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湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在等题卡中填涂符合题意的选项，本大题共大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式， 故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式， 故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式， 故本选项符合题意；．
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的定义，先化简再判断即可．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，故本选不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意.
故选：B ．
【分析】根据二次根式的加减和乘除运算法则计算即可．
3．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据图形可知，中间小正方形的边长为，外围大正方形的边长为c，
据此列面积等式：，
展开整理得，，
两边消去后可得：.
故选：A.
【分析】中间小正方形（边长为）的面积，等于大正方形（边长为c）的面积减去4个直角边分别为a、b的直角三角形的面积，进而得出答案.
4．在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、，，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，，
∴四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、由，无法判定是平行四边形，故本选项符合题意.
故选：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．a=5，b=12，c=13 B．
C．∠B=50°，∠C=40° D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵a2+b2=52+122=169，c2=132=169
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵∠B=50°，∠C=40°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-40°=90°.
∴此三角形是直角三角形，故C不符合题意；
D、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°即3x+4x+5x=180°
解之：x=15°
∴∠C=5×15°=75°≠90°
∴此三角形不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理，可对A，B作出判断；利用三角形的内角和定理可对C，D作出判断。
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
作于E，于F，连接，交于点O，
∵两张纸条等宽，
∴．
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴四边形的面积为24cm2.
故选：C．
【分析】 根据题意先证出四边形是平行四边形， 作于E，于F，连接，交于点O，再由得平行四边形是菱形，再根据菱形的面积=对角线乘积的一半，即可得出答案．
7．某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如上表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（　　）
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 2 2 5 1
A．8，6 B．6，7 C．8，8 D．8，5
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵第5个和第6个数据都为8，
∴中位数为，
∵出现次数最多的是8，
∴众数为8.
故选：C．
【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数，先排序，再根据位置找出位于中间一位或两位的平均数为中位数，进行求解即可．
8．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、由可化简为，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、当时，则方程是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、由可变形为，是一元二次方程，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行判断即可．
9．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当y=2时，即，
解得，
∴A点坐标为，
所以当时，，
根据图形可得当x>1时不等式．
故选：B．
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象即可得出答案.
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
所以当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，
∴，
延长到，使，连接，
点D为的中点，
是的中位线，
，
要使AD最短，则B'C最短，
当时，长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据题意求出A、B点的坐标，进而求出， 延长到，使，连接，要使AD最短，则B'C最短，由已知可得AD为△ABC的中位线，进而得出答案.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求解即可．
12．小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是　 　元．
【答案】69
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
=20+25+24
=69（元）.
故答案为：69.
【分析】利用加权平均数的定义列式计算即可.
13．李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表.如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选　 　同学.
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 3.2 3.2 2
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵丁的方差小于丙，
∴丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁.
【分析】找到平均分最高的同学；在平均分最高的同学中比较方差，选择方差最小的.
14．对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是　 　．（填写所有正确的代号）
【答案】④
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①函数的图象经过一、二、四象限，故①错误；
②∵当时，，
∴不经过点，故②错误；
③两直线不平行，故③错误；
④当时，，当时，，
∴与坐标轴的交点为和，
∴该直线和两坐标轴围成的三角形面积为，故④正确，
综上可得：正确的有④.
故答案为：④．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系，可判断①；
求出时的函数值，可判断②；
根据一次函数的k值可判断③；
根据一次函数与坐标轴的交点，可判断④．
15．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为　 　．
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∵，两点在数轴上对应的数分别为，，
∴，
.
故答案为：8．
【分析】根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点B作交DC的延长线交于点F，
，
，，
，
∵，
，
∵，
，
∴∠BFC=∠BEA，
，
≌，
，，
∴，
，
，
∴，
.
故答案为．
【分析】过点B作交DC的延长线交于点F，根据AAS证明≌，则，，根据等式的基本性质可得，进而得出答案.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：．
【答案】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先判断根的情况，再利用公式法求解即可．
18．计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的混合运算法则进行化简即可求解．
19．已知一次函数的图象经过点（3，5）与（，）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由．
【答案】解：（1）设这个一次函数的解析式为（k≠0），
将点（3，5）与（，）代入中，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）点A（2，3）在这个函数的图象上，理由如下：
∵当x=2时，，
∴点A（2，3）在这个函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）设这个一次函数的解析式为（k≠0），把（3，5）与（ 4， 9）代入y=kx＋b中，即可得出答案；（2）求出x=2时y的值，即可作出判断．
20．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，．
（1）求的长；
（2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
答：的长为.
