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浙江省杭州市锦绣育才教育集团2025学年第二学期3月月评八年级数学试题卷
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　)
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　)
A． B． C． D．
3．下列二次根式是最简二次根式的是（　　)
A． B． C． D．
4．已知关于x的一元二次方程 则该方程解的情况是（　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个解
5．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　)
A． B． C． D．
6．某药厂两年前生产一吨药的成本是 5500 元，现在生产一吨药的成本是 4570 元.设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（　　)
A． B．
C． D．
7．已知 则 的值为（　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
8．关于x的一元二次方程 的两根为 则代数式 因式分解的结果是（　　)
A．（x+2)（x+3) B．3（x+2)（x+3)
C．（x-2)（x-3) D．3（x-2)（x-3)
9．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}=3，因此 max{-1， - 3}=-1；按照这个规定，若 则x的值是（　　)
A．1 B． C．- 1或 D．1或
10．已知一元二次方程 与一元一次方程 dx+e=0有一个公共解x=x1，若一元二次方程 有两个相等的实数根，则（　　)
A． B． C． D．
11．使二次根式 有意义的实数x的取值范围是　 　．
12．填空： 　 　（填“>”或“<”)
13．已知x=m是一元二次方程 的根，则 的值是　 　.
14．已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为　 　.
15．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形ABCD中，若 则AB=　 　.
16．如图，在△ABC中， P 在 BC 边上运动。连结 AP，若使 AP 长为整数的点共有12个，那么ABC的面积是　 　.
17．计算：
（1）
（2）
18．解下列方程：
（1）
（2）
19．已知 求 的值.
20．设x1，x2是方程. 的两个根，且 求常数m的值。
21．已知关于x的一元二次方程
（1）已知方程的其中一个根 求k的值.
（2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
22．根据以下素材，完成任务.
素材1 某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长。该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒。
素材2 该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒。
问题解决
任务1 求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率。
任务2 为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元
23．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式 的最小值.
且
∴当x=-3时， 有最小值-4.
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求证：无论x取何值，二次根式 恒为正数；
（2）若代数式 的最大值为5，求k的值；
（3）已知 是一个关于x的完全平方式，求常数n的值.
24．
（1）已知实数a， b是方程. 的两根，求 的值；
（2）已知实数a，b满足 且b≠3a，求 ab的值；
（3）若两个不相等的实数p，q满足 求 pq-m的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.ax2+bx+c=0，当a=0时不是一元二次方程，不符合题意；
B.x2+y=1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
D.x2+x=4，是一元二次方程，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，所以A选项符合题意；
B.，所以B选项不符合题意；
C.，所以C选项不符合题意；
D.与不能合并，所以D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断.
3．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：对于选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
对于选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式.
故答案为：D.
【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的定义判断即可.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程为x2-mx-2=0，
则判别式Δ=(-m)2-4×1×(-2)=m2+8，
又由于m2≥0，
则m2+8>0，即Δ>0，
因此，该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-6x=3
∴x2-6x+9=3+9
∴(x-3)2=12，
∴用配方法解一元二次方程x2-6x=3，配方结果为(x-3)2=12.
故答案为：A.
【分析】用配方法解一元二次方程x2-6x=3x2-6x=3得到(x-3)2=12，即可得到答案.
6．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设生产成本的年平均下降率为x，
列方程得5500(1-x)2=4570，
故答案为：C.
【分析】根据下降率问题的等量关系：两年前生产成本×(1-年平均下降率)2=现在生产成本，代入对应数据即可得到正确方程.
7．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵被开方数必须大于等于0
∴
解得：x=1
将x=1代入y的式子得：y=0
∴(x+y)2=(1+0)2=1
故答案为：B.
【分析】由题意得，求出x=1，y=0，再代入即可求解.
8．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=3
根据一元二次方程根与因式分解的关系可得3x2+bx+c=3(x-2)(x-3)
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程两根为x1，x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，代入已知条件即可得到结果.
