资源简介

2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第5章 特殊平行四边形 单元测试·拔高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等
2．如图，线段为等腰的底边，矩形的对角线与相交于点O，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知四边形的两条对角线、相交于点，且互相平分．那么下列条件中不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将四根长度相等的木条钉成一个四边形的木框架，拉动这个木框架，使它形状改变．如图①，当时，测得．如图②，当时，则的长为（ ）
A． B．3 C．6 D．
5．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A． B． C．3 D．
6．如图，平行四边形的两条对角线、相交于点O，，，，则四边形是的周长为（ ）
A．24 B．16 C．20 D．12
7．如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，，若，则下列角中与相等的角是（ ）
①；②；③
A．① B．①② C．①③ D．①②③
8．四边形是菱形，对角线，，于点H，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四个全等直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，．已知，正方形的面积为10，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．2 B．2.5 C．4.5 D．5
10．如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有___．
12．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____．
13．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____．
14．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______．
15．如图，在梯形中，，，点为边上一点，连接、，已知，，，，那么的长为_____ ．
16．对于四边形，给出下列4组条件：①；②，；③；④．其中一定能得到“四边形是矩形”的条件有___________．（填给定条件的序号）
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在正方形中，M为的中点，，
(1)求证：平分；
(2)连接，若，求的长；
18．如图，在菱形中，对角线，交于点，，，连接，交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
19．图1是某型号挖掘机，该挖掘机由基座、主臂和伸展臂构成．图2是其在某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．小明作于点，延长交于点，经测量发现，基座高度为，，主臂比长．
(1)求主臂的长；
(2)若，求的长．
20．如图，的对角线相交于是等边三角形，且．
(1)求的面积．
(2)若点、分别是的中点，连接，求的长．
21．如图，在中，已知对角线和相交于点O， 过点A作于点E，延长到点F，使， 连接， ．
(1)求证： 四边形是矩形；
(2)若， ， ， 求的长．
22．如图，在菱形中，，对角线，的交点为，是对角线上一动点，点在的延长线上，且．
(1)如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“>”“<”或“=”）
(2)如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长．
23．综合实践：图1是一种阳台户外伸缩晾衣架，侧面示意图如图2所示，是由支架组成．其中M、N是晾衣架的墙面固定点，点是MN的中点，活动端点只能在线段NQ上自由移动，随着点的移动，晾衣架也随着整体前后移动．已知，图2中和中间三个全等的菱形边长相等（宽度忽略不计）．
【问题提出】
(1)当点移动到点的位置时，点A、C之间的距离是__________cm；
【问题探究】
(2)当活动端点与点的距离时，求此时晾衣架端点到墙壁的距离；
【问题解决】
(3)由于支架宽度的限制，连接点的距离不小于4cm，求晾衣架活动端点的最大可移动距离．（结果保留根号）
24．如图，点是边长为4的正方形的边上任意一点，过点作于点，过点作于点，连接．

(1)如图1，若点是的中点，求的长；
(2)如图2，当点在边上运动时（不与、重合），请写出线段、、的关系并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C A A C D D A A
1．C
【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，只需对比两者性质，找出矩形特有而平行四边形不具有的性质即可
【详解】解：∵平行四边形的性质为：对角相等，对边相等，对角线互相平分，矩形作为特殊的平行四边形，也具有以上三个性质，
∴选项A，B，D都是矩形和平行四边形共有的性质，排除；
∵矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等，
∴对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质
2．D
【分析】先根据矩形对角线相等且互相平分求出的长，再根据等腰三角形底边的定义得出即可求解．
【详解】解：矩形的对角线与相交于点O，，
，
线段为等腰的底边，
．
3．C
【分析】由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理逐一判断各选项即可．
【详解】解：四边形的对角线、相交且互相平分，
四边形是平行四边形．
选项A，，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意；
选项B，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可判定四边形为矩形，不符合题意；
选项C，时，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定四边形为矩形，符合题意；
选项D，，，平行四边形对角线互相平分，可得，，，可推出平行四边形是矩形，不符合题意．
综上，答案选C．
4．A
【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求出木条的长度，再根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：由题意可知，四边形的四条边长相等，
∴四边形是菱形，
如图①，连接，
∵在图①中，，
∴四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，解得（负值舍去），
如图②，连接，
∵在图②中，四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
5．A
