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[课时通关精练(十二)]　圆周运动
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.如图所示为修正带里的两个齿轮，A、B分别为大、小齿轮边缘的两点，O1、O2分别为两齿轮的圆心。当大齿轮顺时针匀速转动时(　　)
A.小齿轮顺时针转动
B.A、B两点的角速度相等
C.A点的转动周期小于B点的转动周期
D.A点的向心加速度小于B点的向心加速度
解析：选D。由题意，可知小齿轮逆时针转动，A错误；A、B两点的线速度大小相等，半径不同，则角速度不相等，B错误；由T＝，而rA＞rB，则TA＞TB，C错误；由an＝，而rA＞rB，则anA＜anB，D正确。
2.如图所示，汽车以恒定速率先后经过某凹形桥面和拱形桥面，凹形桥面最低点为A点，拱形桥面最高点为B点。下列说法正确的是(　　)
A.过B点时，汽车对桥面压力小于自身重力
B.过A点时，汽车对桥面压力小于自身重力
C.拱形桥的B点汽车容易爆胎
D.凹形桥的A点容易脱离地面
解析：选A。汽车过B点时根据牛顿第二定律得mg－FNB＝m，可知mg＞FNB，故汽车对桥面压力小于自身重力，汽车过拱形桥的B点时不容易爆胎，A正确，C错误；汽车过A点时根据牛顿第二定律得FNA－mg＝m，可知mg＜FNA，故汽车对桥面压力大于自身重力，则汽车过凹形桥的A点不容易脱离地面，B、D错误。
3.如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，则下列说法正确的是(　　)
A.大车轮与小车轮的角速度之比为9∶1
B.手轮圈与小车轮的角速度之比为8∶9
C.大车轮轴心与小车轮轴心的速度之比为1∶1
D.大车轮与手轮圈两边缘的角速度之比为8∶9
解析：选C。根据题意可知，大车轮与小车轮边缘的线速度大小相等，由公式ω＝可知，大车轮与小车轮的角速度之比＝＝，A错误；根据题意可知，大车轮与手轮圈的角速度相等，则＝＝＝，B、D错误；大车轮轴心与小车轮轴心保持相对静止，一起平动，则大车轮轴心与小车轮轴心的速度之比为1∶1，C正确。
4.如图所示，火车转弯时为减轻轮缘与轨道间的侧向挤压，修建铁路时要适当选择内、外轨的高度差。若弯道半径为r，内、外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，轮缘与轨道间恰好无侧向挤压，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.轨道对火车的支持力小于火车的重力
B.tan θ＝
C.其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应增大
D.其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应减小
解析：选B。受力分析如图所示，
轨道对火车的支持力大于火车的重力，当火车以规定的安全行驶速度v通过弯道时，内、外轨道均不受侧压力，所受重力和支持力的合力提供向心力，即mgtan θ＝m，即tan θ＝，整理得v＝，A错误，B正确；根据v＝，其他条件不变，火车内的乘客增多时，v保持不变，C、D错误。
5.水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO'匀速转动，转动的角速度ω＝10π rad/s，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径R＝2 m。当圆孔转至最高点时，一小球恰好从圆孔正上方h处由静止开始下落。已知圆孔的半径略大于小球的半径，则小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h可能为(空气阻力不计，g取10 m/s2)(　　)
A.2.0 m B.1.8 m
C.1.6 m D.1.2 m
解析：选B。小球恰好落入圆筒小孔时则满足t＝ ＝n，解得h＝＝(n＝1、2、3、…)，当n＝3时，h＝1.8 m，B正确。
6.(体育运动融通题)如图甲所示，场地自行车赛道与水平面保持一定倾角，将赛道视作倾角为θ的坡道，简化为图乙。某运动员骑自行车在该赛道上运动时，可视作在水平面内做匀速圆周运动。已知该自行车在t时间内通过的路程为s，自行车恰好不受坡道的径向摩擦力，运动员和自行车的总质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.自行车受到坡道的支持力大小为mgcos θ