9．【答案】C
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：若x>-x，即x>0，则，解得(负值已舍去)；
若x<-x，即x<0，则，解得x=-1(正值已舍去)
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：当x>-x(即x>0)时，max{x，-x}=x；当x<-x(即x<0) 时，max{x，-x}=-x，分别代入等式求解方程，舍去不符合条件的解.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0与关于x的一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1，
∴x=x1是方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解
∵一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0，
∴ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0，
∵有两个相等的实数根
∴
整理得：a(x2-x1)=d
故答案为：B.
【分析】先确定x1是第三个方程的根，再利用方程有两个相等实根的条件(韦达定理)，建立d与a、
x1、x2的关系.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∵45<50
∴
故答案为：<.
【分析】通过比较两个数平方的大小来确定这两个数的大小关系，因为当两个数都是正数时，平方大的数本身也大.
13．【答案】23
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=m代入原方程得：m2-4m+1=0，
整理得m2-4m=-1，
∴24-4m+m2
= (m2-4m) +24
=-1+24
=23
故答案为：23.
【分析】利用方程的根满足原方程得到m的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值即可.
14．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-3)x2+6x+k2-9=0的常数项为0，
∴k2-9=0
解得k=3或k=-3，
∵二次项系数不为0，
∴k-3≠0，
∴k≠3，
∴k=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为0，求解即可得到k的值.
15．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设AB=CD=x，
∵面积为50和18的两个正方形，
∴两个正方形的边长分别为，，
∴，
∴，
解得
故
故答案为：.
【分析】设AB=CD=x，根据面积求出两个正方形的边长，根据S1-S2=8，列出方程进行求解即可.
16．【答案】15
【知识点】无理数的估值；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵81<85<100
∴， 即，
∴9∵36<40<49，
∴， 即，
∴6设点A到BC的距离为h，
∵P在BC边上运动
∴h≤AP≤AC，
∵内的正整数有9、8、7、6、5、4、3、2、1，共9个，且AP长为整数的点共有12个，6∴AP的长能为9、8、7，且这三个长度的点只有一个，AP的长能为6、5、4、3，且这四个长度的点均有2个，此时还差12-3-2×4=1个点，
∴AP的最短的长度为2，此时h=2，
∴由勾股定理可得：
∴△ABC的面积是.
故答案为：15.
【分析】先估算出917．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可；
(2)分子分母同时乘以即可.
18．【答案】（1）解：提取公因式，得x(x-5)=0
解得：
（2）解：移项，得
同加上 得
开平方，得 或
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式.
19．【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先计算x-y和xy的值，再利用完全平方公式将x2-xy+y2变形为(x-y)2+xy，代入计算即可.
20．【答案】解：∵x2-8x+m=0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x2=3x1，
∴x1+3x1=8，
∴x1=2，
∴22-8×2+m=0.
∴m=12
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到x1+x2=8，进而求得x1=2，代入方程中求解即可.
21．【答案】（1）解：把 代入方程，得1-(2k-1)-k-2=0
解得k=0
（2）解：
∴该方程有两个不相等得实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)将x1=-1代入原方程，可得出(-1)2-(2k-1)-k-2=0，解之即可得出k的值；
(2)根据Δ=4k2+9>0，即可判断.
22．【答案】解：任务1：设月平均增长率为x.
根据题意，得
解得 (不符合题意，舍去)
∴x=0.2=20%
答：月平均增长率为20%.
任务2：设礼盒售价下降y元，则实际利润为(20-y)元，日订单量为(300+20y)单，根据题意，得(20-y)(300+20y)=6080，
解得
∵要尽可能扩大销量，
∴礼盒售价为60-4=56 (元) .
答：每单实际配送费应定为56元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设月平均增长率为x，根据“该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒”，列出方程求解即可；
(2)设礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为(20-y)元，月销售量为(300+20y)盒，根据“每月销售该礼盒的利润达到6080元”，列出方程求解即可.
