资源简介

(共88张PPT)
高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第四章
曲线运动
第2讲　抛体运动
知识梳理　夯实基础
考点探究　提升能力
课时通关精练
02
03
01
学习目标
教考衔接
知识梳理　夯实基础
重力
匀速直线
自由落体
g
AI精准定位：高考命题关键点
重力
相等
等于
v0cos θ
v0sin θ－gt
AI精准定位：高考命题关键点
考点探究　提升能力
角度突破
平抛运动的特点及规律
考点一
破题路径
能力要语
思维链
角度突破
平抛运动的落点问题
考点二
角度突破
角度突破
角度突破
平抛运动的临界和极值问题
考点三
思维链
平抛运动的临界和极值问题
考点四
破题路径
角度突破
能力要语
解题通法
类平抛运动
考点五
破题路径
课时通关精练(十一)　抛体运动
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谢谢观看第2讲　抛体运动
对应学生用书P75
学习目标 教考链接
1.掌握平抛运动的规律；会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题 2.会处理平抛运动中的临界、极值问题 3.会运用运动的合成与分解处理斜抛运动问题 1.基础与综合并重：既考查平抛、斜抛的基本公式(如射程、飞行时间)，又强调多过程组合问题的分析能力 2.情境化命题增多：常结合体育竞技(如投篮、跳远)、斜面碰撞等实际场景，考查建模与几何分析能力 3.数学工具强化：突出三角函数、极值问题(如45°最大射程)及图像分析(v-t图像、轨迹图) 4.能量视角渗透：部分题目要求用机械能守恒求解，体现知识交叉
一、平抛运动的规律及应用
1.定义：物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动，如图所示。
2.平抛运动的特点
　研究方法：化曲为直——运动的分解
3.性质：加速度为g的匀加速曲线运动，运动轨迹为抛物线。
4.规律
速度 规律
位移 规律
5.推论
图示
推论 1.任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中xB＝。 2.在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α
证明 ① xB＝； ②tan θ＝2tan α
AI精准定位：高考命题关键点
平抛运动的基本规律与分解
1.水平匀速，竖直匀加速：水平方向速度不变，竖直方向为自由落体运动。
2.下落高度决定时间：竖直位移h＝gt2，运动时间仅由高度决定。
3.瞬时速度合成：v＝，方向由tan θ＝决定
【例1】 某同学在进行垃圾分类时，尝试以抛射的方式将空饮料瓶投入对应的回收箱中。已知某次学生水平抛射时，抛出点离地1.80 m，距回收箱的水平距离为1.80 m。回收箱洞口离地1.35 m。不计空气阻力，试估算饮料瓶离开手时速度的大小为(　　)
A.2 m/s B.3 m/s
C.4 m/s D.6 m/s
题后反思：
平抛与实际问题结合
1.斜面约束问题：落点位于斜面时，位移或速度方向与斜面夹角关联，需几何分解。
2.临界条件分析：如恰好越过障碍物，需同时满足水平与竖直位移限制条件。
【例2】 某游乐场有一项娱乐项目，游戏选手从离地面高H＝42.5 cm的发射平台将小球(可视为质点)水平抛出，小球垂直落在表面为弹性材料的固定斜面A上，若小球能垂直击中斜面等速率反弹并沿原路回到发射平台，则游戏成功。如图所示，抛出点正下方是斜面A的最低点，斜面与水平面的夹角θ＝37°，取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力。要想游戏成功，小球的抛出速度大小应为(　　)
A.1.5 m/s B.1.6 m/s
C.3 m/s D.3.2 m/s
题后反思：
二、斜抛运动
1.定义：将物体以速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，只在重力作用下的运动。
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动。斜上抛的运动轨迹是如图所示的抛物线。
3.对称性
轨迹对称 斜上抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称
速度对称 相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等。即水平方向速度相同，竖直方向速度等大反向
时间对称 相对于轨迹最高点，两侧对称的两段上升时间等于下降时间
4.规律
斜抛运动的基本规律与分解
1.正交分解原则：水平匀速，竖直匀变速。
2.飞行时间公式：t＝，由初速度竖直分量决定。
3.射程极值：θ＝45°时射程最大，xmax＝。
