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2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第5章 特殊平行四边形 单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行 B．对边相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（ ）
A．2 B． C． D．3
3．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（ ）
A． B． C． D．
4．四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，四边形是矩形
B．当时，四边形是菱形
C．当平分时，四边形是菱形
D．当时，四边形是正方形
5．如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（ ）
A． B． C．4 D．
6．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知四边形是菱形，四边形为矩形，E为矩形对角线的交点．若平分，，矩形的面积为（ ）
A．18 B． C． D．
8．小明手工制作矩形木板，下列测量方法能确定其为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形玻璃窗，是边上一点，于点，点、分别是、的中点，工人师傅测量得到，，则的周长为（ ）米．
A．6 B．7 C．8.5 D．12
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．如图，在四边形中，，，，．点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以3个单位/秒的速度向点B运动，当时运动停止，此时______．
12．如图，在矩形中，，是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，当时，则的长是___________．
13．如图，在中，，，对角线，交于点，点是的中点，，则的周长为______．
14．如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可）
15．如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形．
16．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，的平分线交于点，，．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)若，且，求四边形的面积．
18．小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内．
(1)求风筝离地面的垂直高度；
(2)如图2，若想要让风筝的离地高度再上升至处，在余线剩的情况下，请判断小明能否成功，并说明理由．
19．如图1，在中，，，，，相交于点O，且，，连接．
(1)求的长．
(2)求证：．
(3)如图2，设与相交于点P，连接，求的长．
20．如图，在中，， 是 的角平分线，点 在 的延长线上且，连接，过点 作 交 的延长线于点．
(1)判断四边形 的形状，并说明理由；
(2)若，，求 的长．
21．如图，在中，，为的中点，，，连接交于点．
(1)证明：四边形为菱形．
(2)，面积为11，，求的长度．
22．如图1：正方形中，点E、F分别在边上，，连接交于点O．
(1)求证：；
(2)如图2，在图1的基础上，过点E作的垂线，与正方形的外角的角平分线交于N，连接，求证：四边形是平行四边形；
(3)在（2）的条件下，连接，若四边形BENF的面积是25，，求的长．
23．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．
(1)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(2)当t为何值时，？为什么？
24．已知正方形的边长为，点为上一点，连接．
(1)如图，过点作于点，交于点，连接，，若点为中点，求四边形的面积；
(2)如图，点，分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点，过点作于点，连接，若，求线段的长；
(3)如图，点是边上的一个动点，，过点作于点，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D A D C B A
1．D
【分析】平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角线互相平分．矩形是特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有对角线相等，四个角都是直角的特有性质．
【详解】解：对边平行，对边相等，对角线互相平分都是平行四边形和矩形共有的性质，故A，B，C不符合要求．
对角线相等是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质，故D符合要求．
2．B
【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比．
【详解】解：设，
长方形的长与宽比值为，
，
由折叠可知， ，，，
，
四边形为正方形，
，，
∵长方形
∴
∴，
∴点共线，
∴，
同理可得，三点共线，
由折叠可得，，
∴
长与宽的比值为．
3．B
【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解．
【详解】解：如图所示：
三个边长分别是3，4，5的正方形，
，，，
，，
，
()，
，
则，
正方形的边长为4，
，
即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4，
同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为，
则图中阴影部分的面积和为．
故选：B．
4．D
【分析】本题根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断，找出说法错误的选项即可．
【详解】解：A、，
根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，故说法正确，不符合题意；
B、，
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意；
C、平分，∴，
在平行四边形中，，
，
，
，
根据邻边相等的平行四边形是菱形可得，四边形是菱形，故说法正确，不符合题意；
D、，
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得，四边形是矩形，不一定是正方形，故说法错误，符合题意．
5．D
【分析】先证明四边形是菱形得到，再用勾股定理求出，从而求得，再用勾股定理求即可．
【详解】∵菱形的对角线、相交于点，
∴，
又∵点、分别为、的中点，
∴，
又∵即，
∴四边形是菱形，
又∵四边形的周长为，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即菱形的边长为．
6．A
【分析】先根据菱形的性质得，利用得到为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
，
，
，
，
，
．
7．D
【分析】利用菱形的性质结合角平分线的定义求得，推出，利用矩形的性质求得，利用勾股定理求得，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴矩形的面积为．
8．C
【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合各选项中的测量数据进行分析即可．
