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七年级数学下册期末考试浙教版2024【浙江专用】
压轴解答题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图1，已知直线，，射线从出发，绕点M以每秒a度的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；射线从出发，绕点N以每秒b度的速度按逆时针方向旋转，到达后停止运动，此时也同时停止运动，其中a，b满足方程组．
(1)求a，b的值；
(2)若先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为t，当运动过程中时，求t的值；
(3)如图2，若与同时开始转动，在第一次到达之前，与交于点P．过点P作于点P，交直线于点Q，则在运动过程中，若设的度数为m，请求出的度数（结果用含m的代数式表示）．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，已知a∥b，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，与交于点E．
(1)当，，求的度数；
(2)如图2，平分交于点F，平分交于点G，
①若，，求的度数；
②当，求的度数（用含α的式子表示）；
(3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，设为，为，为，则之间的数量关系是________．
3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，、和被所截，已知，平分交于点G．
(1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由；
(2)如图2，已知．
①若，，求的度数；
②试探索、与之间的数量关系．
4．（24-25七年级下·浙江金华·期末）一副三角板如图1所示摆放，其中，，，，且点，在直线上，点在直线上．
(1)将三角板向右平移，如图2，当点落在线段上时，求的度数．
(2)保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，平行时，求所有满足条件的的值．
(3)现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图4，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，请直接写出满足条件的值．
5．（24-25七年级下·浙江台州·期末）在生产生活中，经常需要把两种溶液进行混合，得到新的溶液．例如，把咸淡不同的两碗汤混合；在已有盐水中加水配制生理盐水等等．
(1)要用含盐的盐水克加水配制含盐的生理盐水，需要加水多少克？
(2)用咸淡程度不同的两碗汤甲和乙混合（甲汤比乙汤咸），得到丙汤．
请根据生活经验比较甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度：
请设出必要的字母，用代数式表示甲汤、乙汤、丙汤的咸淡程度，通过计算证明中的结论．
6．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）如图，将两个直角三角尺作如下摆放，，直线过点，在直线上，平分．
(1)求的度数．
(2)试判断与的位置关系，并说明理由．
(3)将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，当旋转一周时，整个运动停止．当与的任意一边平行时，求出所有满足条件的的值．
7．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知．
小滨：的值始终等于1．
小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2．
(1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由．
(2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）．
（i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）；
根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________．
（ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由．
8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接．
(1)求证：．
(2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数．
(3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）．
9．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）综合实践：如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
如何设计运动会奖品购买方案及抵扣方式？
素材1 某校运动会准备购买排球和篮球作为奖品，已知篮球的单价比排球的单价贵20元，用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍．
素材2 学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个．
素材3 学校花费1680元后，商家赠送若干张抵扣券（满100元抵扣20元，每件商品限用1张），学校准备花费1260元再次购买这种篮球和排球，其中购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是两种球总数的．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当的方法，求出篮球与排球的单价．
任务2 求商品的数量 利用素材2，求出该校花费1680元购买的篮球和排球的数量，
任务3 确定抵扣方式 基于素材3，求出排球中使用抵扣券的数量．
10．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）【知识链接】
对于三角形中的重要结论“在同一个三角形中，等边对等角”，我们可以构造全等三角形来证明．如图1，在中，已知，可证，蛟蛟同学的证法是：作的角平分线交于点，则，通过“边角边”证明，则．请你利用该结论继续探究：
【初步应用】
（1）在中，若，，则___________°．
【破茧启思】
（2）如图2，在中，，点在上，点在上，延长线与延长线交于点是外一点，与交于点，若，．
①___________．（用含的代数式表示）
②若，求．
【攀登高峰】
（3）如图3，在中，，点、分别在、延长线上，是外一点，与交于点，若，试探究的数量关系并证明．
11．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）阅读下列材料：我们把形如的式子称为“行列式”，其运算法则为：．例如：．请你运用材料回答：
(1)计算：___________．
(2)已知，求的值．
(3)若的三边长为，满足，，求的周长．
12．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，某一动直线分别截两平行直线a，b于点A，B，点C为直线b上（位于点B右侧）一点，满足，角平分线交直线a于点D．在直线a上，点D左侧任取一点E，点A右侧任取一点F；在直线b上，点B左侧任取一点G，点C右侧任取一点H．右边取点I满足，满足，交直线于点J，的角平分线交于点K．设（且）．
(1)若，求的度数，写出过程；若，直接写出的度数；
(2)若，求α的度数；
(3)若，求α的度数．
13．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）全等三角形是我们初中数学的重要知识点之一，它为我们学习后面几何知识做好铺垫，掌握全等三角形的证明是做一系列复杂几何证明的基础．
