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11．1.2　不等式的性质
1．不等式的性质1
不等式的两边加(或减) (或式子)，不等号的方向 ．
如果a＞b，那么a±c＞b±c.
2．不等式的性质2
不等式的两边乘(或除以)同一个 ，不等号的方向 ；
如果a＞b，c＞0，那么ac bc.
3．不等式的性质3
不等式的两边乘(或除以)同一个 ，不等号的方向 ．
如果a＞b，c＜0，那么ac bc.
4．用数轴表示不等式的解集
不等式的解集可以在数轴上直观、形象地表示出来，用数轴来表示不等式的解集时，要注意“两个确定”．一是确定边界点，若边界点是不等式的解，则用 圆点；若边界点不是不等式的解，则用 圆圈．
二是确定方向，对边界点而言，“小于向 ，大于向 ”．在数轴上表示不等式的解集时应牢记：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈．
考点　运用不等式的性质对不等式进行变形
【典例】若aA.a＋2>b＋2 B．a－5>b－5
C．> D．－3a>－3b
在运用不等式的性质时先要明确对不等式两边进行的运算，若加减则不等号的方向不变，若乘除，需要先分析是乘除正数还是负数，再决定不等号的方向是否改变．
【变式训练】
根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x＋5；
(2)－2x<16.
知识点1?　不等式的性质
1．(北京海淀区校级月考)如果由xay，那么a应满足的条件是( )
A.a≥0 B．a≤0
C．a>0 D．a<0
2．(海南万宁期末)若a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．－1＋a<－1＋b B．<
C．2－a>2－b D．b－a<0
3．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知a>b，试比较－2 024a＋1与－2 024b＋1的大小.
解：因为a>b，①
所以－2 024a>－2 024b，②
故－2 024a＋1>－2 024b＋1.③
(1)上述解题过程中，从步骤 开始出现错误(填写序号)；
(2)请写出正确的解题过程．
知识点2?　利用不等式的性质解不等式
4．(山东淄博周村区期末)不等式2x＋1≤5的解集在数轴上表示正确的是( )
5．根据不等式的性质，将不等式变形为x＞a或x＜a的形式．
(1)x－＜，根据不等式的性质 ，不等式两边 ，得 ；
(2)x＞－5，根据不等式的性质 ，不等式两边 ，得 ；
(3)－8x＞16，根据不等式的性质 ，不等式两边 ，得 ．
知识点3?　不等式的简单应用
6．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>26”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则x的最小整数值取多少( )
A．7 B．8 C．9 D．10
7．有P，Q，R，S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是 ．
易错易混点　对于不等式两边同除以负数不等号变号应用失误
8.若x>y，则－2x□－2y，□中应该填入的符号是( )
A．> B．< C．≥ D．≤
9．(贵州月考)实数a，b，c满足a＞b，且ac＞bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是( )
10．(山东菏泽东明县校级月考)若关于x的不等式(m－1)x1，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m<1
C．m≠1 D．m＝1
11．(湖南长沙雨花区期末)如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”．
(1)在不等式①2x－1＜0；②x≤2；③x－(3x－1)＜－5中，与不等式x≥2互为“友好不等式”的是 ；(填序号)
(2)若关于x的不等式x＋2m≥0与2x－3＜x＋m不是“友好不等式”，求m的取值范围；
(3)若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“友好不等式”，求a的取值范围.
【母题P128练习T2】利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x＋5>－1; (2)4x<3x＋5；
(3)x≤； (4)－8x>10.
【变式】　根据不等式的性质，把下列不等式化成“x>a”或“x(1)x－1<5；(2)－x＋1≥4.
12．(推理能力)【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y去表示另一个量x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建关于另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式的性质即可获解．
【解决问题】解：因为x－y＝2，
所以x＝y＋2.
又因为x＞1，所以y＋2＞1，所以y＞－1.
又因为y＜0，所以－1＜y＜0①，
同理，得1＜x＜2②，
由①＋②，得－1＋1＜y＋x＜0＋2.
所以x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
【尝试应用】已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求x＋y的取值范围．11．1.2　不等式的性质
1．不等式的性质1
不等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
如果a＞b，那么a±c＞b±c.
2．不等式的性质2
不等式的两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc.
3．不等式的性质3
不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.
4．用数轴表示不等式的解集
不等式的解集可以在数轴上直观、形象地表示出来，用数轴来表示不等式的解集时，要注意“两个确定”．一是确定边界点，若边界点是不等式的解，则用实心圆点；若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈．
二是确定方向，对边界点而言，“小于向左，大于向右”．在数轴上表示不等式的解集时应牢记：大于向右画，小于向左画；有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈．
考点　运用不等式的性质对不等式进行变形
【典例】若aA.a＋2>b＋2 B．a－5>b－5
C．> D．－3a>－3b
解析：∵a∵a∵a∵a－3b，故D符合题意．
在运用不等式的性质时先要明确对不等式两边进行的运算，若加减则不等号的方向不变，若乘除，需要先分析是乘除正数还是负数，再决定不等号的方向是否改变．
【变式训练】
根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x(1)4x>3x＋5；
(2)－2x<16.
(1)在不等式两边同时减去3x，不等号方向不变，
得x>5；
(2)在不等式两边同时除以－2，不等号方向改变，
得x>－8.