【详解】解：A．只有两个对角是直角，无法判定四边形是矩形，故本选项错误；
B．只有两个邻角是直角，只能说明左右两边平行，该四边形可能是直角梯形，故本选项错误；
C．由底边两个角是，对边都等于，得出对边平行且相等，
该四边形是平行四边形．
又有一个角是，
该四边形是矩形，故本选项正确；
D．只有左边长、上边长及两个底角，无法确定右边长度，可能是直角梯形，故本选项错误．
9．B
【分析】根据矩形的性质可知，结合，可证明四边形是平行四边形，所以，所以，再根据矩形的性质证明，可得，即可求得答案．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
．
10．A
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
且、分别是、的中点，
∴在和中，
，，
∵，，
∴，，
又∵，
∴在中，，
∴，
∴的周长为．
11．260
【分析】如图，过作于，过作于，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，，证明，设，，设运动时间为，求解，证明，再进一步可得答案.
【详解】解：如图，过作于，过作于，连接，，
∵，，
∴，
∴四边形，四边形是矩形，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴设，，
∴，
设运动时间为，
∴，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴，，，，
∴，
∴.
12．
【分析】取的中点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而可得四边形是菱形，根据矩形的性质可得，则四边形是正方形，进而证明四边形是正方形，即可求解．
【详解】解：取的中点，连接，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴四边形是菱形，
又∵四边形是矩形，则
∴四边形是正方形，
∴在上，且
如图所示，
∴
∴四边形是矩形，
∵
∴四边形是正方形，，，则重合，
∴
13．
12
【分析】根据菱形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，证明四边形是菱形得，，根据直角三角形斜边中线的性质得，进而可求出的周长．
【详解】解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴的周长为：．
故答案为：12．
14．
【详解】解：当 时，四边形是菱形；
，、、、分别是线段、、、的中点，
则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，
，，
当时，
成立，
则四边形是菱形．
15．，（答案不唯一）
【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形．
【详解】解：，（答案不唯一），
如图，连接，
∵ 在中，分别是的中点，
∴，，
同理，在中，分别是的中点，
∴，且，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
当，平行四边形有一个直角，即成为矩形．
16．
【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解．
【详解】解：设点B的坐标为，其中，
四边形是长方形，点、在x轴上 ，
轴、轴、轴，
，
点C的纵坐标为 ，
，
，
点C的横坐标为，
点C的坐标为，
将点代入得：，
解得．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可；
（2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：连接，如图，
∵，
∴菱形形是正方形，
∵，
∴，
∴四边形的面积为．
18．(1)
(2)风筝的离地高度能再上升至处，理由见解析
【分析】（1）作交于点，证明四边形是矩形，由矩形性质得出，，再结合勾股定理即可得解；
（2）假设风筝的离地高度能再上升至处，利用勾股定理求出，再结合无理数的估算即可判断该情况能否成立．
【详解】（1）解：作交于点，
由题意得，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
故风筝离地面的垂直高度为；
（2）解：能；理由如下：
假设风筝的离地高度能再上升至处，
此时，
，
中，，
，
，
即，
故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处．
19．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了菱形的性质及判定，矩形的性质及判定，勾股定理，解题关键是熟练掌握特殊四边形的判定及性质．
（1）由条件先证四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理，即可求解；
（2）由条件先证四边形是矩形，再利用对角线相等即可证明；
（3）过点D作于点H，通过菱形的等面积法求出，再利用勾股定理求．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形．
由（1）可知四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
∴，
∴．
（3）如图，过点D作于点H，
∴，
∵菱形的面积，
∴，
∴解得，
在中，由勾股定理，得，
由（2）可得四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，．
20．(1)是菱形；理由见解析
(2)
【分析】（1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证；
（2）由题意得是等边三角形，根据即可求解．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解∵四边形是菱形；
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，即可得出四边形为菱形；
（2）设，，在中，再通过变形解答即可．
【详解】（1）证明：，
∴四边形是平行四边形
在中
，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：设，
在中
，且
①
，且
②
得
即
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明即可；
（2）在上截取，连接，根据题意推得，根据等边对等角可得，推得，根据垂直的性质可得，，推得，根据全等三角形的判定和性质可得，结合（1）中结论推得，根据平行线的判定可得，根据平行四边形的判定即可证明；
（3）根据平行四边形的面积可得，求得，，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，如图：
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
又由（1）可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（3）解：如图：
∵四边形是平行四边形，且面积是25，，
故，
∴，
∵正方形中，，
∴，
在中，．
23．(1)
(2)或，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可；
（2）分当点在点左侧时和当点在点右侧时两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，
∴，，
∴当时，四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴当t为6时，四边形是平行四边形；
（2）解：当或时，，理由如下：
作于点，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
当时，，
分2种情况：
①当点在点左侧时，则，解得；
②当点在点右侧时，则，解得；
综上：当或时，.