B.自行车做圆周运动所需的向心力大小为mgsin θ
C.自行车的向心加速度大小为
D.自行车做圆周运动的半径为
解析：选D。对自行车受力分析，竖直方向上有FNcos θ＝mg，解得FN＝，A错误；水平方向上有FNsin θ＝F向，解得F向＝mgtan θ，B错误；由F向＝man，解得an＝gtan θ，C错误；自行车的线速度大小v＝，向心加速度大小为an＝，解得R＝，D正确。
7.(原创＋生产生活融通)一辆汽车以恒定速率通过一座圆弧形拱桥后，接着以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两桥圆弧半径相等，汽车通过拱桥最高点时对桥面的压力FN1为车重的，汽车通过凹形桥最低点时对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为(　　)
A.3∶5 B.1∶2
C.2∶3 D.3∶4
解析：选A。汽车通过拱桥最高点时，由牛顿第二定律得mg－FN1'＝m，其中FN1'＝FN1＝mg，解得m＝mg；汽车通过凹形桥最低点时，由牛顿第二定律得FN2'－mg＝m，其中FN2'＝FN2，代入得FN2＝mg＋mg＝mg，因此FN1∶FN2＝mg∶mg＝3∶5，A正确。
8.如图甲是某花样滑冰运动员在赛场上的情形，假设在比赛的某段时间她单脚着地，以速度v做匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而受到与冰面夹角为53°的支持力，如图乙冰刀与冰面的夹角为53°，该运动员的质量为m，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计一切摩擦，下列说法正确的是(　　)
A.该运动员受重力、冰面的支持力、向心力的作用
B.冰面对该运动员的支持力大小为5mg
C.该运动员做匀速圆周运动的半径为
D.该运动员做匀速圆周运动的向心加速度大小为g
解析：选C。运动员此时只受到重力和冰面的支持力的作用，两个力的合力充当做圆周运动的向心力，A错误；运动员受到的力，水平方向有FNcos 53°＝ma＝m，竖直方向有FNsin 53°＝mg，联立解得FN＝mg，r＝，a＝g，C正确，B、D错误。
9.(传统文化融通题)图甲为古代一种投石装置工作时候的场景，展现了我国古代人民的智慧，图乙为该装置的简化模型。在一次投石过程中，将一可视为质点的石块放在与转轴O相距L＝5 m的长臂末端网袋中，众人共同用力快速向下拉动短臂，使石块在长臂转到竖直位置时被水平抛出，刚好砸在正前方30 m处与O点等高的城门上。不计空气阻力，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A.石块被抛出后在空中运动时间为1.2 s
B.石块抛出时的速度大小为15 m/s
C.石块被抛出前的瞬间机械臂转动的角速度为5 rad/s
D.石块砸在城门上的瞬间速度大小为10 m/s
解析：选D。石块被抛出后在空中做平抛运动，竖直方向有L＝gt2，解得运动时间为t＝1 s，A错误；石块抛出时的速度大小为v0＝＝ m/s＝30 m/s，B错误；石块被抛出前的瞬间机械臂转动的角速度为ω＝＝ rad/s＝6 rad/s，C错误；石块砸在城门上的瞬间速度大小为v＝＝10 m/s，D正确。
10.如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点(重力加速度为g)，下列说法正确的是(　　)
A.细绳的长度为
B.绳刚要拉断时张力为2mg
C.小球做平抛运动的时间为
D.若球击中斜面后反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点
解析：选D。小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，有tan 45°＝＝，x＝＝v0t，解得t＝ ，v0＝ 。小球做平抛运动的竖直位移为y＝gt2＝，所以细绳的长度为l＝－＝，A、C错误；在圆周运动的最低点，有F－mg＝m，解得绳刚要拉断时张力为F＝3mg，B错误；球击中斜面时的速度为v＝＝，反弹的速度大小为v'＝，设反弹后能击中A点，则水平方向位移为，有＝v'cos 45°t'，解得t'＝ ，竖直位移为y'＝v'sin 45°t'－gt'2＝－，所以反弹后球恰好能落到A点，D正确。