【例3】 投掷铅球时，铅球出手高度、出手速度大小及抛出角均对成绩有影响。甲同学在某次练习投掷铅球时，抛出角θ＝37°，乙同学用手机的连拍功能记录了铅球在空中的运动位置，如图所示。已知手机连拍时间间隔为0.2 s，图中第1张为铅球刚出手，第4张为最高点，第8张铅球刚好落在水平地面，测得水平射程x＝11.2 m。不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，则此次投掷铅球的出手速度v0大小及抛出点离地高度h分别为(　　)
A.8 m/s、1.4 m
B.8 m/s、1.8 m
C.10 m/s、1.4 m
D.10 m/s、1.8 m
题后反思：
【例1】 解析：选D。设抛出点离地h1，回收箱洞口离地h2，抛出点距回收箱的水平距离为x，平抛的初速度为v0，根据平抛运动的规律可得x＝v0t，h1－h2＝gt2，代入数据解得v0＝6 m/s，D正确。
【例2】 解析：选A。由题可知，小球垂直落到斜面上，则有tan θ＝，又因为小球从离地面高H＝0.425 m处抛出，根据几何关系可知H－y＝xtan θ，其中y＝gt2，x＝v0t，解得t＝0.2 s，v0＝1.5 m/s，A正确。
【例3】 解析：选C。第1张至第4张的时间间隔为t1＝0.6 s，第4张至第8张的时间间隔为t2＝0.8 s，水平方向x＝v0cos θ(t1＋t2)，解得v0＝10 m/s，竖直方向h＝g－t1，解得h＝1.4 m，C正确。
考点一　平抛运动的特点及规律
定性分析平抛轨迹弯曲程度与初速度的关系
【例1】 (生产生活融通题)(2025·云南高考)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
解析：选D。
鸟食的运动视为平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，下落高度大的时间长，要同时接到鸟食，则在N点接到的鸟食先抛出，A、B错误；在水平方向有x＝v0t，如图所示，过M点作一水平面，可看出在相同高度处M点的水平位移大，则M点接到的鸟食平抛的初速度较大，C错误，D正确。
【母题变式】 (变条件)如图所示，某同学将两颗鸟食同时从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A.两只小鸟同时接到鸟食
B.在N点的小鸟先接到鸟食
C.两颗鸟食平抛的初速度有可能相同
D.在N点接到的鸟食平抛的初速度较小
解析：选D。平抛运动的时间取决于竖直方向的自由落体运动，自由下落高度大的时间长，鸟食同时抛出则在M点的小鸟先接到鸟食，A、B错误；水平分运动为匀速直线运动，从O到N的平抛时间长、位移短，故初速度一定较小，C错误，D正确。
角度突破
1.定时间(如图甲所示)
由t＝知，飞行时间t取决于下落高度h，与初速度v0无关。
2.定射程(如图乙所示)
x＝v0，即水平射程x由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关。
破题路径
教学札记：
定量计算平抛射程和初速度关系
【例2】 (2024·浙江高考)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　)
A.　 B.
C. D.(＋1)D
思维链
能力要语
平抛运动的题目要么分解速度、要么分解位移，先列出相关方程，再联立求解。
【例2】 解析：选C。
考点二　平抛运动的落点问题
竖直面上平抛运动落点规律的探究
【例3】 某同学玩掷飞镖游戏，先后将两只飞镖a、b由同一位置水平投出，已知飞镖投出的初速度va＜vb，不计空气阻力，则两只飞镖插在竖直靶上的状态(侧视图)可能是(　　)
角度突破
如果从同一点平抛的物体，由于水平初速度v0不同，导致在同一竖直面上落点不同，但其水平位移x相同，根据t＝可知其运动时间不相同。
【例3】 解析：选A。两只飞镖由同一位置水平投出，即两只飞镖的水平位移x相同，则运动时间分别为ta＝，tb＝，由于va＜vb，所以ta＞tb；其竖直位移分别为ya＝g，yb＝g，则ya＞yb，即飞镖b插在竖直靶上的位置较高。飞镖的速度方向与水平方向夹角的正切值分别为tan α＝＝＝，tan β＝＝＝，由于vα＜vβ，所以tan α＞tan β，即飞镖a插在竖直靶上时飞镖的速度方向与水平方向夹角较大，A正确。
斜面上平抛运动落点位置几何约束分析
【例4】 (教材习题改编)跳台滑雪是一项勇敢者的运动，运动员穿专用滑雪板，在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。现有某运动员从跳台A处沿水平方向飞出，在斜坡B处着陆，如图所示。测得A、B间的竖直高度差为20 m，斜坡与水平方向的夹角为30°，不计空气阻力，g取10 m/s2。则下列说法错误的是(　　)
A.运动员在A处的速度大小为10 m/s
B.运动员在空中飞行的时间为2 s
C.运动员在空中离坡面的最大距离为 m
D.运动员从A到B速度变化量为10 m/s
题后反思：
角度突破
1.已知速度的方向垂直于斜面
