证： AB∥CD.
（2）【尝试探究】
两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.
如图③，光线AB与CD相交于点 E，请你用α表示∠BEC；
（3）如图④，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，则α与β之间满足的等量关系是　 　.
【答案】（1）证明：∵OM⊥ON，
∴∠CON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：在△OBC中， ∵∠MON=α，
∴∠2+∠3=180°-α，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，
∴∠BEC=180°-∠ABC-∠BCD
=180° - (180°-2∠2) - (180°-2∠3)
=2(∠2+∠3) - 180°
（3）β=2
【知识点】角的运算；平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3）∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3
∴∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=∠β
∵∠MON=∠3-∠2=
∴β=2
故答案为：β=2
【分析】（1）根据垂直可得∠CON=90°，根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=90°，再根据角之间的关系可得∠DCB+∠ABC=180°，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=180°-α，根据角之间的关系可得∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）根据角之间的关系即可求出答案.
20．数学问题研究常遵循：特殊化探究→一般化推理→综合应用→深化探究的思考路径，请你据此思路回答以下问题.点A在直线l上，AB=AC，点 D、E为直线 l 上的动点，且∠BDA=∠BAC=∠AEC=α.
（1）【特殊化探究】
如图①，当α=90°时，猜想 DE、BD、CE之间的数量关系为　 　；
（2）【一般化推理】
如图②，若α为任意锐角或钝角，请问(1)中结论是否仍然成立 如成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）【综合应用】
如图③，α是钝角，直线l 与 CB的延长线交于点 F，若BC=3BF，△ABC的面积是 S，请用S表示△FBD与△CEA 的面积之和；
（4）【深化探究】
如图④，α=120°，△ABF为等边三角形，求FD与FE的数量关系和夹角度数.
【答案】（1）DE=BD+CE
（2）解：(1)中结论仍然成立；理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
∴△ADB≌△CEA (AAS)，
∴AE=BD， AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）解：由(2)知△ABD≌△CAE (AAS)，
设△ABC的底边 BC上的高为h，则△ABF的底边 BF上的高为h，
∵BC=3BF，
∴△FBD 与△CEA 的面积之和为 S.
（4）解：∵△ADB≌△CEA
∴BD=AE，∠ABD=∠CAE
∵△ABF为等边三角形
∴∠FBA=∠FAB=∠BFA=60°， FB=FA
∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=60°
∴∠FAC=∠FBA
∴∠FAC+∠CAE=∠FBA+∠ABD
即∠FBD=∠FAE
在△FBD和△FAE中，
∴△FBD≌△FAE (SAS)
∴FD=FE，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=∠BFA=60°
且FD与FE夹角为
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】解：（1）DE=BD+CE，理由如下：
∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=90°
∴∠DBA=∠EAC
∵AB=AC
∴△DBA≌△EAC(AAS)
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=BD+CE
故答案为：DE=BD+CE
【分析】（1）根据角之间的关系可得∠DBA=∠EAC，根据全等三角形判定定理可得△DBA≌△EAC(AAS)，则AD=CE，BD=AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得∠CAE=∠ABD，根据全等三角形判定定理可得△ADB≌△CEA (AAS)，则AE=BD，AD=CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）根据全等三角形性质可得，设△ABC的底边 BC上的高为h，则△ABF的底边 BF上的高为h，再根据三角形面积即可求出答案.
（4）根据全等三角形性质可得BD=AE，∠ABD=∠CAE，根据等边三角形性质可得∠FBA=∠FAB=∠BFA=60°，FB=FA，根据角之间的关系可得∠FBD=∠FAE，再根据全等三角形判定定理可得△FBD≌△FAE (SAS)，则FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据角之间的关系即可求出答案.
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