23．【答案】（1）证明： 分
则 恒为正数
（2）解： 2分
最大值是5
解得：
（3）解：
是完全平方式
解得：
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】(1)整理多项式可得：原式=(x-2)2+1，根据平方的非负性可知(x-2)2+1>0，所以x2-4x+5恒为正数；
(2)整理多项式可得：原式=-2(x-k)2+2k2-3，根据平方的非负性可知2k2-3=5，解方程即可求出k的值；
(3)整理多项式可得：原式=[x-2(n-1)]2-[2(n-1)]2+9n2，根据x2-4(n-1)x+9n2是一个完全平方式，可知-[2(n-1)]2+9n2=0，解方程即可求出n的值.
24．【答案】（1）解：∵a， b 是一元二次方程 的两个根，
∴，，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3
（2）解：方程两边同时除以9，可得
∵a2-a=1，，且b≠3a，即，
∴a与是方程x2-x=1，即x2-x-1=0的两个不相等的实数根。
对于方程x2-x-1=0，由韦达定理可知两根之积为，
即，
∴ab=-3.
（3）解：
①-②，得
∵p≠q，
∴ (p+q)+m=-1，
∴p+q=-1-m，
∴p=-1-m-q③， q=-1-m-p④，
将④代入①，得
将③代入②，得
∴p，q是一元二次方程 的两个根，
∴pq=m，
∴pq-m=0
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)先根据根与系数的关系求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将a2+b2转化为(a+b)2-2ab，代入计算即可；
(2)先将b2-3b=9变形，再结合a2-a=1，判断a与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出ab的值；
(3)联立方程作差，化简得出p+q的关系，代入方程后利用韦达定理求pq，进而得pq-m.
1 / 1浙江省杭州市锦绣育才教育集团2025学年第二学期3月月评八年级数学试题卷
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.ax2+bx+c=0，当a=0时不是一元二次方程，不符合题意；
B.x2+y=1，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C.，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
D.x2+x=4，是一元二次方程，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，即可求解.
2．下列运算正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.，所以A选项符合题意；
B.，所以B选项不符合题意；
C.，所以C选项不符合题意；
D.与不能合并，所以D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的除法法则对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断.
3．下列二次根式是最简二次根式的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：对于选项A：的被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于选项B：，被开方数含分母，不是最简二次根式；
对于选项C：，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式；
对于选项D：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式.
故答案为：D.
【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的定义判断即可.
4．已知关于x的一元二次方程 则该方程解的情况是（　　)
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个解
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程为x2-mx-2=0，
则判别式Δ=(-m)2-4×1×(-2)=m2+8，
又由于m2≥0，
则m2+8>0，即Δ>0，
因此，该一元二次方程有两个不相等的实数根，
故答案为：B.
【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可.
5．用配方法解一元二次方程 配方正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-6x=3
∴x2-6x+9=3+9
∴(x-3)2=12，
∴用配方法解一元二次方程x2-6x=3，配方结果为(x-3)2=12.
故答案为：A.
【分析】用配方法解一元二次方程x2-6x=3x2-6x=3得到(x-3)2=12，即可得到答案.
6．某药厂两年前生产一吨药的成本是 5500 元，现在生产一吨药的成本是 4570 元.设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设生产成本的年平均下降率为x，
列方程得5500(1-x)2=4570，
故答案为：C.
【分析】根据下降率问题的等量关系：两年前生产成本×(1-年平均下降率)2=现在生产成本，代入对应数据即可得到正确方程.
7．已知 则 的值为（　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵被开方数必须大于等于0
∴
解得：x=1
将x=1代入y的式子得：y=0
∴(x+y)2=(1+0)2=1
故答案为：B.
【分析】由题意得，求出x=1，y=0，再代入即可求解.
8．关于x的一元二次方程 的两根为 则代数式 因式分解的结果是（　　)
A．（x+2)（x+3) B．3（x+2)（x+3)
C．（x-2)（x-3) D．3（x-2)（x-3)
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程3x2+bx+c=0的两根为x1=2，x2=3
根据一元二次方程根与因式分解的关系可得3x2+bx+c=3(x-2)(x-3)
故答案为：D.
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若方程两根为x1，x2，则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，代入已知条件即可得到结果.
