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10．2.2　加减消元法
加减法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫作加减消元法，简称加减法．
考点1?　用加减消元法解二元一次方程组
【典例1】解方程组：(1)
(2)
解：(1)①＋②，得4x＝14，解得x＝，把x＝代入①，得＋2y＝9，解得y＝.故原方程组的解为
(2)
①×2＋②×3，得13x＝26，解得x＝2.
把x＝2代入②，得y＝3.
所以原方程组的解是
当方程组中某个未知数的系数的绝对值相等时，直接利用加减法消元；当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再利用加减消元法求解.
【变式训练】
1．(海南三亚期中)解方程：
(1)(2)
(1)
②×2－①，得11n＝－22，
解得n＝－2，
将n＝－2代入②，得2m－6＝－1，
解得m＝2.5，
故原方程组的解为
(2)原方程组整理，得
②－①，得x＝2，
将x＝2代入①，得6－y＝6，解得y＝0，
故原方程组的解为
考点2?　运用二元一次方程组求代数式的值
【典例2】已知二元一次方程组则2x－y的值为4．
解析：对于方程组
①＋②，得2x－y＝4.
解决此类问题的方法有两种：①求出方程组的解，代入求值；②分析方程的特征进行整体加减求值．
【变式训练】
2．已知方程组则x－y的值是2.
知识点1?　加减消元法——同一未知数的系数相同或互为相反数
1.(海南儋州期末)解方程组把两个方程的左右两边分别相减，就消去了y，则m和n应该满足的条件是(A)
A.m＝n B．m＋n＝0
C．m＋n＝1 D．mn＝1
2．(海南三亚海棠区期末)解下列方程组：
(1)(2)
(1)
由①＋②，得4x＝8，
解得x＝2，
把x＝2代入①，得2－2y＝0，
解得y＝1，
故原方程组的解为
(2)
①－②，得6y＝12，
解得y＝2.
把y＝2代入①，得3x＋4＝1，
解得x＝－1.
故原方程组的解为
知识点2?　加减消元法——同一未知数的系数成倍数关系
3.解方程组时，下列消元方法不正确的是(C)
A．①×3－②×2，消去a
B．由②，得b＝4－3a③，把③代入①中消去b
C．①＋②×2，消去b
D．由②×2－①，消去b
4．(浙江中考)解方程组：
①×3＋②，得10x＝5，解得x＝，
把x＝代入①得2×－y＝5，解得y＝－4，
∴方程组的解是
知识点3?　加减消元法——同一未知数的系数不成倍数关系
5.(海南海口期中)用加减法解方程组下列解法正确的是(D)
A．①×3－②×2，消去x
B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x
D．①×2－②×(－3)，消去y
6．(海南海口期中)解方程组：
①×5，得10x－15y＝40，③
②×2，得10x－14y＝36，④
④－③，得y＝－4，把y＝－4代入①，得x＝－2，
∴方程组的解是
知识点4?　加减消元法解二元一次方程组的简单应用
7.乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
设A种农作物的种植面积是x公顷，B种农作物的种植面积是y公顷．
根据题意，得解得
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷．
易错易混点　对于同一个字母系数不是相反数，也不是倍数关系的消元易出错
8.利用加减消元法解方程组嘉嘉说：要消去x，可以将①×3－②×5；淇淇说：要消去y，可以将①×3＋②×2，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是(B)
A．嘉嘉对，淇淇不对
B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉和淇淇都对
D．嘉嘉和淇淇都不对
9．已知实数a，b满足方程组则a－b的值为(A)
A．－5 B．1
C．3 D．5
10．对有理数x，y定义新运算：x?y＝ax＋by＋1，其中a，b是常数．若2?(－1)＝－3，3?3＝4，则a，b的值分别为(B)
A．a＝1，b＝2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝－1，b＝－2 D．a＝1，b＝－2
11．(海南东方校级月考)“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位？
(2)若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案.
(1)设A型车有x个座位，B型车有y个座位．
根据题意，得解得
答：A型车有45个座位，B型车有60个座位；
(2)设租用A，B两种车型的辆数分别为m和n.
根据题意，可得45m＋60n＝480，则有n＝＝8－m，
当m＝4时，n＝8－×4＝5，当m＝8时，n＝8－×8＝2.
∴共有2种租车方案：分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆．
【母题P100T12】我国明代数学家程大位(1533－1606)所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千，
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．
意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果，苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题．
设甜果买了x个，苦果买了y个，
依题意，得解得
∴x＝803，y＝196.
答：甜果买了657个，苦果买了343个；甜果卖803文钱，苦果卖190文钱．
【变式】　某服装店用20 000元购进甲、乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价、标价如表所示．
甲型 乙型
进价(元/件) 40 50
标价(元/件) 60 80
(1)求这两种服装各购进的件数；
(2)如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？
(1)设甲种服装购进x件，乙种服装购进y件，由题意，得解得
答：甲种服装购进250件，乙种服装购进200件．
(2)由题意，得
250×(60×0.8－40)＋200(80×0.7－50)
＝250×8＋200×6
＝3 200(元).