（2）解：，
，
（元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
（1）解：∵，，，
在中，由勾股定理得：，
答：的长为；
（2）解：地毯长为：，
已知楼梯宽，每平方米地毯35元，
∴地毯的面积为，
∴需要花费（元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
21．已知点在第一象限，且满足，点的坐标为，设的面积为．
（1）用含的解析式表示，写出的取值范围，并画出函数的图象；
（2）当点的横坐标为5时，的面积为多少？
（3）的面积能等于25吗？为什么？
【答案】（1）解：点的坐标是，
∴OA=6，
∵P点的坐标为，
，
点P在第一象限，，
，
，
，
，
，
∴，
点P在第一象限，
，
∴x的范围为：，
，
函数图象如图所示：
（2）解：当时，，
∴当点P的横坐标为5时，的面积为9；
（3）解：的面积不能等于25 ，理由如下：
由（1）知，
∵，
随x的增大而减小，
又时，，
当，
∴的面积不能等于25 ．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据，将代入，即可得到，根据条件确定x的取值范围即可，然后画出函数图象即可；
（2）将代入中即可；
（3）根据函数的单调性即可求证．
（1）解：和P点的坐标分别是、，
，
点P在第一象限，，
，
，
，
；
，
解得：；
又点P在第一象限，
，
即x的范围为：，
，
函数图象如图所示：；
（2），
∴当时，．
即当点P的横坐标为5时，的面积为9；
（3）的面积不能大于24．理由如下：
，，
随x的增大而减小，
又时，，
当．
即的面积不能大于24．
22．理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题．
东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料．
（1）设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果）
（2）的取值范围是______________；
（3）设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案．
【答案】（1）；；；
（2）
（3）解：∵，
∴
∵
∴，随的增大而增大，
∵，
∴当时，，
∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨，从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）设从东区往南区运吨肥料，
从东区往北区运吨肥料，
从西区往南区运吨肥料，
从西区往北区运吨肥料；
故答案为：；；；
（2）∵，
解得：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据运量不能为负数，建立不等式组，即可求解；
（3）先写出总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解.
（1）解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）：
东区 西区 合计
南区
北区
合计
∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料；
故答案为：；；；
（2）解：根据题意得：
，
解得：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得：
整理得：
∵，随的增大而增大，，
∴当时，，
∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
23．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
（1）当点P运动停止时，______，线段的长为______；
（2）①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）①；；；②
（3）解：∵ABCD是梯形，
∴，
∴以P，D，C，Q为顶点的四边形是平行四边形时，四边形就是平行四边形，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）点P走完全程AD的时间为，
点Q走完全程BC的时间为，
∴Q到达终点后两点都停止运动，即停止时，
可得.
故答案为：；；
（2）①由运动速度与时间的关系可得，，
∵，
∴.
故答案为：；；；
②∵，
因此有一个角是直角的平行四边形是矩形，即当四边形是平行四边形时，它就是矩形，
此时矩形对边相等，因此，
可得方程：，
解得.
【分析】（1）先分别算出点P、点Q运动到对应端点的总时间，即可得到两点停止运动的时间，进而求出的长度；
（2）①根据点的运动速度和时间，直接写出对应线段的代数式即可；②结合已知直角条件，可得当四边形为平行四边形时，它同时也是矩形，此时满足对边相等，据此列方程求解即可；
（3）根据题意可知PD与CQ平行，因此当以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，满足对边相等，据此列方程求解即可.
24．菱形与矩形都是特殊的平行四边形，将他们放在同图形是种有趣的结合，请你从知识关联的角度思考下列问题．
如图，菱形的对角线，相交于点，且，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形的周长为36，，
①求矩形的面积：
②求平行线与间的距离．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形.
（2）解：①∵四边形的周长为36，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴矩形的面积，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积66；
②过点O直线垂直于于点Q，交于点P，
∵四边形是菱形，
∴AB∥CD，
∴平行线与间的距离为，
在菱形中，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形性质得，，，再根据得四边形是平行四边形，然后根据即可得出结论；
（2）①设，，则矩形的面积为：，由四边形的周长为36得，则，再由勾股定理得，由此即可得出矩形的面积；
②过点O直线垂直于于点Q，交于点P，则平行线与间的距离为，证明和全等得，则，再由三角形的面积公式求出，即可得出平行线与间的距离．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）①解：设，，
∴矩形的面积为：，
∵四边形的周长为36，
∴，
∴，
∴，即，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积66；
②解：过点O直线垂直于于点Q，交于点P，如图所示：
∴平行线与间的距离为，
在菱形中，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
由三角形的面积公式得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接．
（1）当点F在第四象限时(如图1)，求证：．
（2）当点F落在矩形的某条边上时，求的长．
（3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：点为中点，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，
；
（2）解：，四边形是矩形，
，
当时，，此时点与点重合，
，
，
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
∴，
∴，
，
∴的长为6或.
