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11．1.1　不等式及其解集
1．不等式
用符号“＜”或“＞”表示不等关系的式子，叫作不等式．
用符号“≠”表示不等关系的式子也叫作不等式．
2．不等式的解
能使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解．
3．不等式的解集
(1)一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
(2)一般地，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是某个范围，这个范围可用一个最简单的不等式表示出来．
(3)求不等式解集的过程叫作解不等式．
考点1?　不等式的识别
【典例1】(海南三亚校级期中)下列式子中不是不等式的是(D)
A.5<7 B．2x>3
C．>1 D．2a＋1＝1
解析：A.5<7是不等式，故本选项不符合题意；B.2x>3是不等式，故本选项不符合题意；C.>1是不等式，故本选项不符合题意；D.2a＋1＝1是等式，不是不等式，故本选项符合题意．
本题考查的是不等式的定义，须熟知用“>”或“<”表示大小关系的式子，叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
【变式训练】
1．下列数学表达式中：①－2<0；②2x＋3y≥0；③x＝2；④x2＋2xy＋y2；⑤m≠4；⑥a＋1>3，不等式有(A)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2?　判断不等式的解
【典例2】(海南万宁期末)下列各数中，是不等式2x＋1<3的一个解的是(D)
A．1 B．2 C．4 D．－3
解析：A.将1代入，得2×1＋1<3，错误，故本选项不符合题意；B.将2代入，得2×2＋1<3，错误，故本选项不符合题意；C.将4代入，得2×4＋1<3，错误，故本选项不符合题意；D.将－3代入，得2×(－3)＋1<3，正确，故本选项符合题意．
对于不等式的解的判断，只需要代入求值，比较大小即可．
【变式训练】
2．3是下列哪个不等式的解(A)
A．x＋3>0 B．x＋3<0
C．x－3>0 D．x－5>0
考点3?　用不等式表示数量的不等关系
【典例3】根据下列数量关系，列出不等式：
(1)x的3倍大于x；
(2)m与1的相反数的和不小于32；
(3)a与－2的差不大于它的3倍；
(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的2倍．
解：(1)∵x的3倍为3x，
∴x的3倍大于x可表示为3x＞x；
(2)∵1的相反数为－1，不小于用数学符号表示为“≥”，∴m与1的相反数的和不小于32可表示为m＋(－1)≥32；
(3)∵a与－2的差为a－(－2)，a的3倍为3a，不大于用数学符号表示为“≤”，∴a与－2的差不大于它的3倍可表示为a－(－2)≤3a；
(4)∵a，b两数的平方和为a2＋b2，a，b积的2倍为2ab，不小于用数学符号表示为“≥”，∴a，b两数的平方和不小于它们的积的2倍可表示为a2＋b2≥2ab.
寻找题目中的不等量关系式
第一步：寻找具有比较性质的关键词．如：“大于”“小于”“不大于”“不小于”“最多”“至少”“超过”“低于”等．第二步：寻找表示不等关系的关键词，如非正数，非负数等．
【变式训练】
3．用不等式表示下列关系：
(1)a的与6的差的绝对值不小于a；
(2)x的与x的2倍的和是非正数；
(3)m与5的商小于3的相反数；
(4)x与y的和的平方是正数．
(1)根据题意，得|a－6|≥a；
(2)根据题意，得x＋2x≤0；
(3)根据题意，得<－3；
(4)根据题意，得(x＋y)2>0.
知识点1?　不等式的概念与列不等式
1．若2x－y□5是不等式，则符号“□”不能是(A)
A．＋ B．> C．≠ D．≤
2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为(D)
A．x≥4.5 B．x>4.5
C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5
3．下列式子：①x＋y＝10；②x≥3；③x＋y；④x≤0；⑤x－y>7；⑥x≠3其中是不等式的有(C)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点2?　不等式的解和解集
4．下列各数中，能使不等式x－2<0成立的是(D)
A．6 B．5 C．4 D．3
5．(辽宁沈阳于洪区期中)写出一个解集为x<1的不等式x－1<0(答案不唯一).．
知识点3?　在数轴上表示不等式的解集
6．(湖南株洲醴陵市期末)不等式x≤2的解集在数轴上表示正确的是(B)
7．若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是x＞－2．
8．(陕西西安月考)将下列不等式的解集分别表示在数轴上．
(1)x≥3；
(2)x＜－1.
(1)如图所示：
(2)如图所示：
易错易混点　忽略在数轴上表示时，大于等于或者小于等于用实点表示；大于或者小于方向错误；负分数位置错误
9.(陕西榆林榆阳区校级月考)将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1)x≤3(图1)；
(2)x>－2.5(图2).
(1)不等式的解集表示在数轴上如下：
；
(2)不等式的解集表示在数轴上如下：
．
10．(湖北宜昌远安县模拟)某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，你换一种广告语言可以是(A)
A．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量≥0.5%”
B．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量＞0.5%”
C．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量＜0.5%”
D．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量≤0.5%”
11．已知x≥2的最小值是a，x≤－6的最大值是b，则a＋b＝－4．
12．有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示为a2＋b2＞ab．
　　
【母题P123T2】下列数中哪些是不等式x＋3>6的解？哪些不是？
－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
x＋3>6
解得x>3
在这些数中，x>3的有3.2；4.8；8；12，
故3.2，4.8，8，12是不等式的解；
－4，－2.5，0，1，2.5，3不是不等式的解
【变式】　下列各数：－2，－2.5，0，1，6中，不等式x＞1的解有6；不等式－x＞1的解有－2，－2.5．
13．(推理能力)比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”).