【问题初探】
（1）构造全等三角形的方法有很多，有一种常见的方法是作高线，将需要证明的边或角放在两个直角三角形中进而通过全等证明关系．比如，我们可以通过作高线证明三角形中一个重要的结论“在同一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”．如图1，在中，已知，可证，小聪同学的作法是作边上的高线．现在请你完成小聪同学的证明过程；
【类比分析】
（2）通过上述例子，我们发现通过作高线构造直角三角形证明全等确实是一种有效的方法，由此推出了三角形中的重要结论．现在请你借助上述的方法或结论继续探索，如图2，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连接与边交于点D，若点D恰为线段中点，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【学以致用】
（3）如图3，在中，，，分别为的角平分线和中线，过点E作与线段的延长线交于点G，与边的延长线交于点F，已知的面积是30，线段的长为8，求的面积．
14．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，将一张宽度相等的纸条（）按如图所示方式折叠，记点C，D的对应点分别为，，折痕为，且交于点G．
(1)若，则______度．
(2)如图，在（1）的条件下，将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，．再将长方形沿着翻折，记的对应点分别为，，折痕为（点在上，点在上）．若，求的度数．
(3)如图，分别作，的平分线交于点，连结作的平分线交于点，延长交于点．若，比多27°，求的度数
15．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线一副三角板（）按如图①放置，其中点在直线上，点均在直线上，且平分．

(1)求的度数．
(2)如图②，若将绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转的对应点分别为，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在绕点旋转的同时，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转（的对应点为．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应的值．
16．（23-24七年级下·浙江台州·期末）在平面直角坐标系中，，，，如果，那么称点Q是点P的m阶“生长点”．例如：点，，，．点Q是点P的2阶“生长点”．如图，已知点，，．
(1)点B是点A的______阶“生长点”；
(2)已知点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”．
①若三角形的面积为4，求点C的坐标；
②若，求b的值；
(3)若点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，当时总有，则m的取值范围为______．
17．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）给出如下 个平方数∶ ，规定∶ 可以在其中的每个数前任意添上“”号或“”号， 所得的代数和记为 ．
(1)当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
(2)当 时，试设计一种可行方案，使得：且最小．
18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）
【基础巩固】（1）如图 1，在 与 中， ，求证： ；
【尝试应用】（2）如图 2，在 与 中， 三 点在一条直线上， 与 交于点 ，若点 为 中点，
① 求 的大小； ，求 的面积；
【拓展提高】（3）如图 3， 与 中， 与 交于点 的面积为 32，求的长．
19．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）如图1，点分别在直线上，．
(1)求证：；（温馨提示：可延长交于点进行探索）
(2)如图2，已知平分，平分，若，探索与之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图3，已知平分，点在射线上，，若．请直接写出的度数．
20．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）如图，已知，连结和交于点．
(1)求证：；
(2)如图，，点分别在线段上，，．
①请直接写出和（用含的代数式表示）．
②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
21．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）【问题提出】
欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛支参赛球队分成个小组，小组赛每小组支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？
【构建模型】
为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段．
（1）若某次比赛有支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛；
（2）根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛．
【实际应用】
（3）年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛．
（4）甬舟铁路预计年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．
22．（23-24七年级下·浙江台州·期末）小满时节，日照增，气温升，降雨多，清热利湿很重要，中医记载：取茯苓、陈皮、白扁豆，可制成一包祛湿茶，可以宁神、健脾、化湿、开胃，某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干克，按标准制成100包袪湿茶，茯苓刚好用完，剩余的白扁豆比陈皮多；
(1)购入茯苓的质量为______；这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为_______；
(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮、白扁豆，和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶，所有原料恰好用完，则第二批能制成祛湿茶多少包？
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后，获得900元的利润（利润祛湿茶销售额所用原料的成本），若第二批购入的茯苓价格上涨，陈皮和白扁豆的价格不变，于是药店将祛湿茶单价上涨，将第二批祛湿茶也全部售出，药店两次销售共获得2410元的利润，则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元？
23．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）【问题情境】在综合实践课上，老师组织同学开展了探究角与角数量关系的数学活动，如图1，，、是直线上的两点，连接、交于点
【探索发现】（1）判断，和之间的数量关系，并说明理由．
【深入探究】如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作分别交、于点，．
（2）若平分，，求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