水平方向vx＝v0；竖直方向vy＝gt；角度tan θ＝。
2.已知位移的方向沿斜面向下
水平方向x＝v0t；竖直方向y＝gt2；角度tan θ＝。
【例4】 解析：选D。运动员做平抛运动，在竖直方向有h＝gt2，解得t＝2 s，B正确；在水平方向有x＝＝20 m，则水平速度为v0＝＝10 m/s，A正确；运动员沿斜面方向的分加速度为ax＝gsin 30°＝5 m/s2，在垂直斜面方向的分加速度为ay＝gcos 30°＝5 m/s2，当运动员运动方向与斜面平行时，离斜面最远，此时垂直斜面方向的分速度为零，可得运动员离斜面最远为d＝，其中vy＝v0sin 30°，解得d＝ m，C正确；运动员从A到B速度变化量为Δv＝gt＝20 m/s，D错误。
曲面约束下平抛运动落点轨迹分析
【例5】 如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，现同时从A、B两点水平相向抛出甲、乙两个小球，其初速度大小分别为v1、v2，且均落在轨道上的C点，已知OC与竖直方向的夹角θ＝30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球不会同时落到轨道上
B.两者初速度关系为v1＞v2
C.整个下落过程，甲球速度变化量大于乙球速度变化量
D.甲球可沿半径方向垂直打在轨道上C点
解析：选B。由图可知，两个小球下落的高度是相等的，根据h＝gt2，又Δv＝gt，可知甲、乙两球下落到轨道的时间相等，即甲、乙两球同时落到轨道上，甲、乙两球下落到轨道的速度变化量相同，A、C错误；下落时间相同，且甲的水平位移大于乙，故两者初速度关系为v1＞v2，B正确；由平抛运动推论，速度反向延长线过水平位移中点，由题图可知若甲球垂直打在轨道上，由几何关系，此时其速度方向延长线过O点，与推论矛盾，则甲球不可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上，D错误。
角度突破
1.从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半圆内的不同位置。
2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地沿B点的切线方向进入圆轨道。
速度方向垂直于半径OB，圆心角α与速度的偏转角相等。
考点三　平抛运动的临界和极值问题
平抛运动中碰撞边界的判定
【例6】 (体育运动融通题)如图所示为排球比赛场地示意图，其长度为L，宽度为s，球网高度为h。比赛中假设某次球员在底线中点正上方沿水平方向发球，发球点高度为1.5h，排球做平抛运动(排球可看作质点，忽略空气阻力)，重力加速度为g，则排球(　　)
A.能过网的最小初速度为
B.能落在界内的最大位移为
C.能过网而不出界的最大初速度为
D.能落在界内的最大末速度为
【例7】 如图所示，窗子上、下边沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以速度v水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2。则v的取值范围是(　　)
A.3 m/s＜v＜7 m/s B.2.3 m/s＜v＜3 m/s
C.v＞7 m/s D.v＜2.3 m/s
角度突破
1.初速度临界
(1)如图甲，小球恰好能经过球网的上边沿，若小球初速度小于该值，则无法通过球网。
(2)如图乙，小球不限方向水平抛出，恰好不出界，若小球初速度大于该值，则无法落到界内。
2.高度临界
如图丙，当发球点高度低于hmin时，无论初速度如何，小球都无法过网。
若初速度一定，位于最小高度处发球时小球恰好触网。
思维链
【例6】 解析：选C。根据平抛运动的两个分运动规律有x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝x2，刚能过网的条件为x＝，y＝1.5h－h＝0.5h，代入轨迹方程可得最小初速度为v0＝，故A错误；能落在界内的最大位移是落在斜对角上，由几何关系有smax＝ ，故B错误；能过网而不出界落在斜对角上时有最大初速度，条件为x＝，y＝1.5h，代入轨迹方程可得最大初速度为v0max＝·＝，故C正确；根据末速度的合成规律可知，能落在界内的最大末速度为vmax＝＝ ，故D错误。
【例7】 解析：选A。小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时水平方向L＝vmaxt，竖直方向h＝gt2，解得vmax＝7 m/s；小物件恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有水平方向L＋d＝vmint'，竖直方向H＋h＝gt'2，解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s＜v＜7 m/s，故A正确。
考点四　斜抛运动
定性分析斜抛轨迹的对称性与参数关联