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，，且，
是的中点，，
，
，
，，
，
或；
当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
在中，，
，
当四边形为平行四边形时，，
，
，，
在中，，
．
综上所述：点坐标为点或或或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据中点可得，再根据折叠的性质及等边对等角，得到，利用平行线的判定即可得证；
（2）当时，，此时点与点重合，当点与点重合时，利用勾股定理即可解答；
（3）当四边形为平行四边形时，，且，当四边形为平行四边形时，，当四边形为平行四边形时，，利用勾股定理即可解答．
（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
即，
解得，
；
综上，的长为6或；
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图②，当四边形为平行四边形时，，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
或；
如图③，当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
在中，，
；
如图④，当四边形为平行四边形时，，
，
，，
在中，，
．
综上，点坐标为点或或或．
1 / 1湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在等题卡中填涂符合题意的选项，本大题共大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（　　）
A． B．
C． D．
4．在四边形中，对角线、相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．a=5，b=12，c=13 B．
C．∠B=50°，∠C=40° D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
6．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若测得A，C两点之间的距离为，B，D两点之间的距离为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．某青年创业伙伴公司现有10名员工，每人年收入数据如上表，则他们年收入数据的众数与中位数分别为（　　）
年收入/万元 4 6 8 10
人数/人 2 2 5 1
A．8，6 B．6，7 C．8，8 D．8，5
8．下列方程是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，函数的图象与函数的图象交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C由点A沿x轴向右运动，连接，点D为的中点，在点C运动过程中，长的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
12．小明调查了班内20名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成统计图，那么这20名同学购买课外书的平均花费是　 　元．
13．李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表.如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选　 　同学.
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 3.2 3.2 2
14．对于一次函数的以下四个理解：①图象经过一、二、三象限；②点在该函数的图象上；③图象与直线平行；④图象与坐标轴围成的三角形面积为2．其中正确的结论是　 　．（填写所有正确的代号）
15．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为　 　．
16．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为12，则BE的长为　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．千法万法不如通法，公式法就是解一元二次方程的通法．请你用公式法解方程：．
18．计算：．
19．已知一次函数的图象经过点（3，5）与（，）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）点A（2，3）是否在这个函数的图象上，请说明理由．
20．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，．
（1）求的长；
（2）若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
21．已知点在第一象限，且满足，点的坐标为，设的面积为．
（1）用含的解析式表示，写出的取值范围，并画出函数的图象；
（2）当点的横坐标为5时，的面积为多少？
（3）的面积能等于25吗？为什么？
22．理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题．
东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料．
（1）设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果）
（2）的取值范围是______________；
（3）设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案．
23．如图，在四边形中，，，，，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P运动时间为t秒．
（1）当点P运动停止时，______，线段的长为______；
（2）①用含t的式子填空：______，______，______；
② t为何值时，四边形为矩形，求出t的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
24．菱形与矩形都是特殊的平行四边形，将他们放在同图形是种有趣的结合，请你从知识关联的角度思考下列问题．
如图，菱形的对角线，相交于点，且，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若四边形的周长为36，，
①求矩形的面积：
②求平行线与间的距离．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，B的坐标分别为，，点D为对角线中点，点E在x轴上运动，连接，把沿翻折，点O的对应点为点F，连接．
（1）当点F在第四象限时(如图1)，求证：．
（2）当点F落在矩形的某条边上时，求的长．
（3）是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式， 故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式， 故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式， 故本选项符合题意；．
故选：D．
【分析】根据最简二次根式的定义，先化简再判断即可．
2．【答案】B
【知识点】同类二次根式；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，故本选不符合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，故本选项不符合题意.
故选：B ．
【分析】根据二次根式的加减和乘除运算法则计算即可．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理的证明；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：根据图形可知，中间小正方形的边长为，外围大正方形的边长为c，
据此列面积等式：，
展开整理得，，
两边消去后可得：.
故选：A.
【分析】中间小正方形（边长为）的面积，等于大正方形（边长为c）的面积减去4个直角边分别为a、b的直角三角形的面积，进而得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】A、，，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、，，
∴四边形的对角线互相平分，
四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、由，无法判定是平行四边形，故本选项符合题意.
故选：D.