24．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）根据以下素材，探索完成任务．
如何合理搭配消费券？
素材一 我市在2024年发放了如图所示的南太湖消费券．规定每人可领取一套消费券（共4张）：包含型消费券（满50减20元）1张，型消费券（满100减30元）2张，型消费券（满300减100元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家4人各领到了一套消费券．某日小明一家在超市使用消费券共减了420元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了2张型消费券，2张型消费券，则用了___________张型消费券，此时实际消费最少为____________元．
任务二 若小明一家用8张、、型的消费券消费，已知型比型的消费券多1张，求、、型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费，请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小，并求出此时实际最小消费金额．
25．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知直线，点在上，射线与交于点．点在射线上（不与点，重合），点在射线上（不与点重合），连接．
(1)如图1，若点在线段上，，，求的度数．
(2)如图2，点在线段上，平分，且与的角平分线交于点，若，，求的度数．
(3)当时，交直线于点，交直线于点，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示）
26．（23-24七年级下·浙江金华·期末）两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，已知，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，分别作与的平分线交于点F，求的度数．
(3)如图3，点P，G分别在，上，连，作的平分线交于点Q，点H是射线上一点，连，且，设，，，请画出图形，并直接写出，，之间的数量关系．
27．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师呈现了杭州市居民生活用电电价表（不完整）．
杭州市居民生活用电分段及价格一览表
单位：元/千瓦时
用电分档 分时电价
高峰电价 低谷电价
第一档 年用电a千瓦时及以下部分 0.568 0.288
第二档 年用电千瓦时部分 b c
第三档 年用电4801千瓦时及以上部分 0.868 0.588
注：电费=高峰价×高峰用电量+低谷电价×低谷用电量，若跨档，则分别计算各档电费后累加．
老师介绍了自己家庭生活用电的情况：截至上月底，本年度已用完第一档的额度，其中第一档低谷用电量为760千瓦时，第一档共产生电费1354.88元．
（1）求表格中a的值．
数学思考：
（2）同学们根据自己家庭生活用电的情况开展了讨论并提出问题：经查询，点点同学家4月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元；芳芳家5月份使用的均为第二档的用电额度，其中高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．求表格中b和c的值．
（3）若第一档花费144元可使用的最多电量为n千瓦时，则在第三档使用n千瓦时的电量最多需要电费多少元？说说你对家庭用电的建议．
28．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图1，一块三角板如图放置，，直线分别交于点，的角平分线交于点，交于点是线段上的一点（不与重合），连接交于点．
(1)判断之间的关系，并说明理由；
(2)若．
①用含的代数式表示的度数；
②当时，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，当边与射线重合时停止，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，求出此时的值．
29．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程组，其中，为整数．
(1)若方程组有无穷多组解，求实数与的值；
(2)当时，方程组是否有整数解？如有，求出整数解；若没有，请说明理由．
30．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索：
【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上．
（1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ；
（2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ．
【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数．
【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案）
《【浙江专用】七年级下册期中压轴解答题真题30道》参考答案
1．(1)，
(2)10或66或130或138
(3)
【分析】本题是平行线的综合题，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，动点运动过程中的分类讨论求解是解题的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）根据题意转动的角度为，转动的角度为，此时，时即时，当时，，在异侧，；当时，运动到右侧，运动到左侧，得，当时，运动到左侧，运动到右侧，得到，当时，运动到左侧，运动到右侧，得到解答即可；
（3）延长交于点G，得到，，，解答即可．
【详解】（1）解：，
，得
解得，
将代入①得，，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵ 射线从出发，绕点N以每秒的速度按逆时针方向旋转，且先运动30秒，
∴，
∴，
∵ 先运动30秒，然后一起运动，设运动的时间为t，且射线从出发，绕点M以每秒的速度按逆时针方向旋转，到达后立即以相同的速度返回，到达后继续改变方向，继续按上述方式旋转；
此时转动的角度为，转动的角度为，
此时，
当时即时，
当时，，在异侧，
∴
∴，
∴
解得；
当时，运动到右侧，运动到左侧，
∴
解得；
当时，运动到左侧，运动到右侧，
∴
解得；
当时，运动到左侧，运动到右侧，
∴
解得；
综上所述：t的值为10或66或130或138；
（3）解：延长交于点G，
∵的度数为m，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴即，
∴．
2．(1)
(2)①；②
(3)或
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，则，再代入即可求解；
（2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数；
②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，，进而得，，再代入化简即可得出答案；
（3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出之间的数量关系，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①同上可得：，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
由（1）得：，，
∴，，
∴；
②∵平分，平分，
设，，
∴，，
由（1）得：，
∴，
∴，
由（1）得：，，
∴，，
∴；
（3）解： ∵N为的角平分线上一点，且，
∴有以下两种情况：
①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示：
设，
∵，
∴，
∴，
∵N为的角平分线上一点，
∴设，
∴，
由（1）得：，，