【例8】 (2024·江苏高考)某广场喷泉喷出的两水柱如图中a、b所示。不计空气阻力，a、b中的水(　　)
A.加速度相同
B.喷出时的初速度相同
C.在最高点的速度相同
D.在空中的运动时间相同
答案：选A。
破题路径
定量计算斜抛运动的射高与射程等物理量
【例9】 限重空投项目是飞行器设计创新大赛中最精彩、难度最大的项目。某次空投沙袋时飞行器与水平面的仰角θ＝30°，离地高度h＝15 m，速度v0＝20 m/s。沙袋相对于飞行器无初速度释放，忽略空气阻力对沙袋的影响，g取10 m/s2。求：
(1)沙袋离地面最大高度H；
(2)沙袋落地点距释放点的水平距离L。
解析：(1)沙袋释放瞬间，沿竖直方向的分速度大小为
vy＝v0sin θ＝10 m/s，方向竖直向上
则沙袋上升到最高点时，距抛出点的竖直高度为
h1＝＝5 m
沙袋离地面最大高度为
H＝h＋h1＝20 m。
(2)沙袋释放瞬间，沿水平方向的分速度大小为
vx＝v0cos θ＝10 m/s
沙袋在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上，取竖直向上为正方向，则根据时间位移公式有
－h＝vyt－gt2
解得沙袋从抛出到落地，在竖直方向上运动的时间为t＝3 s，根据分运动的等时性可知，沙袋在水平方向上运动的时间也为3 s，则沙袋落地点距释放点的水平距离为L＝vxt＝30 m。
答案：(1)20 m　(2)30 m
角度突破
图像
速度 水平方向上：v0x＝v0cos θ 竖直方向上：v0y＝v0sin θ－gt
位移 水平方向：x＝v0cos θ·t 竖直方向：y＝v0sin θ·t－gt2
射高 y＝
射程 x＝，θ＝45°时射程最大
能力要语
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析，看成平抛运动；分析完整的斜上抛运动时，还可根据对称性求解某些问题。
考点五　类平抛运动
类平抛模型迁移与临界分析
【例10】 如图甲所示，一倾角为θ＝30°的光滑斜面上绘有方格(图中未画出)，每个正方形小方格的边长为d。从斜面上的A点以某一初速度沿AB水平抛出一小球，频闪照相记录下小球在不同时刻的部分位置如图乙所示，已知频闪的时间间隔为Δt。下列说法正确的是(　　)
A.小球抛出的初速度大小为
B.当地的重力加速度大小为
C.小球从A点开始运动到CD边所用的时间为4.8Δt
D.小球运动到图乙中E点时的速度大小为
题后反思：
解题通法
常规分解法 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动，两分运动彼此独立、互不影响，且与合运动具有等时性
特殊分解法 对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y轴方向上列方程求解
破题路径
【例10】 解析：选B。由方格纸各点的横向位置可知，小球的初速度v0＝，A错误；研究各点沿斜面方向的位置有Δy＝4d＝a(Δt)2＝gsin θ×(Δt)2，解得g＝，B正确；A点到CD边沿斜面方向的距离y＝24d＝gsin θ×t2，解得t＝2Δt，C错误；E点沿斜面垂直CD方向的速度vE＝gsin θ×3Δt＝，但E点还有沿AB方向的速度，D错误。
[课时通关精练(十一)]　抛体运动
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.(体育运动融通题)如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则(　　)
A.两次击中墙时的速度相等
B.沿1轨迹打出时的初速度比沿2轨迹打出时的初速度大
C.从打出到撞墙，沿1轨迹的网球在空中运动的时间长
D.从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动的时间长
答案：选B。
2.如图所示，一小球从空中某点水平抛出，依次经过A、B两点。已知A、B两点间的竖直距离为h，小球经过A、B两点时速度方向与水平方向的夹角分别为30°、45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则小球的初速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D。设小球的水平速度为v0，则在A点的竖直分速度vAy＝v0tan 30°，在B点的竖直分速度vBy＝v0tan 45°，在竖直方向根据匀变速直线运动规律有－＝2gh，解得v0＝，D正确。
3.(2025·苏州高三期末)如图所示，同时从H点斜向上抛出物体1、2，分别落于Q1、Q2两位置，两条轨迹交于P点且最高点等高，不计空气阻力，则物体2(　　)
A.在空中运动的时间更长
B.经过P点时的速度更大
C.落地时的速度方向与水平方向的夹角更大
D.与物体1之间的距离先增大后减小再增大