(1)32＋42＞2×3×4；
(2)22＋22＝2×2×2；
(3)12＋()2＞2×1×；
(4)(－2)2＋52＞2×(－2)×5；
(5)()2＋()2＞2××.
通过观察上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律．
(1)∵32＋42＝25，2×3×4＝24，∴32＋42＞2×3×4；
(2)∵22＋22＝8，2×2×2＝8，∴22＋22＝2×2×2；
(3)∵12＋()2＝，2×1×＝，
∴12＋()2＞2×1×；
(4)∵(－2)2＋52＝29，2×(－2)×5＝－20，
∴(－2)2＋52＞2×(－2)×5；
(5)∵()2＋()2＝，2××＝，
∴()2＋()2＞2××.
用字母表示为a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立).11．1.1　不等式及其解集
1．不等式
用符号“＜”或“＞”表示 关系的式子，叫作不等式．
用符号“ ”表示不等关系的式子也叫作不等式．
2．不等式的解
能使不等式成立的 叫作不等式的解．
3．不等式的解集
(1)一般地，一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集．
(2)一般地，一个含未知数的不等式有 个解，其解集是某个范围，这个范围可用一个最简单的不等式表示出来．
(3)求不等式解集的过程叫作解不等式．
考点1?　不等式的识别
【典例1】(海南三亚校级期中)下列式子中不是不等式的是( )
A.5<7 B．2x>3
C．>1 D．2a＋1＝1
本题考查的是不等式的定义，须熟知用“>”或“<”表示大小关系的式子，叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
【变式训练】
1．下列数学表达式中：①－2<0；②2x＋3y≥0；③x＝2；④x2＋2xy＋y2；⑤m≠4；⑥a＋1>3，不等式有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
考点2?　判断不等式的解
【典例2】(海南万宁期末)下列各数中，是不等式2x＋1<3的一个解的是( )
A．1 B．2 C．4 D．－3
对于不等式的解的判断，只需要代入求值，比较大小即可．
【变式训练】
2．3是下列哪个不等式的解( )
A．x＋3>0 B．x＋3<0
C．x－3>0 D．x－5>0
考点3?　用不等式表示数量的不等关系
【典例3】根据下列数量关系，列出不等式：
(1)x的3倍大于x；
(2)m与1的相反数的和不小于32；
(3)a与－2的差不大于它的3倍；
(4)a，b两数的平方和不小于它们的积的2倍．
寻找题目中的不等量关系式
第一步：寻找具有比较性质的关键词．如：“大于”“小于”“不大于”“不小于”“最多”“至少”“超过”“低于”等．第二步：寻找表示不等关系的关键词，如非正数，非负数等．
【变式训练】
3．用不等式表示下列关系：
(1)a的与6的差的绝对值不小于a；
(2)x的与x的2倍的和是非正数；
(3)m与5的商小于3的相反数；
(4)x与y的和的平方是正数．
知识点1?　不等式的概念与列不等式
1．若2x－y□5是不等式，则符号“□”不能是( )
A．＋ B．> C．≠ D．≤
2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为( )
A．x≥4.5 B．x>4.5
C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5
3．下列式子：①x＋y＝10；②x≥3；③x＋y；④x≤0；⑤x－y>7；⑥x≠3其中是不等式的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点2?　不等式的解和解集
4．下列各数中，能使不等式x－2<0成立的是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5．(辽宁沈阳于洪区期中)写出一个解集为x<1的不等式 ．
知识点3?　在数轴上表示不等式的解集
6．(湖南株洲醴陵市期末)不等式x≤2的解集在数轴上表示正确的是( )
7．若关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是 ．
8．(陕西西安月考)将下列不等式的解集分别表示在数轴上．
(1)x≥3；
(2)x＜－1.
易错易混点　忽略在数轴上表示时，大于等于或者小于等于用实点表示；大于或者小于方向错误；负分数位置错误
9.(陕西榆林榆阳区校级月考)将下列不等式的解集分别表示在数轴上：
(1)x≤3(图1)；
(2)x>－2.5(图2).
10．(湖北宜昌远安县模拟)某广告强调“一罐饮料净重400克，蛋白质含量至少2克”，你换一种广告语言可以是( )
A．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量≥0.5%”
B．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量＞0.5%”
C．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量＜0.5%”
D．“一罐饮料净重400克，蛋白质含量≤0.5%”
11．已知x≥2的最小值是a，x≤－6的最大值是b，则a＋b＝ ．
12．有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示为 ．
　　
【母题P123T2】下列数中哪些是不等式x＋3>6的解？哪些不是？
－4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12.
【变式】　下列各数：－2，－2.5，0，1，6中，不等式x＞1的解有 ；不等式－x＞1的解有 ．
13．(推理能力)比较下面每小题中两个算式结果的大小(在横线上填“＞”“＜”或“＝”).
(1)32＋42 2×3×4；
(2)22＋22 2×2×2；
(3)12＋()2 2×1×；
(4)(－2)2＋52 2×(－2)×5；
(5)()2＋()2 2××.
通过观察上面的算式，请你用字母来表示上面算式中反映的一般规律．

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