【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵a2+b2=52+122=169，c2=132=169
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，故A不符合题意；
B、∵a2=c2-b2，
∴a2+b2=c2，
∴此三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C、∵∠B=50°，∠C=40°
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-50°-40°=90°.
∴此三角形是直角三角形，故C不符合题意；
D、设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，
∵∠A+∠B+∠C=180°即3x+4x+5x=180°
解之：x=15°
∴∠C=5×15°=75°≠90°
∴此三角形不是直角三角形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理，可对A，B作出判断；利用三角形的内角和定理可对C，D作出判断。
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：由题意知，，，
∴四边形是平行四边形，
作于E，于F，连接，交于点O，
∵两张纸条等宽，
∴．
∵，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴四边形的面积为24cm2.
故选：C．
【分析】 根据题意先证出四边形是平行四边形， 作于E，于F，连接，交于点O，再由得平行四边形是菱形，再根据菱形的面积=对角线乘积的一半，即可得出答案．
7．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵第5个和第6个数据都为8，
∴中位数为，
∵出现次数最多的是8，
∴众数为8.
故选：C．
【分析】根据一组数据中出现次数最多的是众数，先排序，再根据位置找出位于中间一位或两位的平均数为中位数，进行求解即可．
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B、由可化简为，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、当时，则方程是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、由可变形为，是一元二次方程，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”进行判断即可．
9．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：当y=2时，即，
解得，
∴A点坐标为，
所以当时，，
根据图形可得当x>1时不等式．
故选：B．
【分析】先利用正比例函数解析式确定A点坐标，然后观察函数图象即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
所以当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，
∴，
延长到，使，连接，
点D为的中点，
是的中位线，
，
要使AD最短，则B'C最短，
当时，长最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据题意求出A、B点的坐标，进而求出， 延长到，使，连接，要使AD最短，则B'C最短，由已知可得AD为△ABC的中位线，进而得出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求解即可．
12．【答案】69
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
=20+25+24
=69（元）.
故答案为：69.
【分析】利用加权平均数的定义列式计算即可.
13．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵丁的方差小于丙，
∴丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁.
【分析】找到平均分最高的同学；在平均分最高的同学中比较方差，选择方差最小的.
14．【答案】④
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：①函数的图象经过一、二、四象限，故①错误；
②∵当时，，
∴不经过点，故②错误；
③两直线不平行，故③错误；
④当时，，当时，，
∴与坐标轴的交点为和，
∴该直线和两坐标轴围成的三角形面积为，故④正确，
综上可得：正确的有④.
故答案为：④．
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系，可判断①；
求出时的函数值，可判断②；
根据一次函数的k值可判断③；
根据一次函数与坐标轴的交点，可判断④．
15．【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∵，两点在数轴上对应的数分别为，，
∴，
.
故答案为：8．
【分析】根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点B作交DC的延长线交于点F，
，
，，
，
∵，
，
∵，
，
∴∠BFC=∠BEA，
，
≌，
，，
∴，
，
，
∴，
.
故答案为．
【分析】过点B作交DC的延长线交于点F，根据AAS证明≌，则，，根据等式的基本性质可得，进而得出答案.
17．【答案】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先判断根的情况，再利用公式法求解即可．
18．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】根据实数的混合运算法则进行化简即可求解．
19．【答案】解：（1）设这个一次函数的解析式为（k≠0），
将点（3，5）与（，）代入中，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为；
（2）点A（2，3）在这个函数的图象上，理由如下：
∵当x=2时，，
∴点A（2，3）在这个函数的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）设这个一次函数的解析式为（k≠0），把（3，5）与（ 4， 9）代入y=kx＋b中，即可得出答案；（2）求出x=2时y的值，即可作出判断．
20．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
答：的长为.
