资源简介

10．1　二元一次方程组的概念
1．二元一次方程
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作二元一次方程．
2．二元一次方程组
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3．二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
二元一次方程有无数个解．
4．二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．
考点1?　识别二元一次方程(组)的解
【典例1】已知下列四对数值：
①②③④
(1)哪几对是方程2x－y＝5的解？
(2)哪几对是方程x＋3y＝6的解？
(3)哪几对是方程组的解？
解：通过检验，可得
(1)①和②是方程2x－y＝5的解；
(2)①和③是方程x＋3y＝6的解；
(3)①是方程组的解．
把两个未知数的值分别代入方程组中的每个方程，若两个方程都成立，则这两个未知数的值就是该方程组的解；只要有一个方程不成立，这两个未知数的值就不是该方程组的解．
【变式训练】
1．如果方程x－y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为那么这个方程是(A)
A.2(x－y)＝6y B．x＋2y＝5
C．x＋2y＝9 D．3x－4y＝16
考点2?　已知二元一次方程的解求未知字母(式子)的值
【典例2】已知是关于x，y的二元一次方程2x＋m＋y＝0的一个解，则m的值是(D)
A.3 B．1
C．－3 D．－1
解析：把代入二元一次方程2x＋m＋y＝0，得2＋m＋(－1)＝0，
解得m＝－1.
此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程求值，或整体代入求值．
【变式训练】
2．已知是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝3的一组解，则代数式4a＋2b－2的值为4．
知识点1?　二元一次方程(组)的概念
1．(海南海口秀英区校级月考)下列各式中是二元一次方程的有(A)
A.2x－3y＝5 B．xy－y＝1
C．2x＋3y D．＋＝
2．(海南琼海期末)下列方程组中是二元一次方程组的是(B)
A． B．
C． D．
3．(海南三亚海棠区校级期末)若(m－2)x＋3y|m-1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是(C)
A．2 B．2或0
C．0 D．任何数
知识点2?　二元一次方程(组)的解
4．(海南琼海校级期末)若是方程x＋my＝－7的一个解，则m的值是(A)
A．5 B．－5 C．6 D．－6
5．(湖南长沙开学)关于x，y的二元一次方程组的解为则整式A可以是x－1(答案不唯一)．
6．(海南东方期中)杨老师解方程组时得其解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数●＝13，★＝－2．
知识点3?　建立二元一次方程(组)模型
7．(山东济宁邹城市月考)根据下列语句，设适当的未知数，列出二元一次方程(组)：
(1)甲数的2倍与乙数的的差等于48的；
(2)某学校招收八年级学生292人，其中男生人数比女生人数多35人．
(1)设甲数为x，乙数为y，可得2x－y＝48×；
(2)设男生人数为x，女生人数为y，可得
易错易混点　错解二元一次方程的正整数解个数8.二元一次方程2x＋y＝11的正整数解有5个.
∵2x＋y＝11，∴x＝.当y为小于11的奇数时，x有正整数解，∴满足条件的解有y＝1，x＝5；y＝3，x＝4；y＝5，x＝3；y＝7，x＝2；y＝9，x＝1共5个．故答案为5.
9．下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是(D)
A. B．
C． D．
10．已知1辆A型车载满货物一次可运货1吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案(B)
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
11．(上海嘉定区期末)方程2x＋y＝5的非负整数解有或或．
12．(北京通州区期末)已知关于x，y的二元一次方程kx＋y＝3－k，k是不为零的常数．
(1)如果是该方程的一个解，求k的值；
(2)当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解．
(1)把代入二元一次方程kx＋y＝3－k中，得2k－3＝3－k，解得k＝2.
(2)原方程可化为k(x＋1)＋y＝3，
当x＋1＝0时，无论k取任何一个不为零的值时，都有y＝3，
此时x＝－1，即这个公共解是
【母题P90T5】把一根长7 m的钢管截成2 m长和1 m长两种规格的钢管，为了不造成浪费，应截成2 m长和1 m长的钢管各多少根？你能用二元一次方程来解决这个问题吗？
截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7 m时，不造成浪费，设截成2 m长的钢管x根，1 m长的钢管y根，
由题意，得2x＋y＝7.
∵x，y都是正整数，
∴符合条件的解为则有3种不同的截法．
【变式】　某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组(D)
A. B．
C． D．
13．把y＝ax＋b(其中a，b是常数，x，y是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax＋b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程” y＝3x－4化为x＝3x－4，其“完美值”为x＝2.
(1)求“雅系二元一次方程” y＝5x－6的“完美值”．
(2)x＝－3是“雅系二元一次方程” y＝x＋m的“完美值”，求m的值．
(3)是否存在n，使得“雅系二元一次方程” y＝－x＋n与y＝3x－n＋1(n是常数)的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由.