24．(1)
(2)
(3)，
【分析】（），可得 ，再根据解答即可求解；
（）延长交于点，利用折叠的性质可得，，， ，即得， ，设，则，利用勾股定理得，即得，，再根据得，得到，最后利用勾股定理解答即可求解；
（）延长交的延长线于点，连接，可证，得到，进而得到，即得到，由，，可知当点三点共线时，的值最小，的最小值，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质可得，即得，，得到，最后根据解答即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，边长为，
∴，，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，
由折叠得，，，，，
∴，
∴，
设 ，则，
在 中，∵，
∴，
解得，
∴，
∵于点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交的延长线于点，连接，则，
∵于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即点是的中点，
∵，
∴，
∵，，
∴当点三点共线时，的值最小，此时的最小值，如图，
过点作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
解得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即此时四边形的面积为．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
第5章 特殊平行四边形
单元测试·提高 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题 1 0.85 矩形性质理解；利用平行四边形的性质求解
2 0.65 折叠问题；根据正方形的性质与判定求线段长；二次根式的混合运算
3 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求面积
4 0.75 证明四边形是矩形；证明四边形是菱形；证明四边形是正方形
5 0.65 根据菱形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
6 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；利用菱形的性质证明；直角三角形的两个锐角互余；等边对等角
7 0.65 根据矩形的性质求线段长；利用菱形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
8 0.65 矩形的判定定理理解
9 0.65 利用矩形的性质求角度；利用矩形的性质证明；证明四边形是平行四边形
10 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
二、填空题 11 0.52 根据矩形的性质与判定求线段长；运用完全平方公式进行运算；（特殊）平行四边形的动点问题；用勾股定理解三角形
12 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据矩形的性质求线段长；根据正方形的性质与判定求线段长
13 0.65 斜边的中线等于斜边的一半；根据菱形的性质与判定求线段长；等边三角形的判定和性质
14 0.65 与三角形中位线有关的证明；添一个条件使四边形是菱形
15 0.65 与三角形中位线有关的证明；添一条件使四边形是矩形；证明四边形是平行四边形
16 0.65 一次函数与几何综合； 求矩形在坐标系中的坐标
三、知识点分布
三、解答题 17 0.65 证明四边形是菱形；根据正方形的性质与判定求面积
18 0.62 根据矩形的性质与判定求线段长；求一个数的算术平方根；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
19 0.65 根据矩形的性质与判定求线段长；利用菱形的性质求线段长；根据菱形的性质与判定求线段长；根据菱形的性质与判定求面积；用勾股定理解三角形
20 0.65 证明四边形是菱形；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
21 0.52 斜边的中线等于斜边的一半；通过对完全平方公式变形求值；证明四边形是菱形；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
22 0.63 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
23 0.52 几何问题(一元一次方程的应用)；根据矩形的性质与判定求线段长；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
24 0.42 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；折叠问题；三角形三边关系的应用；根据正方形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形

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