11.如图所示，细绳一端系着质量M＝1 kg的物体A(可视为质点)，另一端通过圆盘中心的光滑小孔吊着质量m＝0.5 kg的物体B，物体A与小孔的距离为rA＝1 m。物体B与小孔的距离为rB＝1 m。已知物体A和水平圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2。则：
(1)若B处于静止状态，圆盘绕中心轴顺时针转动(如图甲)，求圆盘转动的角速度大小ωA的取值范围；
(2)若B在水平面内做匀速圆周运动(如图乙)，A的质量增加到M1＝2 kg且与圆盘均静止不动，求此时ωB的最大值和OB与竖直方向夹角θ的余弦值。
解析：(1)对B受力分析有T1＝mg
对A受力分析
当角速度最大时T1＋μMg＝MrA
当角速度最小时T1－μMg＝MrA
综上，代入数据可得
rad/s≤ωA≤2 rad/s。
(2)对A受力分析有T2＝μM1g
设此时OB与竖直方向的夹角为θ，对B受力分析有
T2sin θ＝mrBsin θ
T2cos θ＝mg
代入数据可得ωBm＝2 rad/s，cos θ＝。
答案：(1) rad/s≤ωA≤2 rad/s
(2)2 rad/s　(共88张PPT)
高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第四章
曲线运动
第3讲　圆周运动
知识梳理　夯实基础
考点探究　提升能力
课时通关精练
02
03
01
学习目标
教考衔接
知识梳理　夯实基础
切线方向
时间
圈数
2r
r
圆心
圆心
mω2r
合力
分力
AI精准定位：高考命题关键点
逐渐远离圆心
离心
切线
AI精准定位：高考命题关键点
考点探究　提升能力
角度突破
圆周运动的运动学问题
考点一
能力要语
破题路径
能力要语
角度突破
圆周运动的动力学问题
考点二
角度突破
破题路径
破题路径
能力要语
角度突破
平抛运动与圆周运动的综合
考点三
破题路径
角度突破
破题路径
课时通关精练(十二)　圆周运动
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谢谢观看第3讲　圆周运动
对应学生用书P82
学习目标 教考链接
1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系 2.掌握匀速圆周运动由周期性引起的多解问题的分析方法 3.会分析圆周运动的向心力来源，掌握圆周运动的动力学问题的分析方法 1.情境化命题：结合冰雪运动、生产设备等实际场景，要求将理论知识转化为模型分析能力 2.模型识别与临界条件：高频考查圆锥摆、水平圆盘等模型 3.数学工具融合：利用三角函数、几何关系建立方程，强化逻辑推理能力
一、圆周运动
1.描述圆周运动的物理量
(1)线速度
①定义：做圆周运动的物体通过的弧长Δs与所用时间Δt的比值。
　　弧长＝半径×圆心角(弧度制)
②表达式：v＝。
③方向：线速度是矢量，其方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
(2)角速度
①定义：做圆周运动的物体，半径转过的角度Δθ与所用时间Δt的比值。
②表达式：ω＝。
③单位：弧度每秒，符号rad/s。
(3)周期、频率和转速
项目 周期(T) 频率(f) 转速(n)
定义 做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间 做匀速圆周运动的物体每秒转过的圈数 物体转动的圈数与所用时间之比
单位 秒(s) 赫兹(Hz) 转每秒(r/s)
公式 T＝ ＝ f＝＝ n＝f(单位为r/s时成立)
意义 从不同角度描述物体转动快慢的物理量
(4)向心加速度
定义 物体做匀速圆周运动时总指向圆心的加速度
公式
方向 向心加速度的方向时刻在变化，总是沿半径指向圆心，即始终与线速度方向垂直，所以圆周运动一定是变加速曲线运动
2.圆周运动的向心力
(1)概念：做匀速圆周运动的物体所受的总指向圆心的合力。
(2)方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
(3)大小：Fn＝m＝mω2r＝mr＝mωv＝m4π2f2r。
(4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，也可以由一个力的分力提供，向心力是根据力的作用效果命名的。