知识点1?　不等式的性质
1．(北京海淀区校级月考)如果由xay，那么a应满足的条件是(D)
A.a≥0 B．a≤0
C．a>0 D．a<0
2．(海南万宁期末)若a>b，则下列不等式一定成立的是(D)
A．－1＋a<－1＋b B．<
C．2－a>2－b D．b－a<0
3．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知a>b，试比较－2 024a＋1与－2 024b＋1的大小.
解：因为a>b，①
所以－2 024a>－2 024b，②
故－2 024a＋1>－2 024b＋1.③
(1)上述解题过程中，从步骤②开始出现错误(填写序号)；
(2)请写出正确的解题过程．
(2)∵a>b，∴－2 024a<－2 024b，
∴－2 024a＋1<－2 024b＋1.
知识点2?　利用不等式的性质解不等式
4．(山东淄博周村区期末)不等式2x＋1≤5的解集在数轴上表示正确的是(B)
5．根据不等式的性质，将不等式变形为x＞a或x＜a的形式．
(1)x－＜，根据不等式的性质1，不等式两边加，得x＜1；
(2)x＞－5，根据不等式的性质2，不等式两边乘，得x＞－；
(3)－8x＞16，根据不等式的性质3，不等式两边除以－8，得x＜－2．
知识点3?　不等式的简单应用
6．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>26”为一次程序操作，如果程序操作进行了1次后就停止，则x的最小整数值取多少(D)
A．7 B．8 C．9 D．10
7．有P，Q，R，S四个人去公园玩跷跷板，依据下面的示意图，则这四个人中最重的是R．
由题图1，可知S＞P，
由题图2，可知R＋P＞Q＋S，∴R－Q＞S－P＞0，R－S＞Q－P，∴R＞Q.
由题图3，可知R＋Q＝S＋P，∴R－S＝P－Q，
∴P－Q＞Q－P，∴P－Q＞0，∴R－S＞0，∴R＞S，∴R最重．
易错易混点　对于不等式两边同除以负数不等号变号应用失误
8.若x>y，则－2x□－2y，□中应该填入的符号是(B)
A．> B．< C．≥ D．≤
9．(贵州月考)实数a，b，c满足a＞b，且ac＞bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是(D)
10．(山东菏泽东明县校级月考)若关于x的不等式(m－1)x1，则m的取值范围是(B)
A．m>1 B．m<1
C．m≠1 D．m＝1
11．(湖南长沙雨花区期末)如果两个不等式存在公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”．
(1)在不等式①2x－1＜0；②x≤2；③x－(3x－1)＜－5中，与不等式x≥2互为“友好不等式”的是②③；(填序号)
(2)若关于x的不等式x＋2m≥0与2x－3＜x＋m不是“友好不等式”，求m的取值范围；
(3)若a≠－1，关于x的不等式x＋3≥a与不等式ax－1＜a－x互为“友好不等式”，求a的取值范围.
(2)解不等式x＋2m≥0，得x≥－2m，
解不等式2x－3＜x＋m，得x＜m＋3，
∵关于x的不等式x＋2m≥0与2x－3＜x＋m不是“友好不等式”，∴－2m≥m＋3，解得m≤－1，
∴m的取值范围为m≤－1；
(3)x＋3≥a，解得x≥a－3，
ax－1＜a－x，解得(a＋1)x＜a＋1，
∵a≠－1，∴a＋1≠0，
①当a＋1＞0时，a＞－1，x＜1，
根据题意，得a－3＜1，即a＜4，故－1＜a＜4；
②a＋1＜0时，即a＜－1时，x＞1，符合题意，故a＜－1.
综上分析，a的取值范围为a＜－1或－1＜a＜4.
【母题P128练习T2】利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：
(1)x＋5>－1; (2)4x<3x＋5；
(3)x≤； (4)－8x>10.
(1)x＋5>－1，
x>－1－5，
解得x>－6，将不等式的解集表示在数轴上，如图；
(2)4x<3x－5，
4x－3x<－5，
解得x<－5，将不等式的解集表示在数轴上，如图；
(3)x≤，
解得x≤6，将不等式的解集表示在数轴上，如图；
(4)－8x>10，
解得x<－，将不等式的解集表示在数轴上，如图.
【变式】　根据不等式的性质，把下列不等式化成“x>a”或“x(1)x－1<5；(2)－x＋1≥4.
(1)x－1<5，
不等式两边同时加上1，得x<6；
(2)－x＋1≥4.
不等式两边同时减去1，得－x≥3，
不等式的两边同时乘－2，得x≤－6.
12．(推理能力)【提出问题】已知x－y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围．
【分析问题】先根据已知条件用一个量如y去表示另一个量x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建关于另一个量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式的性质即可获解．
【解决问题】解：因为x－y＝2，
所以x＝y＋2.
又因为x＞1，所以y＋2＞1，所以y＞－1.
又因为y＜0，所以－1＜y＜0①，
同理，得1＜x＜2②，
由①＋②，得－1＋1＜y＋x＜0＋2.
所以x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2.
【尝试应用】已知x－y＝－3，且x＜－1，y＞1，求x＋y的取值范围．
∵x－y＝－3，∴x＝y－3.
又∵x＜－1，∴y－3＜－1，∴y＜2.又∵y＞1，
∴1＜y＜2.①
同理，得－2＜x＜－1.②
由①＋②，得1－2＜y＋x＜2－1.
∴x＋y的取值范围是－1＜x＋y＜1.

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