解析：选B。斜抛可看成最高点向两侧的平抛运动，两条轨迹最高点等高，竖直方向的位移相同，根据h＝gt2可知，两物体在空中运动的时间相同，A错误；根据斜抛的水平方向为匀速直线运动，可得x＝vxt，由图可知，物体2的水平位移较大，则v2x＞v1x，经过P点时的速度为vP＝，两物体竖直速度相等，所以物体2经过P点时的速度更大，B正确；落地时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由于v2x＞v1x，所以落地时物体2的速度方向与水平方向的夹角更小，C错误；由于两物体运动时间相同，所以两物体始终处于同一高度，所以两物体间的距离为Δx＝(v2x－v1x)t，由此可知，两物体之间的距离不断增大，D错误。
4.(2024·湖北高考)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
解析：选C。青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大，初速度越小，因此应跳到荷叶c上面，C正确。
5.如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上Q点处，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，则(　　)
A.PQ间距一定为原来间距的2倍
B.空中的运动时间变为原来的倍
C.夹角α将变大
D.夹角α将不变
解析：选D。小球从抛出到落到斜面上，有tan θ＝＝，可得t＝ ，若把初速度变为2v0，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，根据y＝gt2，可知小球下落高度变为原来的4倍，易知PQ间距并非为原来间距的2倍，A、B错误；根据平抛运动推论，平抛运动的合速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有tan (α＋θ)＝2tan θ，由于θ不变，则夹角α将不变，C错误，D正确。
6.如图所示，足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点，两次射门，足球分别垂直打在水平横梁上的a点和竖直梁上的b点，到达a、b两点瞬间速度大小为va、vb，从射出到打到a、b两点的时间是ta、tb，不计空气作用力，则(　　)
A.va＜vb B.va＞vb
C.ta＜tb D.ta＝tb
解析：选A。设球门宽度为x1，足球到球门的距离为x2，根据逆向思维法可知，足球做平抛运动，当足球打到a点时，有x2＝vata，ha＝g，当足球打到b点时，有＝vbtb，hb＝g，由于ha＞hb，则ta＞tb，va＜vb，A正确。
7.(2025·泰州二模)如图所示，A、B两篮球从相同高度以相同方向抛出后直接落入篮筐，两球从抛出到落入篮筐过程中，下列说法正确的是(　　)
A.两球的运动时间相同
B.两球抛出时速度相等
C.两球在最高点加速度都为零
D.两球速度变化量的方向始终竖直向下
解析：选D。分析可知A、B两球均做斜抛运动，且A运动的最大高度比B的大，由斜抛规律可知A球在空中运动时间长，A错误；设初速度方向与水平方向夹角为θ，则有hA＝ ，hB＝，因为hA＞hB，故vA＞vB，B错误；两球在最高点的加速度均为重力加速度，C错误；速度变化量的方向与加速度方向相同，所以两球速度变化量的方向即为重力加速度的方向，即速度变化量的方向始终竖直向下，D正确。
8.如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长为a＝5 m、宽为b＝4 m、倾角为θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端A处射出，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动的加速度为10 m/s2
B.小球从B点运动到A点所用时间为2 s
C.小球从B点水平射入时的速度为2 m/s
D.小球从B点水平射入时的速度为4 m/s
解析：选C。对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得mgsin 30°＝ma0，解得a0＝gsin 30°＝5 m/s2，方向沿斜面向下，A错误；小球从B点到A点做类平抛运动，设球从B点水平射入时的速度为v0，从B运动到A所用时间为t，水平方向有b＝v0t，沿斜面向下方向有a＝a0t2，联立解得t＝ s，v0＝2 m/s，C正确，B、D错误。
9.如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1、v2、v3平抛出三个小球，分别经过t1、t2、t3的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是(　　)
A.三个小球平抛运动时间的大小关系为t1＜t2＜t3
B.三个小球平抛初速度的大小关系为v1＝v3＜v2