　　受力分析时不可再添加向心力
3.向心力来源分析
运动模型 向心力的来源示意图 运动模型 向心力的来源示意图
飞机水平转弯 火车转弯
汽车在水平路面转弯 光滑水平转台
AI精准定位：高考命题关键点
圆周运动的线速度、角速度、周期、频率等物理量通过公式相互关联
【例1】 (原创＋生产生活融通)旋转木马是游乐场中深受欢迎的娱乐项目。某小孩坐在旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，圆周半径为4.0 m。若木马在2 min内恰好转了3圈，则木马的线速度大小为(　　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D.π m/s
【例2】 (2025·河北高考)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为(　　)
A.90 B.120
C.150 D.180
【例3】 转速是做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，其国际单位为r/s(转每秒)。走时准确的时钟，其分针的转速为(　　)
A.60 r/s B. r/s
C. r/s D.3 600 r/s
向心加速度可通过线速度、角速度等多种圆周运动物理量表示
【例4】 甲、乙两球做匀速圆周运动，其向心加速度(a)随半径(R)变化的图像如图所示。由图像可知(　　)
A.乙球运动时，周期保持不变
B.甲球运动时，线速度大小保持不变
C.甲球运动时，角速度大小保持不变
D.乙球运动时，角速度大小保持不变
向心力是由合力提供的效果力，其供需关系决定圆周运动状态
【例5】 如图所示，在以角速度ω＝4 rad/s匀速转动的水平圆盘上，放一质量m＝0.1 kg的滑块，滑块离转轴的距离r＝0.1 m，滑块跟随圆盘一起做匀速圆周运动(二者未发生相对滑动)。则(　　)
A.滑块的线速度大小为0.8 m/s
B.滑块受到的静摩擦力大小为1.6 N
C.滑块受到重力、支持力和摩擦力的作用
D.滑块受到重力、摩擦力和向心力的作用
二、离心运动和近心运动
1.离心运动：做圆周运动的物体，在所受合力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
2.实质：物体惯性的表现。
3.受力特点(如图)
4.常见的离心运动
实物图
原理图
说明 当最大静摩擦力不足以提供向心力，即Fmax＜m时，汽车将做离心运动 当衣物对水滴的附着力F不足以提供向心力，即F＜mω2r时，水滴将做离心运动而离开衣物
离心与近心运动本质是向心力供需失衡，物体惯性表现所致
【例6】 洪水后的泥沙随水流动的同时在重力的作用下逐渐沉下来，这种沉淀叫重力沉淀；医院里用分离机分离血液的示意图如图甲所示，将血液装在试管里，让其绕竖直轴高速旋转，试管几乎成水平状态，如图乙所示，血液的不同成分会快速分离在不同的地方，这叫离心沉淀，关于这两种沉淀，下列说法正确的是(　　)
A.血液中密度最大的成分将聚集在试管底部
B.血液采用重力沉淀比离心沉淀更方便、快捷
C.只增大分离机的转速，血液中密度最大的成分做圆周运动所需要的向心力减小
D.只增大分离机的转速，血液分离的时间将变长
题后反思：
【例1】 解析：选A。木马在2 min(即120 s)内转3圈，周期T＝ s＝40 s，线速度v＝＝ m/s＝ m/s。
【例2】 解析：选C。根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数为n＝＝150，C正确。
【例3】 解析：选C。分针周期为60 min，由圆周运动的基本规律可得n＝f＝＝ r/s，C正确。
【例4】 解析：选C。由于乙为双曲线的一个分支，说明a与R成反比，由向心加速度的公式有a＝，可知乙球运动的线速度大小不变，A、D错误；由于甲的图像为直线，说明a与R成正比，由向心加速度的公式有a＝Rω2，可知甲球运动的角速度不变，C正确，B错误。
【例5】 解析：选C。滑块的线速度大小为v＝ωr＝4×0.1 m/s＝0.4 m/s，A错误；滑块受到重力、圆盘的支持力和静摩擦力的作用，由静摩擦力提供向心力，可得f＝mω2r＝0.1×42×0.1 N＝0.16 N，C正确，B、D错误。
【例6】 答案：选A。
考点一　圆周运动的运动学问题