【分析】0正方形对角线的交点，取正方形对角线的交点Q，则经过P、Q的直线把它剪成了面积相等的两部分，令直线与直线交于点，先后证明，，得出，在中，利用勾股定理求出，即可得解．
【详解】解：如图，标记四边形顶点，取正方形对角线的交点Q，则经过P、Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，令直线与直线交于点，
由题意可得，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
在中，，，，
，
，即剪痕的长度是．
6．C
【分析】本题考查了菱形的判别与性质，平行四边形的性质，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，运用勾股逆定理证明，则四边形是菱形，即可作答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
则，
∵，
∴
即，
∴，
即，
∴四边形是菱形，
∴菱形的周长是，
故选：C
7．D
【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
先根据平行四边形及邻边相等的条件判定图形为菱形，再利用菱形性质、等腰三角形性质等，逐一分析与相等的角．
【详解】解：四边形是平行四边形，且
四边形是菱形
，，，，
，
，
，故①符合题意，
，
，故②符合题意，
，
，
又，，
，
，
∴，
，故③符合题意，
故选：D．
8．D
【分析】根据勾股定理，得，利用菱形面积的两种表示法建立等式求解即可．
【详解】解：因为四边形是菱形，对角线，，
，，，
，
，
，
，
解得．
9．A
【分析】由题意可得，设，则，由勾股定理可得，由题意可得，，即可得出，进而得出，由图形可得，则，由此计算即可得出结果．
【详解】解：∵正方形的面积为10，
∴，
设，则，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
由题意可得：，，
∴，
∴，
由图形可得，
∴，
∴阴影部分的面积之和为
．
10．A
【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标．
【详解】解：∵四边形是矩形，点，
∴，，
根据折叠的性质可得，，
在中，由勾股定理得： ，
∴，即点坐标为，
设直线的解析式为，
代入、得： ，解得，
即直线解析式为，
∵是直线与轴的交点，令，得，
∴的坐标为．
11．①②③④
【分析】①先证得四边形是矩形，再证得是正方形；
②由，可知，由，可知，从而有；
③由，，即可得，
④，当时，最小，即最小，由的面积可得的最小值为．
【详解】解：①∵正方形的边长为1，是对角线上一动点，
∴，，，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，故①正确；
②如下图，四边形是矩形，连接，，
在与中，
,
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，故③正确；
④∵，
∴最小时，最小，
∴当时，最小，
在中，，
∵，
∴，
∴，故④正确．
12．
【分析】连接，由正方形可得，，再可得四边形是矩形，则的最小值即为的最小值，当时，最短，利用等面积法求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵正方形的边长为8，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴的最小值即为的最小值，
∵P是对角线上一点，
∴当时，最短，此时，
∴，
∴的最小值为．
13．24
【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可．
【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，
由题意，得：，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∴．
14．/72度
【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：根据作图可得，
∴四边形是菱形，
则，
又∵，
．
15．5
【分析】设，则，利用勾股定理可得，，则，而，即可建立方程求解．
【详解】解：如图所示，过B作于F点，设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴．
16．①
【详解】解：①，可得每个角的度数为，四个角都是直角的四边形是矩形，因此四边形是矩形，故①正确．
②，，可得 ，即，无法推出四个角都是直角，例如等腰梯形可满足该条件，但不是矩形，因此四边形不一定是矩形，故②错误．
③，，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，只能判定该四边形为平行四边形，平行四边形不一定是矩形，因此四边形不一定是矩形，故③错误．
④，可得 ，无法保证四个角都是直角，因此四边形不一定是矩形，故④错误．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）取的中点F，连接，根据正方形的性质，结合中点的定义得到，进而，根据同角的余角相等得到，即可证明，得到，从而，得证结论；
（2）先根据中点的定义得到，再根据勾股定理在中求出，再在中求出即可．
【详解】（1）证明：取的中点F，连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵点F是的中点，点M是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∴平分．
（2）解：如图，
∵点M是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意易得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可知，然后问题可求证；
（2）由题意易得，然后可得，则有，，进而问题可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
四边形是平行四边形，
在菱形中，，
，
四边形是矩形；
（2）解：，
，
四边形是矩形，
，
∵四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
∴，
∵，
，，
，，
四边形的面积．
19．(1)
(2)
【分析】（1）可证明四边形是矩形，得到，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案；
（2）根据（1）利用勾股定理求出的长，再求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，
∴
∴四边形是矩形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
答：主臂的长为
（2）解：由（1）得，，
在中，由勾股定理得，
∴；
答：的长为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积
（2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
．
，
，
∴四边形是矩形．
，
，
；
（2）解：连接，
∵矩形，
∴，
∵点F是的中点，
，
是等边三角形，点E是的中点，
，
，
∴，
，
，
∴是等边三角形，