C.落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D.落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60°
解析：选D。根据t＝，B处小球竖直位移最大，时间最长，A、C处两个小球竖直位移相等，时间相同，故A错误；三个小球下落相同高度的情况下，时间相同，根据v0＝，C处小球抛得最远，A处小球抛得最近，故平抛初速度满足v1＜v2＜v3，故B错误；做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故C错误；落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为α，则tan α＝2tan 45°＝2＞tan 60°，速度与水平方向夹角大于60°，故D正确。
10.山西刀削面闻名遐迩，厨师削面时，将面片从离锅边缘正上方一定高度处以速度v0水平抛出，面片恰好落入锅的正中间，此时面片与水平方向成θ角。已知水平速度v0＝1 m/s，tan θ＝3，锅可视为一个水平放置的半球体，O为球心，g取10 m/s2，不计空气阻力，面片视为质点。求：
(1)面片抛出点与锅面的高度差；
(2)为了让面片落到锅中，面片被抛出时速度的最大值。
解析：(1)根据速度的分解有tan θ＝
解得vy＝3 m/s
根据速度—位移公式有＝2gh
解得h＝＝0.45 m。
(2)面片从离锅边缘正上方一定高度处以速度v0水平抛出，面片恰好落入锅的正中间，则R＝v0t
竖直方向有h＝gt2
若面片被抛出时速度最大，水平方向有
2R＝vmaxt
解得vmax＝＝2 m/s。
答案：(1)0.45 m　(2)2 m/s
11.某中学举办了“水火箭比赛”，同学们积极参与，展示了功能各异的水火箭，如图甲所示。某科技小组用小钢球模拟“水火箭”实现“定点打靶”，将目标置于h＝3.2 m高的竖直墙面上，将1号小钢球放在水平地面A点，发射位置到墙体的水平距离x＝12 m，调整发射角度θ(θ为初速度与水平方向夹角)，当初速度为v0时，1号小钢球恰好垂直墙体击中目标。不计空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，小钢球与目标均可视为质点。
(1)求1号小钢球发射的初速度大小及初速度与水平方向夹角的正切值；
(2)若在1号小钢球前进方向的水平地面上B点放置另一2号拦截小钢球，其发射方向竖直向上，A点与B点距离为x'＝6 m，如图乙所示，发射1号小钢球后Δt＝0.1 s后发射2号拦截小钢球，要使拦截成功，则2号拦截小钢球的发射速度v为多大？
解析：(1)初速度为v0的1号小钢球做斜上抛运动，恰好垂直墙体击中目标，由逆向思维法可等效为平抛运动，则有
x＝vxt，h＝gt2
解得t＝0.8 s，vx＝15 m/s
则1号小钢球发射的初速度大小为
v0＝＝17 m/s
初速度与水平方向的夹角满足
tan θ＝＝。
(2)1号小钢球发射时的竖直分速度为
v0y＝gt＝8 m/s
设1号小钢球到被拦截所用时间为t'，则有
x'＝vxt'
可得t'＝0.4 s
要拦截成功，对1号小钢球，竖直方向有
y＝v0yt'－gt'2＝2.4 m
对2号拦截小钢球，竖直方向有
y＝v(t'－Δt)－g(t'－Δt)2＝2.4 m
解得2号拦截小钢球的发射速度为v＝9.5 m/s。
答案：(1)17 m/s　　(2)9.5 m/s
12.地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所有水珠喷出的速率v0相同，设喷射方向与地面夹角为θ，θ在0°到90°范围内，若喷出后水束的最高位置距地面5 m，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.θ＝30°时水束落地时的圆半径最大
B.θ＝60°时水束落地时的圆半径最大
C.水束落地时最大圆半径为10 m
D.水束落地时最大圆半径为5 m
解析：选C。喷射角为90°时喷射高度最大，有H＝ ，解得v0＝10 m/s，设某水珠喷射角为θ，水珠喷出到落地时间为t＝2，则水平射程x＝v0cos θ·t＝，当θ＝45°时水束落地圆半径最大，有R＝xm＝10 m，C正确。[课时通关精练(十一)]　抛体运动
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.(体育运动融通题)如图所示，网球运动员训练时在同一高度的前后两个不同位置，将球斜向上打出，球恰好能垂直撞在竖直墙上的同一点，不计空气阻力，则(　　)
A.两次击中墙时的速度相等
B.沿1轨迹打出时的初速度比沿2轨迹打出时的初速度大
C.从打出到撞墙，沿1轨迹的网球在空中运动的时间长
D.从打出到撞墙，沿2轨迹的网球在空中运动的时间长
答案：选B。