又∵，
∴，
∴，
即：；
②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示：
设，
∵，
∴，
∵N为的角平分线上一点，
∴设，则，
由（1）得：，
∵，直线a，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即
综上所述：之间的数量关系是：或，
故答案为：或．
3．(1)，理由见解析；
(2)①；②．
【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得．
（2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得．
②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
又，
，
．
（2）①解：，
，
，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
②证明：，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，以及角的和差的计算．熟练掌握以上知识及数形结合的思想是解题的关键．
4．(1)
(2)的值为15或60或105或150
(3)所有满足条件的的值为30或120
【分析】（1）过点作，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，，最后根据角的和差关系求解即可；
（2）分情况讨论：①当时，再分在上方；在下方，根据平行线的性质构造方程求解即可；②当时，再分在上方；在下方，根据平行线的性质构造方程求解即可；
（3）先求出，，然后分情况讨论：①当时，再分在上方；在下方，根据平行线的性质构造方程求解即可；②当时，再分在上方；在下方，根据平行线的性质构造方程求解即可．
【详解】（1）解∶如图，过点作，
，
，
，，
；
（2）解：如图，①当时，延长交于点，
当在上方时，有，
，即，
；
当在下方时，，
有，
；
②当时，
当在上方时，，如图，延长交于点，
根据题意得：，
有，即，
；
当在下方时，如图，延长交于点，
根据题意可知：，有，
综上所述：所有满足条件的的值为15或60或105或150：
（3）解：由题意得，，，
①如图，当时，延长交于点
当在上方时，有，
，
即，
，
当在下方时，，
有，
（不符合题意，舍去）；
②当时，延长交于点，
当在上方时，，如图，
根据题意得：，
，，
，
，
即，
，
，此时应该在下方，不符合题意，舍去；
当在下方时，如图，
根据题意可知：，
，
，
，
即，
，
综上所述：所有满足条件的的值为30或120．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，旋转的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质、添加恰当的辅助线、采用分类讨论的思想解决问题．
5．(1)需要加水克；
(2)甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡；
见解析．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、分式的混合运算．
设需要加水，根据配制好的生理盐水的浓度为，可列方程，解方程即可求出需要加水的质量；
由生活经验可知：配制好的汤比咸汤淡，比淡汤咸，所以可知甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡；
设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，根据甲汤比乙汤咸，可得：，整理可得：，从而可得：，，比较可得：，从而可证甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡．
【详解】（1）解：设需要加水，
根据题意得：，
去分母得：，
解方程得：，
经检验，是原分式方程的解，
答：需要加水900克；
（2）解：甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡；
解：设甲汤中盐的质量为克，汤的质量为克；乙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，
则丙汤中盐的质量为克，汤的质量为克，
甲汤比乙汤咸，
，
整理得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
甲汤最咸，其次丙汤，乙汤最淡．
6．(1)
(2)，见解析
(3)的值为10或20或25
【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，理解题意，作出辅助线，结合图形求解是解题关键．
（1）根据角平分线及邻补角计算即可；
（2）过点G作，根据平行线的判定和性质即可得出结果；
（3）根据题意，分三种情况分析：当时，当时，当时，然后作出辅助线，利用平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∵平分，
∴，
∴；
（2）过点G作，如图所示：
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，当时，延长交于点H，延长交于点O，交于点G，
∵，
∴，
由（1）得，；
∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
解得：；
如图所示，当时，延长交于点G，
∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；
如图所示，当时，延长交于点G，
∵将绕点逆时针旋转，速度为每秒，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，记旋转时间为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：；
综上可得：的值为10或20或25．
7．(1)小滨的说法正确，理由见解析
(2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值
【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键．
（1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论；
（2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论．
【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下：
∵，
∴
，
∴小滨的说法正确；
（2）解：（i）①∵，
∴
；
②
；
③当时，，
当时，，
∴的值不是定值；
④
；
∴①②④是定值，③不是定值；
满足题意的式子可以为，证明如下：
；
（ii）
；
，
，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为9，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴当时，有最小值，最小值为；
∵无最大值，
∴无最小值，即没有最大值，
∴有最小值，没有最大值．
8．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可；
（2）设，而，可得，由（1）得：，由，再建立方程求解即可；
（3）设，而，可得，如图，记的交点为，表示，结合平行线的性质可得，求解，证明，进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点F作，
，
，
，
；
（2）解：设，而，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：设，而，
∴，
如图，记的交点为，
由（1）得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，因式分解的应用，分式的约分，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用角度关系进行运算是解本题的关键．