9．定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{1，3}=3，因此 max{-1， - 3}=-1；按照这个规定，若 则x的值是（　　)
A．1 B． C．- 1或 D．1或
【答案】C
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：若x>-x，即x>0，则，解得(负值已舍去)；
若x<-x，即x<0，则，解得x=-1(正值已舍去)
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：当x>-x(即x>0)时，max{x，-x}=x；当x<-x(即x<0) 时，max{x，-x}=-x，分别代入等式求解方程，舍去不符合条件的解.
10．已知一元二次方程 与一元一次方程 dx+e=0有一个公共解x=x1，若一元二次方程 有两个相等的实数根，则（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程a(x-x1)(x-x2)=0与关于x的一元一次方程dx+e=0有一个公共解x=x1，
∴x=x1是方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0的一个解
∵一元二次方程a(x-x1)(x-x2)+(dx+e)=0，
∴ax2-(ax1+ax2-d)x+ax1x2+e=0，
∵有两个相等的实数根
∴
整理得：a(x2-x1)=d
故答案为：B.
【分析】先确定x1是第三个方程的根，再利用方程有两个相等实根的条件(韦达定理)，建立d与a、
x1、x2的关系.
11．使二次根式 有意义的实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数解答即可．
12．填空： 　 　（填“>”或“<”)
【答案】<
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∵45<50
∴
故答案为：<.
【分析】通过比较两个数平方的大小来确定这两个数的大小关系，因为当两个数都是正数时，平方大的数本身也大.
13．已知x=m是一元二次方程 的根，则 的值是　 　.
【答案】23
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：将x=m代入原方程得：m2-4m+1=0，
整理得m2-4m=-1，
∴24-4m+m2
= (m2-4m) +24
=-1+24
=23
故答案为：23.
【分析】利用方程的根满足原方程得到m的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值即可.
14．已知关于x的一元二次方程 的常数项为0，则k的值为　 　.
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(k-3)x2+6x+k2-9=0的常数项为0，
∴k2-9=0
解得k=3或k=-3，
∵二次项系数不为0，
∴k-3≠0，
∴k≠3，
∴k=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据常数项为0列出方程求出k的值，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不为0，求解即可得到k的值.
15．如图，把面积为50和18的两个正方形放入长方形ABCD中，若 则AB=　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，设AB=CD=x，
∵面积为50和18的两个正方形，
∴两个正方形的边长分别为，，
∴，
∴，
解得
故
故答案为：.
【分析】设AB=CD=x，根据面积求出两个正方形的边长，根据S1-S2=8，列出方程进行求解即可.
16．如图，在△ABC中， P 在 BC 边上运动。连结 AP，若使 AP 长为整数的点共有12个，那么ABC的面积是　 　.
【答案】15
【知识点】无理数的估值；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵81<85<100
∴， 即，
∴9∵36<40<49，
∴， 即，
∴6设点A到BC的距离为h，
∵P在BC边上运动
∴h≤AP≤AC，
∵内的正整数有9、8、7、6、5、4、3、2、1，共9个，且AP长为整数的点共有12个，6∴AP的长能为9、8、7，且这三个长度的点只有一个，AP的长能为6、5、4、3，且这四个长度的点均有2个，此时还差12-3-2×4=1个点，
∴AP的最短的长度为2，此时h=2，
∴由勾股定理可得：
∴△ABC的面积是.
故答案为：15.
【分析】先估算出917．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【分析】(1)先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算即可；
(2)分子分母同时乘以即可.
18．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：提取公因式，得x(x-5)=0
解得：
（2）解：移项，得
同加上 得
开平方，得 或
解得
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用因式分解法求解即可；
(2)先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式.
19．已知 求 的值.
【答案】解：
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先计算x-y和xy的值，再利用完全平方公式将x2-xy+y2变形为(x-y)2+xy，代入计算即可.
20．设x1，x2是方程. 的两个根，且 求常数m的值。
【答案】解：∵x2-8x+m=0的两个根是x1，x2，
∴x1+x2=8，
∵x2=3x1，
∴x1+3x1=8，
∴x1=2，
∴22-8×2+m=0.
∴m=12
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】先利用一元二次方程根与系数关系得到x1+x2=8，进而求得x1=2，代入方程中求解即可.
