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*10.4　三元一次方程组的解法
1．三元一次方程组
含有 个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 ，并且一共有 个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
(1)利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起，即可．
考点　解三元一次方程组
【典例】解三元一次方程组：
在解三元一次方程组时，可遵循以下原则进行：(1)若方程组中某个方程缺某个未知数，则可从另外两个方程消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．
(2)若三个方程中均未缺少未知数，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等(或成倍数关系)，可消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．(3)若均非上述两种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数的绝对值的最小公倍数最小的那个未知数，转化为二元一次方程组求解．
【变式训练】
观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元的方法应选取( )
A.先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
知识点1?　认识三元一次方程组
1．下列是三元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
知识点2?　三元一次方程组的解法
2．(重庆梁平区期末)解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程组变形为( )
A．①＋③，①×2－② B．①＋③，③×2＋②
C．②－①，②－③ D．①－②，①×2－③
3．(上海浦东新区月考)解方程组：
知识点3?　三元一次方程组的简单应用
4．(湖北襄阳樊城区校级月考)若点P(x，y)满足方程组则点P在第几象限( )
A．一 B．二 C．三 D．四
5．已知单项式－ax＋y－zb5cx＋z－y与a11by＋z－xc是同类项，则x＝ ，y＝ ，z＝ ．
6．某汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶．因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时18分钟．如果汽车在平地上每小时行30千米，上坡每小时行20千米，下坡每小时行40千米．问从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？
7．(湖北武汉洪山区期末)用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫作矩阵．矩阵表示x，y，z的三元一次方程组，若4x＋y－z为定值，则t与m的关系为( )
A．m－2t＝－1 B．m＋2t＝1
C．2m－t＝1 D．2t＋m＝－1
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文(解密).已知加密规则：明文a，b，c对应密文a＋2b，2b＋c，3c.例如：明文1，2，3对应的密文是5，7，9.当接收方收到密文14，9，15时，则解密得到的明文为( )
A．10，5，2 B．10，2，5
C．2，5，10 D．5，10，2
9．(山东临沂沂水县校级期末)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套．
【母题P109例2】在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0，当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．
【变式】　(江苏南通海安市校级期中)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等，求a－2b＋3c的值．
10．(运算能力)(上海校级期末)【学习材料】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例如：已知求2x＋y＋z的值．
解：②－①，得4x＋2y＋2z＝6，③
③×，得2x＋y＋z＝3，
所以，2x＋y＋z的值为3.
【类似迁移】
(1)已知
求3x＋4y＋5z的值．
【实际应用】
(2)学校运动会即将到来，六(2)班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元．六(2)班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？*10.4　三元一次方程组的解法
1．三元一次方程组
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组.
2．三元一次方程组的解法
(1)利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起，即可．
考点　解三元一次方程组
【典例】解三元一次方程组：
解：①＋②，得5x＋2y＝16，④
③＋②，得3x＋4y＝18，⑤
联立④⑤，得方程组
解得
将代入③，得2＋3＋z＝6，
解得z＝1.
所以方程组的解为
在解三元一次方程组时，可遵循以下原则进行：(1)若方程组中某个方程缺某个未知数，则可从另外两个方程消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．
(2)若三个方程中均未缺少未知数，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等(或成倍数关系)，可消去这个未知数，转化为二元一次方程组求解．(3)若均非上述两种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数的绝对值的最小公倍数最小的那个未知数，转化为二元一次方程组求解．
【变式训练】
观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元的方法应选取(B)
A.先消去x B．先消去y
C．先消去z D．以上说法都不对
知识点1?　认识三元一次方程组
1．下列是三元一次方程组的是(D)
A． B．
C． D．
知识点2?　三元一次方程组的解法
2．(重庆梁平区期末)解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程组变形为(C)
A．①＋③，①×2－② B．①＋③，③×2＋②
C．②－①，②－③ D．①－②，①×2－③
3．(上海浦东新区月考)解方程组：
①＋②，得3x＋z＝1④，
(②＋③)÷2，得3x－2z＝－2，⑤
④与⑤组成方程组，得解得
把代入①，得0＋3y＋2＝3，∴y＝，
∴方程组的解为
知识点3?　三元一次方程组的简单应用
4．(湖北襄阳樊城区校级月考)若点P(x，y)满足方程组则点P在第几象限(B)
A．一 B．二 C．三 D．四
5．已知单项式－ax＋y－zb5cx＋z－y与a11by＋z－xc是同类项，则x＝6，y＝8，z＝3．
6．某汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶．因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时18分钟．如果汽车在平地上每小时行30千米，上坡每小时行20千米，下坡每小时行40千米．问从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？
设甲地到乙地行驶过程中平路有x千米，上坡路有y千米，下坡路有z千米．
根据题意，得
解得
答：从甲地到乙地的行驶过程中平路有54千米，上坡路有12千米，下坡路有4千米．
7．(湖北武汉洪山区期末)用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫作矩阵．矩阵表示x，y，z的三元一次方程组，若4x＋y－z为定值，则t与m的关系为(D)
A．m－2t＝－1 B．m＋2t＝1
C．2m－t＝1 D．2t＋m＝－1
8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)；接收方由密文→明文(解密).已知加密规则：明文a，b，c对应密文a＋2b，2b＋c，3c.例如：明文1，2，3对应的密文是5，7，9.当接收方收到密文14，9，15时，则解密得到的明文为(B)
A．10，5，2 B．10，2，5
C．2，5，10 D．5，10，2
9．(山东临沂沂水县校级期末)某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖，1个衣身，1个衣领组成．如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个．请你为该厂设计一下，应该如何安排工人，才能使每天缝制出的衣袖，衣身，衣领正好配套．
设x个人缝制衣袖，y个人缝制衣身，z个人缝制衣领．
则有解得
答：缝制衣袖、衣身、衣领的分别为120人，40人，50人才能使缝出来的衣袖，衣身，衣领正好配套．
【母题P109例2】在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0，当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值．
根据题意，列得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1.④
③－①，得4a＋b＝10.⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.
因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.
【变式】　(江苏南通海安市校级期中)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20；当x＝与x＝时，y的值相等，求a－2b＋3c的值．
∵当x＝与x＝时y的值相等，
∴a＋b＋c＝a＋b＋c，即11a＋6b＝0，
又∵当x＝1时，y＝－2；当x＝－1时，y＝20，
∴得
①－②，得2b＝－22，即b＝－11，
将b＝－11代入③，得a＝6，
把a＝6，b＝－11代入①，∴c＝3，
∴a－2b＋3c＝6＋22＋9＝37.
10．(运算能力)(上海校级期末)【学习材料】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例如：已知求2x＋y＋z的值．
解：②－①，得4x＋2y＋2z＝6，③
③×，得2x＋y＋z＝3，
所以，2x＋y＋z的值为3.
【类似迁移】
(1)已知
求3x＋4y＋5z的值．
【实际应用】
(2)学校运动会即将到来，六(2)班学生准备购买若干啦啦队道具积极准备入场表演，根据商店的价格，若购买3条彩带、2个头饰、1面小红旗需要28元；若购买7条彩带、5个头饰、3面小红旗需要66元．六(2)班共45位同学，则购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要多少元？
(1)①＋②，得6x＋8y＋10z＝36，③
③×，得3x＋4y＋5z＝18，
即3x＋4y＋5z的值为18；
(2)设购买1条彩带需要x元，1个头饰需要y元，1面小红旗需要z元．
由题，可得
②－①×2，得x＋y＋z＝10，③
③×45，得45x＋45y＋45z＝450，
即购买45条彩带、45个头饰、45面小红旗需要450元．

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