2.如图所示，一小球从空中某点水平抛出，依次经过A、B两点。已知A、B两点间的竖直距离为h，小球经过A、B两点时速度方向与水平方向的夹角分别为30°、45°，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则小球的初速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D。设小球的水平速度为v0，则在A点的竖直分速度vAy＝v0tan 30°，在B点的竖直分速度vBy＝v0tan 45°，在竖直方向根据匀变速直线运动规律有－＝2gh，解得v0＝，D正确。
3.(2025·苏州高三期末)如图所示，同时从H点斜向上抛出物体1、2，分别落于Q1、Q2两位置，两条轨迹交于P点且最高点等高，不计空气阻力，则物体2(　　)
A.在空中运动的时间更长
B.经过P点时的速度更大
C.落地时的速度方向与水平方向的夹角更大
D.与物体1之间的距离先增大后减小再增大
解析：选B。斜抛可看成最高点向两侧的平抛运动，两条轨迹最高点等高，竖直方向的位移相同，根据h＝gt2可知，两物体在空中运动的时间相同，A错误；根据斜抛的水平方向为匀速直线运动，可得x＝vxt，由图可知，物体2的水平位移较大，则v2x＞v1x，经过P点时的速度为vP＝，两物体竖直速度相等，所以物体2经过P点时的速度更大，B正确；落地时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由于v2x＞v1x，所以落地时物体2的速度方向与水平方向的夹角更小，C错误；由于两物体运动时间相同，所以两物体始终处于同一高度，所以两物体间的距离为Δx＝(v2x－v1x)t，由此可知，两物体之间的距离不断增大，D错误。
4.(2024·湖北高考)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
解析：选C。青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大，初速度越小，因此应跳到荷叶c上面，C正确。
5.如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上Q点处，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，则(　　)
A.PQ间距一定为原来间距的2倍
B.空中的运动时间变为原来的倍
C.夹角α将变大
D.夹角α将不变
解析：选D。小球从抛出到落到斜面上，有tan θ＝＝，可得t＝ ，若把初速度变为2v0，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，根据y＝gt2，可知小球下落高度变为原来的4倍，易知PQ间距并非为原来间距的2倍，A、B错误；根据平抛运动推论，平抛运动的合速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有tan (α＋θ)＝2tan θ，由于θ不变，则夹角α将不变，C错误，D正确。
6.如图所示，足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点，两次射门，足球分别垂直打在水平横梁上的a点和竖直梁上的b点，到达a、b两点瞬间速度大小为va、vb，从射出到打到a、b两点的时间是ta、tb，不计空气作用力，则(　　)
A.va＜vb B.va＞vb
C.ta＜tb D.ta＝tb
解析：选A。设球门宽度为x1，足球到球门的距离为x2，根据逆向思维法可知，足球做平抛运动，当足球打到a点时，有x2＝vata，ha＝g，当足球打到b点时，有＝vbtb，hb＝g，由于ha＞hb，则ta＞tb，va＜vb，A正确。
7.(2025·泰州二模)如图所示，A、B两篮球从相同高度以相同方向抛出后直接落入篮筐，两球从抛出到落入篮筐过程中，下列说法正确的是(　　)
A.两球的运动时间相同
B.两球抛出时速度相等
C.两球在最高点加速度都为零
D.两球速度变化量的方向始终竖直向下
解析：选D。分析可知A、B两球均做斜抛运动，且A运动的最大高度比B的大，由斜抛规律可知A球在空中运动时间长，A错误；设初速度方向与水平方向夹角为θ，则有hA＝ ，hB＝，因为hA＞hB，故vA＞vB，B错误；两球在最高点的加速度均为重力加速度，C错误；速度变化量的方向与加速度方向相同，所以两球速度变化量的方向即为重力加速度的方向，即速度变化量的方向始终竖直向下，D正确。
8.如图所示，固定在水平面上的光滑斜面长为a＝5 m、宽为b＝4 m、倾角为θ＝30°，一可视为质点的小球从顶端B处水平向左射入，恰好从底端A处射出，重力加速度g取10 m/s2。则下列说法正确的是(　　)
A.小球运动的加速度为10 m/s2
B.小球从B点运动到A点所用时间为2 s
C.小球从B点水平射入时的速度为2 m/s
D.小球从B点水平射入时的速度为4 m/s