答：全部售完后，服装店共盈利3 200元．
12．(数学运算)规定：形如关于x，y的方程 x＋ky＝b与kx＋y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组.
(1)方程3x＋y＝5的共轭二元一次方程是x＋3y＝5；
(2)若关于x，y的方程组
为共轭方程组，求a，b的值；
(3)若方程x＋ky＝b中x，y的值满足下表：
x －1 0
y 0 2
求这个方程的共轭二元一次方程；
(4)解下列方程组(直接写出方程组的解即可).
①的解为；
②的解为；
③的解为．
结论：若共轭方程组的解是请直接写出m与n的数量关系．
(2)由题意，得解得
(3)把与分别代入x＋ky＝b中，得解得
∴这个方程为x－y＝－1，其共轭二元一次方程是－x＋y＝－1.
(4)①②③
m与n的数量关系是m＝n.10．2.2　加减消元法
加减法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一个未知数的系数 或 时，把这两个方程的两边分别 ，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫作加减消元法，简称 ．
考点1?　用加减消元法解二元一次方程组
【典例1】解方程组：(1)
(2)
当方程组中某个未知数的系数的绝对值相等时，直接利用加减法消元；当方程组中两个未知数的系数均不成整数倍时，一般选择系数较为简单的未知数消元，将两个方程分别乘某个数，使该未知数的系数的绝对值相等，再利用加减消元法求解.
【变式训练】
1．(海南三亚期中)解方程：
(1)(2)
考点2?　运用二元一次方程组求代数式的值
【典例2】已知二元一次方程组则2x－y的值为 ．
解决此类问题的方法有两种：①求出方程组的解，代入求值；②分析方程的特征进行整体加减求值．
【变式训练】
2．已知方程组则x－y的值是 .
知识点1?　加减消元法——同一未知数的系数相同或互为相反数
1.(海南儋州期末)解方程组把两个方程的左右两边分别相减，就消去了y，则m和n应该满足的条件是( )
A.m＝n B．m＋n＝0
C．m＋n＝1 D．mn＝1
2．(海南三亚海棠区期末)解下列方程组：
(1)(2)
知识点2?　加减消元法——同一未知数的系数成倍数关系
3.解方程组时，下列消元方法不正确的是( )
A．①×3－②×2，消去a
B．由②，得b＝4－3a③，把③代入①中消去b
C．①＋②×2，消去b
D．由②×2－①，消去b
4．(浙江中考)解方程组：
知识点3?　加减消元法——同一未知数的系数不成倍数关系
5.(海南海口期中)用加减法解方程组下列解法正确的是( )
A．①×3－②×2，消去x
B．①×2－②×3，消去y
C．①×(－3)＋②×2，消去x
D．①×2－②×(－3)，消去y
6．(海南海口期中)解方程组：
知识点4?　加减消元法解二元一次方程组的简单应用
7.乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
易错易混点　对于同一个字母系数不是相反数，也不是倍数关系的消元易出错
8.利用加减消元法解方程组嘉嘉说：要消去x，可以将①×3－②×5；淇淇说：要消去y，可以将①×3＋②×2，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是( )
A．嘉嘉对，淇淇不对
B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉和淇淇都对
D．嘉嘉和淇淇都不对
9．已知实数a，b满足方程组则a－b的值为( )
A．－5 B．1
C．3 D．5
10．对有理数x，y定义新运算：x?y＝ax＋by＋1，其中a，b是常数．若2?(－1)＝－3，3?3＝4，则a，b的值分别为( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝－1，b＝2
C．a＝－1，b＝－2 D．a＝1，b＝－2
11．(海南东方校级月考)“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位．
(1)求A，B两种车型各有多少个座位？
(2)若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案.
【母题P100T12】我国明代数学家程大位(1533－1606)所著《算法统宗》中记载了“二果问价”问题：
九百九十九文钱，甜果苦果买一千，
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．
试问甜苦果几个，又问各该几个钱．
意思是：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个，已知十一文钱可以买九个甜果，四文钱可以买七个苦果，那么甜果，苦果各买了多少个？每个甜果、苦果分别卖多少文钱？请你解决这个问题．
【变式】　某服装店用20 000元购进甲、乙两种新式服装共450套，这两种服装的进价、标价如表所示．
甲型 乙型
进价(元/件) 40 50
标价(元/件) 60 80
(1)求这两种服装各购进的件数；
(2)如果甲种服装按标价的8折出售，乙种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店共盈利多少元？
12．(数学运算)规定：形如关于x，y的方程 x＋ky＝b与kx＋y＝b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1.由这两个方程组成的方程组叫作共轭方程组.
(1)方程3x＋y＝5的共轭二元一次方程是 ；
(2)若关于x，y的方程组
为共轭方程组，求a，b的值；
(3)若方程x＋ky＝b中x，y的值满足下表：
x －1 0
y 0 2
求这个方程的共轭二元一次方程；
(4)解下列方程组(直接写出方程组的解即可).
①的解为 ；
②的解为 ；
③的解为 ．
结论：若共轭方程组的解是请直接写出m与n的数量关系．

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