9．任务1：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；任务2：购买篮球4个，购买排球12个；任务3：1
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程组和方程是解题的关键．
任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，根据用800元购买排球的数量是用480元购买篮球数量的2倍建立方程求解即可；
任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，根据学校花费1680元购买篮球和排球作为奖品颁发给“优秀运动员”，其中购买的排球数量比篮球数量多8个建立方程组求解即可；
任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，根据题意可得，则可得，可求出一定是3的倍数，设（k为正整数），则，即，解之即可得到答案．
【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则篮球的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：排球的单价为100元，篮球的单价为120元；
任务2：设购买篮球m个，购买排球n个，
由题意得，，
解得，
答：购买篮球4个，购买排球12个．
任务3：设第二次购买了a个篮球，b个排球，且购买的排球中使用抵扣券的数量是c个，
，则第二次购买的篮球中没有使用抵扣券的数量是个，
∴第二次购买的篮球中使用抵扣券的数量是个，
∴，
∴
∴，
∵一定是正整数，
∴一定是3的倍数，
设（k为正整数），
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
当时，，
当时，，此时不符合题意；
随着k的继续增大，的结果只会越来越小，即的结果只会越来越大，
∵当时，，此时，
∴当时， ，
∴只有，满足题意，
答：排球中使用抵扣券的数量为1．
10．（1）80；（2）①；②；（3）．理由见解析
【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用三角形的内角和定理求解即可；
（2）①利用等边对等角以及三角形的内角和定理求解即可；②利用三角形内角和定理求得，推出，再利用等边对等角和三角形内角和定理求得，利用三角形的外角性质求解即可；
（3）延长至点，使，连接，证明，推出，，求得，再证明，求得，据此计算即可求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
故答案为：80；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
②∵，，
∴，
由①得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）．理由如下，
延长至点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等边对等角，
11．(1)6
(2)29
(3)
【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，解题的关键是读清楚新运算的法则．
（1）根据运算法则直接运算即可得到答案；
（2）根据运算法则得到，再整体代入即可得到答案；
（3）根据运算法则得到，根据非负性得到，，，再利用三角形的周长公式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
；
故答案为：6；
（2）解：由题意可得，
，
∵，
∴原式；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
解得，，，
∴的周长．
12．(1)的度数为，过程见解析，的度数为15°
(2)α的度数为
(3)α的度数为
【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、代数式求值、解绝对值方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）当将时，根据平行线的性质、角平分线的定义可得、，进而得到，同理可求时；
（2）由，则，然后求解即可．
（3）分三种情况，画出图形，先把用表示，然后代入解绝对值方程即可．
【详解】（1）解：当时，如图1，
∵，
∴，
∴，，
∵的角平分线为，
∴，
∴；
∴当时，；
当时，如备用图1，
同理可得：，，
∴，
∴，
∴．
当时，，
（2）解：当时，如图1，此时，
∵，即∴，解得：（不合题意，舍去）．
当时，备用图1，此时，
∵，即，解得：．
（3）解：当时，如图1，∵，
∵，
∴，解得：．
当时，如图2，由（1）可知∵，
∴
∵，
∴，解得：．
当时，如图3，由（1）可知∵，
∴，
∵，
∴，解得：．
13．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）根据及两个直角相等，还有公共边，利用全等三角形即可得证；
（2）作平行线利用中点证，得到，最后通过等线段转化即可得证；
（3）延长交AC于点H，过B作，过点D作于点K，于点J，证明，得出，，设，则，，求出，根据，得出，求出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，得出，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：过A作于D，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：；
理由：过E作交于G，
∴，，
∵点D为线段中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，延长交AC于点H，过B作，过点D作于点K，于点J，
∵是角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由（2）中证明方法可知，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
即，
解得，负值舍去，
∴，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴的面积为．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线性质定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
14．(1)26
(2)或
(3)
【分析】（1）根据对顶角和平行线的性质可得，再由折叠的性质可得，即可求出的度数．
（2）根据题意可分成两种情况，当向下翻折时，当向上翻折时，根据平行线的性质和折叠的性质，即可求出的度数．
（3）补全图形后，设，则，根据折叠的性质和平行线的性质，可得，即，代入数值解得，根据对顶角，角平分线的性质，平行线的性质，外角的性质，三角形内角和的性质，即可求出的度数．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
故答案为．
（2）当向下翻折时，根据题意补充全图，如下图所示：
∵，，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
再根据折叠的性质可得，
∴，
∴，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴．
当向上翻折时，交与点，如图所示：
由上可得
∵
∴
根据折叠的性质可得，
综上可得的度数为或．
（3）补全图形，如下图所示：
设，则，
根据折叠的性质可得，
∵，
∴，
根据折叠的性质可得，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质、对顶角性质、角平分线的性质、外角的性质、三角形内角和的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．(1)