(1)∵y＝5x－6是“雅系二元一次方程”，
∴x＝5x－6，解得x＝，
∴“雅系二元一次方程”y＝5x－6的“完美值”为x＝.
(2)∵x＝－3是“雅系二元一次方程”y＝x＋m的“完美值”，
∴－3＝×(－3)＋m，解得m＝－2.
(3)存在n，使得“雅系二元一次方程”y＝－x＋n与y＝3x－n＋1(n是常数)的“完美值”相同，理由如下：
由x＝－x＋n，得x＝n；由x＝3x－n＋1，得x＝，
∴n＝，解得n＝5，∴x＝2，∴“完美值”为x＝2.10．1　二元一次方程组的概念
1．二元一次方程
含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 ，像这样的方程叫作二元一次方程．
2．二元一次方程组
把具有相同未知数的两个 方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
3．二元一次方程的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的 个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
二元一次方程有 个解．
4．二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的 解，叫作二元一次方程组的解．
考点1?　识别二元一次方程(组)的解
【典例1】已知下列四对数值：
①②③④
(1)哪几对是方程2x－y＝5的解？
(2)哪几对是方程x＋3y＝6的解？
(3)哪几对是方程组的解？
把两个未知数的值分别代入方程组中的每个方程，若两个方程都成立，则这两个未知数的值就是该方程组的解；只要有一个方程不成立，这两个未知数的值就不是该方程组的解．
【变式训练】
1．如果方程x－y＝3与下面方程中的一个组成的方程组的解为那么这个方程是( )
A.2(x－y)＝6y B．x＋2y＝5
C．x＋2y＝9 D．3x－4y＝16
考点2?　已知二元一次方程的解求未知字母(式子)的值
【典例2】已知是关于x，y的二元一次方程2x＋m＋y＝0的一个解，则m的值是( )
A.3 B．1
C．－3 D．－1
此题考查的是二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程求值，或整体代入求值．
【变式训练】
2．已知是关于x，y的二元一次方程ax＋by＝3的一组解，则代数式4a＋2b－2的值为 ．
知识点1?　二元一次方程(组)的概念
1．(海南海口秀英区校级月考)下列各式中是二元一次方程的有( )
A.2x－3y＝5 B．xy－y＝1
C．2x＋3y D．＋＝
2．(海南琼海期末)下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A． B．
C． D．
3．(海南三亚海棠区校级期末)若(m－2)x＋3y|m-1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是( )
A．2 B．2或0
C．0 D．任何数
知识点2?　二元一次方程(组)的解
4．(海南琼海校级期末)若是方程x＋my＝－7的一个解，则m的值是( )
A．5 B．－5 C．6 D．－6
5．(湖南长沙开学)关于x，y的二元一次方程组的解为则整式A可以是 ．
6．(海南东方期中)杨老师解方程组时得其解为由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数●＝ ，★＝ ．
知识点3?　建立二元一次方程(组)模型
7．(山东济宁邹城市月考)根据下列语句，设适当的未知数，列出二元一次方程(组)：
(1)甲数的2倍与乙数的的差等于48的；
(2)某学校招收八年级学生292人，其中男生人数比女生人数多35人．
易错易混点　错解二元一次方程的正整数解个数8.二元一次方程2x＋y＝11的正整数解有 个.
9．下面四组数值中，是二元一次方程组的解的是( )
A. B．
C． D．
10．已知1辆A型车载满货物一次可运货1吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨．某公司有14吨货物，计划同时租用A型车和B型车，一次运完，且每辆车都装满货物，共有租车方案( )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
11．(上海嘉定区期末)方程2x＋y＝5的非负整数解有 ．
12．(北京通州区期末)已知关于x，y的二元一次方程kx＋y＝3－k，k是不为零的常数．
(1)如果是该方程的一个解，求k的值；
(2)当k每取一个不为零的值时，都可得到一个方程，而这些方程都有一组公共的解，试求出这个公共解．
【母题P90T5】把一根长7 m的钢管截成2 m长和1 m长两种规格的钢管，为了不造成浪费，应截成2 m长和1 m长的钢管各多少根？你能用二元一次方程来解决这个问题吗？
【变式】　某学校为学生配备物理电学实验器材，一个电表包内装有1个电压表和2个电流表．某生产线共60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表．若分配x名工人生产电压表，y名工人生产电流表，恰好使每天生产的电压、电流表配成套，则可列出方程组( )
A. B．
C． D．
13．把y＝ax＋b(其中a，b是常数，x，y是未知数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax＋b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程” y＝3x－4化为x＝3x－4，其“完美值”为x＝2.
(1)求“雅系二元一次方程” y＝5x－6的“完美值”．
(2)x＝－3是“雅系二元一次方程” y＝x＋m的“完美值”，求m的值．
(3)是否存在n，使得“雅系二元一次方程” y＝－x＋n与y＝3x－n＋1(n是常数)的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由.

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