（2）解：，
，
（元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【分析】（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
（1）解：∵，，，
在中，由勾股定理得：，
答：的长为；
（2）解：地毯长为：，
已知楼梯宽，每平方米地毯35元，
∴地毯的面积为，
∴需要花费（元），
答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶．
21．【答案】（1）解：点的坐标是，
∴OA=6，
∵P点的坐标为，
，
点P在第一象限，，
，
，
，
，
，
∴，
点P在第一象限，
，
∴x的范围为：，
，
函数图象如图所示：
（2）解：当时，，
∴当点P的横坐标为5时，的面积为9；
（3）解：的面积不能等于25 ，理由如下：
由（1）知，
∵，
随x的增大而减小，
又时，，
当，
∴的面积不能等于25 ．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据，将代入，即可得到，根据条件确定x的取值范围即可，然后画出函数图象即可；
（2）将代入中即可；
（3）根据函数的单调性即可求证．
（1）解：和P点的坐标分别是、，
，
点P在第一象限，，
，
，
，
；
，
解得：；
又点P在第一象限，
，
即x的范围为：，
，
函数图象如图所示：；
（2），
∴当时，．
即当点P的横坐标为5时，的面积为9；
（3）的面积不能大于24．理由如下：
，，
随x的增大而减小，
又时，，
当．
即的面积不能大于24．
22．【答案】（1）；；；
（2）
（3）解：∵，
∴
∵
∴，随的增大而增大，
∵，
∴当时，，
∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨，从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）设从东区往南区运吨肥料，
从东区往北区运吨肥料，
从西区往南区运吨肥料，
从西区往北区运吨肥料；
故答案为：；；；
（2）∵，
解得：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据运量不能为负数，建立不等式组，即可求解；
（3）先写出总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解.
（1）解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）：
东区 西区 合计
南区
北区
合计
∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料；
故答案为：；；；
（2）解：根据题意得：
，
解得：；
故答案为：；
（3）解：由题意可得：
整理得：
∵，随的增大而增大，，
∴当时，，
∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元．
23．【答案】（1）；
（2）①；；；②
（3）解：∵ABCD是梯形，
∴，
∴以P，D，C，Q为顶点的四边形是平行四边形时，四边形就是平行四边形，
∴，
∴，
∴．

【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）点P走完全程AD的时间为，
点Q走完全程BC的时间为，
∴Q到达终点后两点都停止运动，即停止时，
可得.
故答案为：；；
（2）①由运动速度与时间的关系可得，，
∵，
∴.
故答案为：；；；
②∵，
因此有一个角是直角的平行四边形是矩形，即当四边形是平行四边形时，它就是矩形，
此时矩形对边相等，因此，
可得方程：，
解得.
【分析】（1）先分别算出点P、点Q运动到对应端点的总时间，即可得到两点停止运动的时间，进而求出的长度；
（2）①根据点的运动速度和时间，直接写出对应线段的代数式即可；②结合已知直角条件，可得当四边形为平行四边形时，它同时也是矩形，此时满足对边相等，据此列方程求解即可；
（3）根据题意可知PD与CQ平行，因此当以P、D、C、Q为顶点的四边形是平行四边形时，满足对边相等，据此列方程求解即可.
24．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形.
（2）解：①∵四边形的周长为36，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴矩形的面积，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积66；
②过点O直线垂直于于点Q，交于点P，
∵四边形是菱形，
∴AB∥CD，
∴平行线与间的距离为，
在菱形中，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据菱形性质得，，，再根据得四边形是平行四边形，然后根据即可得出结论；
（2）①设，，则矩形的面积为：，由四边形的周长为36得，则，再由勾股定理得，由此即可得出矩形的面积；
②过点O直线垂直于于点Q，交于点P，则平行线与间的距离为，证明和全等得，则，再由三角形的面积公式求出，即可得出平行线与间的距离．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）①解：设，，
∴矩形的面积为：，
∵四边形的周长为36，
∴，
∴，
∴，即，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积66；
②解：过点O直线垂直于于点Q，交于点P，如图所示：
∴平行线与间的距离为，
在菱形中，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
由三角形的面积公式得：，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．【答案】（1）证明：点为中点，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，
；
（2）解：，四边形是矩形，
，
当时，，此时点与点重合，
，
，
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
∴，
∴，
，
∴的长为6或.
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
当四边形为平行四边形时，，且，
是的中点，，
，
，
，，
，
或；
当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
在中，，
，
当四边形为平行四边形时，，
，
，，
在中，，
．
综上所述：点坐标为点或或或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据中点可得，再根据折叠的性质及等边对等角，得到，利用平行线的判定即可得证；
（2）当时，，此时点与点重合，当点与点重合时，利用勾股定理即可解答；
（3）当四边形为平行四边形时，，且，当四边形为平行四边形时，，当四边形为平行四边形时，，利用勾股定理即可解答．
（1）证明：由折叠可知，，
点为中点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，，此时点与点重合，
，
，四边形是矩形，
，
；
如图①，当点与点重合时，，，
在中，，
即，
解得，
；
综上，的长为6或；
（3）解：存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．
如图②，当四边形为平行四边形时，，且，
，，
，
是的中点，，
，
，
或；
如图③，当四边形为平行四边形时，，
，
，
，
在中，，
；
如图④，当四边形为平行四边形时，，
，
，，
在中，，
．
综上，点坐标为点或或或．
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