解析：选C。对小球受力分析，受到重力和斜面的支持力，根据牛顿第二定律，可得mgsin 30°＝ma0，解得a0＝gsin 30°＝5 m/s2，方向沿斜面向下，A错误；小球从B点到A点做类平抛运动，设球从B点水平射入时的速度为v0，从B运动到A所用时间为t，水平方向有b＝v0t，沿斜面向下方向有a＝a0t2，联立解得t＝ s，v0＝2 m/s，C正确，B、D错误。
9.如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1、v2、v3平抛出三个小球，分别经过t1、t2、t3的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是(　　)
A.三个小球平抛运动时间的大小关系为t1＜t2＜t3
B.三个小球平抛初速度的大小关系为v1＝v3＜v2
C.落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D.落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角大于60°
解析：选D。根据t＝，B处小球竖直位移最大，时间最长，A、C处两个小球竖直位移相等，时间相同，故A错误；三个小球下落相同高度的情况下，时间相同，根据v0＝，C处小球抛得最远，A处小球抛得最近，故平抛初速度满足v1＜v2＜v3，故B错误；做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故C错误；落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为α，则tan α＝2tan 45°＝2＞tan 60°，速度与水平方向夹角大于60°，故D正确。
10.山西刀削面闻名遐迩，厨师削面时，将面片从离锅边缘正上方一定高度处以速度v0水平抛出，面片恰好落入锅的正中间，此时面片与水平方向成θ角。已知水平速度v0＝1 m/s，tan θ＝3，锅可视为一个水平放置的半球体，O为球心，g取10 m/s2，不计空气阻力，面片视为质点。求：
(1)面片抛出点与锅面的高度差；
(2)为了让面片落到锅中，面片被抛出时速度的最大值。
解析：(1)根据速度的分解有tan θ＝
解得vy＝3 m/s
根据速度—位移公式有＝2gh
解得h＝＝0.45 m。
(2)面片从离锅边缘正上方一定高度处以速度v0水平抛出，面片恰好落入锅的正中间，则R＝v0t
竖直方向有h＝gt2
若面片被抛出时速度最大，水平方向有
2R＝vmaxt
解得vmax＝＝2 m/s。
答案：(1)0.45 m　(2)2 m/s
11.某中学举办了“水火箭比赛”，同学们积极参与，展示了功能各异的水火箭，如图甲所示。某科技小组用小钢球模拟“水火箭”实现“定点打靶”，将目标置于h＝3.2 m高的竖直墙面上，将1号小钢球放在水平地面A点，发射位置到墙体的水平距离x＝12 m，调整发射角度θ(θ为初速度与水平方向夹角)，当初速度为v0时，1号小钢球恰好垂直墙体击中目标。不计空气阻力，重力加速度大小g＝10 m/s2，小钢球与目标均可视为质点。
(1)求1号小钢球发射的初速度大小及初速度与水平方向夹角的正切值；
(2)若在1号小钢球前进方向的水平地面上B点放置另一2号拦截小钢球，其发射方向竖直向上，A点与B点距离为x'＝6 m，如图乙所示，发射1号小钢球后Δt＝0.1 s后发射2号拦截小钢球，要使拦截成功，则2号拦截小钢球的发射速度v为多大？
解析：(1)初速度为v0的1号小钢球做斜上抛运动，恰好垂直墙体击中目标，由逆向思维法可等效为平抛运动，则有
x＝vxt，h＝gt2
解得t＝0.8 s，vx＝15 m/s
则1号小钢球发射的初速度大小为
v0＝＝17 m/s
初速度与水平方向的夹角满足
tan θ＝＝。
(2)1号小钢球发射时的竖直分速度为
v0y＝gt＝8 m/s
设1号小钢球到被拦截所用时间为t'，则有
x'＝vxt'
可得t'＝0.4 s
要拦截成功，对1号小钢球，竖直方向有
y＝v0yt'－gt'2＝2.4 m
对2号拦截小钢球，竖直方向有
y＝v(t'－Δt)－g(t'－Δt)2＝2.4 m
解得2号拦截小钢球的发射速度为v＝9.5 m/s。
答案：(1)17 m/s　　(2)9.5 m/s
12.地面上的水龙头按如图所示的方式向上喷水，所有水珠喷出的速率v0相同，设喷射方向与地面夹角为θ，θ在0°到90°范围内，若喷出后水束的最高位置距地面5 m，重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.θ＝30°时水束落地时的圆半径最大
B.θ＝60°时水束落地时的圆半径最大
C.水束落地时最大圆半径为10 m
D.水束落地时最大圆半径为5 m
解析：选C。喷射角为90°时喷射高度最大，有H＝ ，解得v0＝10 m/s，设某水珠喷射角为θ，水珠喷出到落地时间为t＝2，则水平射程x＝v0cos θ·t＝，当θ＝45°时水束落地圆半径最大，有R＝xm＝10 m，C正确。

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