．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）求解，，，，证明，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
点是的中点，
∴．
22．(1)=
(2)，见解析
(3)15或9
【分析】（1）利用菱形性质、 推出是等边三角形；结合P与O重合、，得到等腰，算出底角；再由菱形对角线平分内角，得，等角对等边证．
（2）先由菱形和条件，判定为等边三角形；用截长补短法在上截取，构造等边；利用等量代换证出两组边相等、两角都是，用SAS证三角形全等，推出．
（3）先由菱形边长8、，得等边，求出；截取线段构造等边，造出等角和相等线段；然后分N在延长线上、N在线段上两种情况；利用角的和差找相等角，证全等，求出，再算出结果．
【详解】（1）解： 四边形是菱形，，
，菱形对角线互相垂直平分，
是等边三角形，
，，
是中点，
，
，点与点重合，
，
，
是等腰三角形，
，
是的外角，
，
，
菱形对角线平分一组内角，
，
，
；
（2） 四边形是菱形，，
，，
为等边三角形，
，
在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
（3） 四边形是菱形，边长为，，
是等边三角形，
，
是中点，
，
在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
①如图，点在线段的延长线上．
，点在延长线上，
，
，，
，
，，
在和中
，
，
，
如图，点在线段上．
菱形边长为，是等边三角形，
，
，点在线段上，
，
为等边三角形，
，
，
又，
，
，
，，
，
，
在和中
，
，
．
23．(1)16
(2)72cm
(3)
【分析】（1）利用已知条件证得，从而得到，再利用中点的性质即可解出答案；
（2）利用菱形的性质和勾股定理求出的长度，再根据证得四边形是平行四边形，所以，同理证得，即可求出答案；
（3）连接点的距离不小于4cm，所以直接将代入，利用勾股定理解出答案．
【详解】（1）解：连接，相交于点，
，
∵和中间三个全等的菱形边长相等，
∴，
在和中，，
∴，
∵，为的中点，
∴，
当点移动到点的位置时，
．
（2）解：连接，
由题意得，．
∵四边形是菱形，
，
．
．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，故，且中间的三个菱形边都相等，对应角也相等，则都是全等的菱形，
同理可得，
．
答：此时晾衣架端点到墙壁的距离是72cm．
（3）解：当时，，
．
．
．
答：晾衣架活动端点的最大可移动距离为．
24．(1)
(2)，理由见解析
【分析】（1）利用三角形面积公式求三角形的高，再证明，等量代换求解即可；
（2）在上取一点，使，连接，利用三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理证明即可；
【详解】（1）解：当点是的中点时，如图1所示：
四边形是正方形，且边长为4，
，，
点是的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
，
由三角形的面积公式得：，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：.
理由如下：
当点在边上运动时（不与、重合）时，在上取一点，使，连接，如图2所示：
四边形是正方形，
，，
在中，.
，是直角三角形，
在中，.
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，即.
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
；(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第5章 特殊平行四边形
单元测试·拔高卷 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题 1 0.84 矩形性质理解；利用平行四边形的性质求解
2 0.85 根据矩形的性质求线段长；等腰三角形的定义
3 0.65 添一条件使四边形是矩形；证明四边形是矩形
4 0.65 利用菱形的性质求线段长；根据正方形的性质与判定求线段长；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
5 0.66 勾股定理与网格问题；正方形性质理解；利用平行四边形的性质求解
6 0.65 利用勾股定理的逆定理求解；根据菱形的性质与判定求面积；利用平行四边形的性质求解
7 0.65 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据菱形的性质与判定求角度；等边对等角
8 0.65 利用菱形的性质求线段长；利用菱形的性质求面积；用勾股定理解三角形
9 0.65 根据正方形的性质求面积；用勾股定理解三角形
10 0.65 一次函数与几何综合；折叠问题； 求矩形在坐标系中的坐标；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题 11 0.65 全等三角形综合问题；灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）；根据正方形的性质求线段长；根据正方形的性质证明
12 0.6 根据矩形的性质与判定求线段长；根据正方形的性质求线段长；垂线段最短；用勾股定理解三角形
13 0.65 根据菱形的性质与判定求面积
14 0.65 根据菱形的性质与判定求角度；作线段(尺规作图)
15 0.65 根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
16 0.65 证明四边形是矩形
三、知识点分布
三、解答题 17 0.6 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
18 0.56 证明四边形是矩形；利用菱形的性质求面积；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
19 0.68 根据矩形的性质求线段长；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
20 0.65 根据矩形的性质求线段长；根据矩形的性质与判定求角度；利用二次根式的性质化简；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的性质；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
21 0.52 斜边的中线等于斜边的一半；证明四边形是矩形；化为最简二次根式；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
22 0.52 全等三角形综合问题；用SAS证明三角形全等（SAS）；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；利用菱形的性质求线段长；等边三角形的判定和性质
23 0.65 用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长；利用平行四边形的判定与性质求解
24 0.46 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形

展开更多......

收起↑