21．已知关于x的一元二次方程
（1）已知方程的其中一个根 求k的值.
（2）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
【答案】（1）解：把 代入方程，得1-(2k-1)-k-2=0
解得k=0
（2）解：
∴该方程有两个不相等得实数根
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)将x1=-1代入原方程，可得出(-1)2-(2k-1)-k-2=0，解之即可得出k的值；
(2)根据Δ=4k2+9>0，即可判断.
22．根据以下素材，完成任务.
素材1 某山区特产直播带货平台助力乡村振兴，该平台上某农家特产店的销量持续增长。该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒。
素材2 该特产礼盒每盒成本价为40元，当售价定为60元时，每月可售出300盒；经市场调研发现，售价每降低1元，月销售量就会增加20盒。
问题解决
任务1 求该特产店3月份到5月份礼盒销量的月平均增长率。
任务2 为了回馈顾客，该店计划开展“降价促销”活动，且要保证每月销售该礼盒的利润达到6080元，同时尽可能扩大销量，求每盒礼盒的实际售价应定为多少元
【答案】解：任务1：设月平均增长率为x.
根据题意，得
解得 (不符合题意，舍去)
∴x=0.2=20%
答：月平均增长率为20%.
任务2：设礼盒售价下降y元，则实际利润为(20-y)元，日订单量为(300+20y)单，根据题意，得(20-y)(300+20y)=6080，
解得
∵要尽可能扩大销量，
∴礼盒售价为60-4=56 (元) .
答：每单实际配送费应定为56元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设月平均增长率为x，根据“该店3月份销售特产礼盒200盒，5月份销售礼盒288盒”，列出方程求解即可；
(2)设礼盒售价下降y元，则每盒礼盒的利润为(20-y)元，月销售量为(300+20y)盒，根据“每月销售该礼盒的利润达到6080元”，列出方程求解即可.
23．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式 的最小值.
且
∴当x=-3时， 有最小值-4.
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）求证：无论x取何值，二次根式 恒为正数；
（2）若代数式 的最大值为5，求k的值；
（3）已知 是一个关于x的完全平方式，求常数n的值.
【答案】（1）证明： 分
则 恒为正数
（2）解： 2分
最大值是5
解得：
（3）解：
是完全平方式
解得：
【知识点】完全平方公式及运用；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【分析】(1)整理多项式可得：原式=(x-2)2+1，根据平方的非负性可知(x-2)2+1>0，所以x2-4x+5恒为正数；
(2)整理多项式可得：原式=-2(x-k)2+2k2-3，根据平方的非负性可知2k2-3=5，解方程即可求出k的值；
(3)整理多项式可得：原式=[x-2(n-1)]2-[2(n-1)]2+9n2，根据x2-4(n-1)x+9n2是一个完全平方式，可知-[2(n-1)]2+9n2=0，解方程即可求出n的值.
24．
（1）已知实数a， b是方程. 的两根，求 的值；
（2）已知实数a，b满足 且b≠3a，求 ab的值；
（3）若两个不相等的实数p，q满足 求 pq-m的值.
【答案】（1）解：∵a， b 是一元二次方程 的两个根，
∴，，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=12-2×(-1)=3
（2）解：方程两边同时除以9，可得
∵a2-a=1，，且b≠3a，即，
∴a与是方程x2-x=1，即x2-x-1=0的两个不相等的实数根。
对于方程x2-x-1=0，由韦达定理可知两根之积为，
即，
∴ab=-3.
（3）解：
①-②，得
∵p≠q，
∴ (p+q)+m=-1，
∴p+q=-1-m，
∴p=-1-m-q③， q=-1-m-p④，
将④代入①，得
将③代入②，得
∴p，q是一元二次方程 的两个根，
∴pq=m，
∴pq-m=0
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)先根据根与系数的关系求出a+b和ab的值，再利用完全平方公式将a2+b2转化为(a+b)2-2ab，代入计算即可；
(2)先将b2-3b=9变形，再结合a2-a=1，判断a与是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的关系求出ab的值；
(3)联立方程作差，化简得出p+q的关系，代入方程后利用韦达定理求pq，进而得pq-m.
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