(2)①12.5秒 ②画图见解析；
【分析】题目主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键．
（1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解；
②分三种情况：当时，当，当，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴秒

②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：
延长，交于点O，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
解得：；
当，

同理得
当

同理得

同理得
综上可得：t的值为．
16．(1)
(2)①或；②7或5
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，新定义等知识，解题的关键是：
（1）根据新定义求解即可；
（2）①根据新定义可求出，，然后根据三角形面积公式求解即可；
②根据得出，然后解方程即可；
（3）根据新定义可求出，，然后根据当时总有求解即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵点是点A的2阶“生长点”，点是点B的3阶“生长点”
∴，，
∴，，
∴，
∵三角形的面积为4，
∴，
解得，
∴C的坐标为或；
②∵，
∴，
解得或5；
（3）解：∵点是点B的1阶“生长点”，点是点O的m阶“生长点”，
∴，，
∴，，
当时，，
令，则，
∵当时总有，
∴．
故答案为：．
17．(1)方案见解析
(2)方案见解析
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式的应用，有理数的混合运算等知识．熟练掌握完全平方公式，平方差公式的应用，有理数的混合运算是解题的关键．
（1）由，，可知8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，则当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）当时，①由题意知，给定的个数中有个奇数，不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，则所求的最终代数和大于等于1．设计最终代数和等于1的可行方案．②由（1）可知对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；③由，对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．④在对进行设计的过程中，，又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，则个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．进而可得可行方案为：首先对 ，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对 ，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
【详解】（1）解：∵，，
∴8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0，
∴当时，或当时，最小，且最小值为0；
（2）解：当时，
①由题意知，给定的个数中有个奇数，
∴不管如何添置“”号和“”号， 其代数和总为奇数，
∴所求的最终代数和大于等于1．
∴设计最终代数和等于1的可行方案．
②，
∴对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③∵，
对 ，根据②中每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0，
然后对进行设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对进行设计的过程中，，
又由②知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为．
综上，可行方案为：首先对 ，根据②每连续8个一组适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为0；其次对 ，根据④适当添加“”号和“”号，使每组的代数和为；最后对作的设计，便可以使得给定的个数的代数和为1，即最小．
18．（1）证明见解析；（2）①，②；（3）
【分析】（1）由证即可；
（2）①同（1）得，得，即可得出结论；
②过点A作于点G，证，得，，再由等腰直角三角形的性质得，则，然后由三角形面积关系即可得出结论；
（3）连接，同（2）得，则，，得，再证，得，，然后证，得，进而由，得，则，即可得出结论．
【详解】（1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：①，，
，
，
同（1）得：，
，
；
②如图2，过点A作于点G，
则，
由①可知，，
，
点F为中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
；
（3）解：如图3，连接，
同（2）得：，
，，
，
在和中，
，
，
∴，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，负值舍去，
即的长为8．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
19．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)或
【分析】（1）延长交于点，再根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）延长交于点，交于点，利用三角形外角性质得到得到，结合平行线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义证得，结合已知即可得出结论；
（3）根据点在射线上，分当在直线下方时和当在直线上方时，两种情况，根据上述情况作出草图，并结合平行线性质、三角形外角性质、以及角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：如下图，延长交于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如下图，延长交于点，交于点，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，，
；
（3）解：或，理由如下：
当在直线下方时，如图，设射线交于点，
，
，
平分，
，
，
，，
，
，，
，
即，
解得：，
当在直线上方时，如下图：
同理可证得，
则有，
解得：，
综上所述，的度数为或，
【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
20．(1)证明见详解
(2)①，
②是定值，定值为
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据平行线的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可证明．
（2）①根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合题意，即可得出，．
②根据平行线的性质可得，即，因为，∴，结合，，可得，代入中，得是定值．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）①解：∵，，，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，，
∴，
即．
故，．
②解：是定值．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
化简得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是定值．
21．（1）．
（2）
（3）
（4）30
【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．
（1）根据图②线段数量进行作答．
（2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，即可得求出比赛的场数．
（3）根据题意可得，一个小组会有场比赛，故六个小组则共有有场比赛．
（4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，得出六个车站一共形成了种车票．
【详解】（1）由图②可知，图中实际共有条线段，
∴根据题意，可得支队伍进行单循环比赛一共要安排场比赛．
故答案为：．
（2）当有支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出个点（任意个点都不在同一条直线上），每个点与另外个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，实际只有条线段，
即根据以上规律，若有支足球队进行单循环比赛，则一共要安排场比赛，
故答案为：．
（3）根据题意可得，欧洲杯支参赛球队分成个小组，
由上可得一个小组会有场比赛，
故六个小组则共有有场比赛，
即本次欧洲杯总计有36场小组赛比赛，
故答案为．
（4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票，
∴一个车站与另外个车站都可各形成一张车票，即张车票，
∴这样六个车站一共形成了种车票．
故答案为．
22．(1)1500；
(2)第二批能制成祛湿茶151包
(3)两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用：
（1）根据每包祛湿茶需要茯苓进行求解即可；再根据每包祛湿茶需要陈皮、白扁豆求出一共需要陈皮、白扁豆的重量，进而求出对应的比值即可；
（2）设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，根据剩余的白扁豆比陈皮多且所用原料陈皮与白扁豆的质量比为列出方程组求解即可；
（3）设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，根据两次的利润列出方程组求解即可．
【详解】（1）解：，
∴购入茯苓的质量为；
，
∴这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为；
（2）解：设第一批剩下的陈皮有，白扁豆克，
由题意得，，
解得，
∴，
答：第二批能制成祛湿茶151包；
（3）解：设第一次祛湿茶定价为x元每包，第一次购入的茯苓价格为y元每克，第一次购入的陈皮和白扁豆共花费z元，
由题意得，
解得，
∴，
∴，
答：两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元．
23．（1），见解析；（2）；（3），，
【分析】（1）根据平行线的性质可得出，根据三角形的外角的性质可得，等量代换，即可求解；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义，以及，得出，则，进而根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，根据三角形的外角的性质，即可求解；
（3）设旋转后的三角形为，的对应点为，分三种情况讨论，根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：（1），理由如下：
，
，
是 的外角，
，
，
（2），
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
是 的外角，
；
（3）由（2）可得，，
设旋转后的三角形为，的对应点为
①当时，延长交于点，
如图所示，
∴
∵
∴
∴
∴
②当时，如图所示，
∴
∴
∴
∴
③当时，如图所示，
∴
∴
∴
∴
综上所述，，，
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，旋转的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
24．任务一：6；880；任务二：型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；任务三：使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小，最小金额为830元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程的应用；
任务一：根据消费券规则求解；
任务一：根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解；
任务一：先分类讨论，列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解．
【详解】解：任务一：用型的消费券数量为：，
满减前至少消费（元），
实际消费最少为（元）．
故答案为：6；880；
任务二：设型的消费券张，则型的消费券张，型的消费券张，
由题意可得，
解得．
型的消费券3张，型的消费券2张，则型的消费券3张；
任务三：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
①、型：．
，
，都是正整数，，，
无解；
②、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
③、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义；
（1）过点作，根据平行线的性质得出，即可求解；
（2）设，根据平行线的性质得出，结合平角的定义，即可求解；
（3）当在下方时，如图所示，由（1）可得，则，根据平行线的性质得出，进而即可求解；当在上方时，根据平行线的性质，同理可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：设
∵
∴，
∵
∴
∵平分，
∴
∵
∴，
∵，
∴
∵是的角平分线，
∴
∴
又∵，即
解得：
∴
（3）解：当在下方时，如图所示，
∵
∴
∵，
∴
由（1）可得
∴
∵
∴，
∵
∴
∴．
当在上方时，如图所示，过点作
∵
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∵
∴，
∴．
26．(1)，证明见解析
(2)
(3)或；
【分析】（1）先证明，从而可得结论；
（2）证明，，如图，过作，，再进一步利用平行线的性质可得答案；
（3）如图，当在线段上，设，则，由（2）的结论可得：，如图，当在线段的延长线上时，设，则，同理可得：，证明，，，从而可得答案；
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，．
∴，
∵与的平分线交于点F，
∴，
如图，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图，当在线段上，
设，则，
由（2）的结论可得：
，
，
∵，，，的平分线交于点Q，
∴，
∴，
整理可得：；
如图，当在线段的延长线上时，
设，则，
∵，，，的平分线交于点Q，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
整理可得：；
综上：或；
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，二元一次方程组的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
27．（1）2760；（2），；（3）434元，建议：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．理解电费由高峰用电费用和低谷用电费用组成是解决本题的关键．掌握最多用电量和最贵电费的求法是解决本题的易错点．
（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时，根据第一档共产生电费1354.88元列出方程求解可得高峰用电量，加上低谷用电量即为的值；
（2）根据高峰用电量为200千瓦时，低谷用电量为500千瓦时，共产生电费292.6元和高峰用电量为100千瓦时，低谷用电量为300千瓦时，共产生电费163.2元．列出方程组求解即可得到和的值；
（3）最多用电量第一档的总花费第一档的低谷电价，那么最多需要的电费高峰电价，所以需要节约用电，尽量控制高峰用电．
【详解】解：（1）设他们家第一档高峰用电量为千瓦时．
．
．
．
．
；
（2）由题意得：．
解得：．
答：，；
（3）（千瓦时）．
（元．
答：在第三档使用千瓦时的电量最多需要电费434元．建议是：要节约家庭用电，尽量控制高峰用电（答案不唯一，合理即可）．
28．(1)，理由见解析
(2)①；②当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用，理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键．
（1）作，根据，得出，根据平行线的性质得出，即可求解；
（2）①设，则，，根据，得出，结合平分，，即可得出，解得，由（1）得即可求解；
②当时，，，，分为（i）当时，（ii）当时，（iii）当时，即与在同一直线上时，（iv）当时，（v）当时，分别画图求解；
【详解】（1）解：．
理由如下：
作，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①设，则，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）得；
②解：当时，，，，
（i）当时，延长交边于P，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当绕E点旋转时，，
∴；
（ii）当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当绕点E旋转时，，
∴；
（iii）当时，即与在同一直线上时，
∴，
∴当绕点E旋转时，，
∴，
（iv）当时，
∵，
∴．
∴当旋转时，．
∴；
（v）当时，
∵，，
∴．
∴当旋转时，．
∴，
当的其中一边与的某一边平行时t的值为5秒或秒或秒或秒或秒．
29．(1)，
(2)没有，理由见详解
【分析】（1）先把①中的值代入②，使方程变为只含的一元一次方程，根据的系数讨论方程组有无穷多组解时的取值即可；
（2）要分类讨论，即和，再结合整数解的问题，进一步分析作答．
本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
【详解】（1）解：依题意，
由①得，，③
将③代入②得，
整理得出，④
∵方程组有无穷多组解
∴且时，
即，则，
∴，
（2）解：没有，理由如下：
由（1）得
∵
∴
整理得
①当时，即，
∵
∴此时方程组为
则
∵为整数
∴原方程没有整数解
②当时，即，此时，
若时，显然无解，
若时，，代入得
∵a为整数，
∴不可能为整数，
∴原方程无整数解；
综上：原方程没有整数解
30．情境探究：（1）；（2）；类比猜想：或；拓展迁移：
【分析】本题考查了线段的和差、角的和差倍分、角的旋转等，关键是线段长度的计算及角的关系的求解；
【情境探究】（1）根据线段之间的和差来计算长度即可；（2）根据线段之间的和差来计算长度即可；
【类比猜想】根据三角板的角度及角度之间的倍数关系，分情况讨论求解；
【拓展迁移】根据边的旋转速度和时间得到角的表达式，再结合角的倍分关系分情况讨论求解．
【详解】【情境探究】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，即：，
故答案为：；
【类比猜想】解：①当两块三角板没有重合部分，即时，
∵，，
，
，
；
②当两块三角板有重合部分，即时，
，，
，
，
，
综上所述，或．
【拓展迁移】的值为．
解：如图1，∵，，
，
，
，
∴ ，
∴ ；
如图2，∵，
∴，，
，
∴ ，
∴；
如图3，∵，，
∴，
，
，
∴ ，
∴ ；
当时，，所以舍去；
如图4，因为，，
，
，
因为，
，
；
综上所述，的值为，，．(共5张PPT)
浙教版2024 七年级下册
【浙江专用】七年级下册期末压轴选解答题真题汇编 试卷分析
三、知识点分布
一、解答题 1 0.4 加减消元法；动点问题（一元一次方程的应用）；根据旋转的性质求解；根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数
2 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算
3 0.4 根据平行线判定与性质求角度；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算
4 0.4 根据旋转的性质求解；根据平行线判定与性质求角度
5 0.4 分式加减乘除混合运算；分式方程的其它实际问题
6 0.4 根据平行线的性质求角的度数；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算
7 0.4 异分母分式加减法；分式最值；约分
8 0.4 根据平行线的性质探究角的关系
9 0.4 二元一次方程的解；分式方程的经济问题；和差倍分问题(二元一次方程组的应用)
10 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
三、知识点分布
11 0.4 有理数四则混合运算；通过对完全平方公式变形求值
12 0.4 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；绝对值方程；三角形内角和定理的应用
13 0.4 全等三角形综合问题；与三角形的高有关的计算问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
14 0.4 根据平行线的性质求角的度数；折叠问题；角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
15 0.4 根据平行线的性质求角的度数；几何问题(一元一次方程的应用)；角平分线的有关计算；根据旋转的性质求解
16 0.4 坐标与图形；几何问题(一元一次方程的应用)
17 0.4 有理数四则混合运算；运用平方差公式进行运算；运用完全平方公式进行运算
18 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定
19 0.4 根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质
20 0.4 根据平行线判定与性质证明；三角形的外角的定义及性质
三、知识点分布
21 0.4 有理数四则混合运算的实际应用；数字类规律探索
22 0.4 有理数除法的应用；其他问题(二元一次方程组的应用)；三元一次方程组的应用
23 0.4 根据旋转的性质求解；三角形的外角的定义及性质；与平行线有关的三角形内角和问题；与角平分线有关的三角形内角和问题
24 0.4 方案选择(一元一次方程的应用)；方案问题(二元一次方程组的应用)
25 0.4 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；垂线的定义理解
26 0.4 根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用；几何问题(二元一次方程组的应用)；内错角相等两直线平行
27 0.4 电费和水费问题(一元一次方程的应用)；其他问题(二元一次方程组的应用)
28 0.4 根据平行线判定与性质证明；几何问题(一元一次方程的应用)；角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用
29 0.4 二元一次方程组的特殊解法
30 0.4 角度问题(旋转综合题)；几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题

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