描述圆周运动的物理量之间的关系
【例1】 (生产生活融通题)如图所示，甲、乙两同学握住绳子A、B两端摇动(A、B近似不动)，绳子绕AB连线在空中转到图示位置时，则有关绳上P、Q两质点运动情况，说法正确的是(　　)
A.P的转动周期小于Q的转动周期
B.P的线速度大于Q的线速度
C.P的向心加速度小于Q的向心加速度
D.P的向心加速度大于Q的向心加速度
【例2】 某种变速自行车有六个飞轮和三个链轮，通过链轮与飞轮的不同组合可以实现变速功能。链轮和飞轮的齿数如下表所示，前后轮直径为660 mm，人骑该车行进速度为5 m/s，则脚踩踏板做匀速圆周运动的最大角速度约为(　　)
名称 链轮 飞轮
齿数N/个 48 38 28 15 16 18 21 24 28
A.7.6 rad/s B.15.2 rad/s
C.24.2 rad/s D.48.5 rad/s
题后反思：
角度突破
同轴传动 A、B两点角速度、周期和频率相同，转动方向相同
皮带传动 A、B两点线速度大小相等，转动方向相同
齿轮传动 A、B两点线速度大小相等，转动方向相反
摩擦传动 A、B两点线速度大小相等，转动方向相反
能力要语
解题关键在于先识别传动模型：同轴传动角速度相等，皮带传动线速度相等，再紧扣v＝ωr这一核心关系进行推导求解。
【例1】 解析：选C。由题意可知绳子上的各点同轴转动，角速度、周期相同，即TP＝TQ，A错误；根据线速度公式v＝ωr，P、Q两质点角速度相等，由于rP＜rQ，所以vP＜vQ，B错误；根据向心加速度公式an＝ω2r，P、Q两质点角速度相等，由于rP＜rQ，所以aP＜aQ，C正确，D错误。
【例2】 解析：选B。后轮的角速度一定，即飞轮的角速度一定。由于链条传动，有R链ω链＝R飞ω飞，链轮的角速度与脚踏板的角速度相同，要想脚踏板的角速度最大，则飞轮的半径最大，链轮的半径最小，即链轮角速度为ω链＝＝，飞轮角速度为ω飞＝ω后＝＝ rad/s≈15.2 rad/s，所以ω脚＝ω链＝＝×15.2 rad/s＝15.2 rad/s，B正确。
圆周运动的多解问题
【例3】 如图所示，一位同学玩飞镖游戏，圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直平面内等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g。若飞镖恰好击中P点，求：
(1)圆盘的半径；
(2)圆盘转动角速度的值。
解析： (1) 飞镖水平抛出后做平抛运动，在水平方向做匀速直线运动，因此飞行时间t＝
飞镖击中P点时，P恰好在最下端，则2r＝gt2
解得圆盘的半径为r＝。
(2) 飞镖击中P点，则P点转过的角度θ满足
θ＝π＋2kπ(k＝0，1，2，…)
故ω＝＝(k＝0，1，2，…)。
答案： (1) 　(2) (k＝0，1，2，…)
破题路径
能力要语
识别周期性或方向性引起的多解根源，正确建立包含整数n的通解方程，并依据题意对n的取值进行合理讨论与筛选，从而得出所有可能解或满足条件的特解。
考点二　圆周运动的动力学问题
“车辆转弯动力学”：分析火车、汽车、摩托车转弯时的向心力来源及临界速度计算
【例4】 钢架雪车是一项精彩刺激的运动项目。图甲是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P处做水平面内圆周运动可简化为图乙所示模型，车在P处的速率为v，弯道表面与水平面成θ角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.在P处车对弯道的压力大小为F压＝mgcos θ
B.在P处运动员和车的向心加速度大小为a＝
C.在P处运动员和车做圆周运动的半径为R＝
D.若雪车在更靠近轨道内侧的位置无侧滑通过该处弯道，则速率比原来大
题后反思：
角度突破
研究对象 做匀速圆周运动的汽车、摩托车和自行车等(视为质点)
水平面上弯道转弯模型 受力 分析 静摩擦力Ff水平指向圆心，提供向心力，即Ff＝F向＝m
倾斜路面转弯模型 受力 分析 无侧滑通过时向心力来源：重力与支持力的合力，即mgtan θ＝m
【例4】 解析：选C。对人和车受力分析，如图所示，
根据几何关系可知FN＝，根据牛顿第三定律，车对弯道的压力大小为F压＝，A错误；根据牛顿第二定律可得mgtan θ＝m＝ma，解得R＝，a＝gtan θ，C正确，B错误；若人滑行的位置更加靠近轨道内侧，则圆周运动的半径减小，根据mgtan θ＝m，可知当圆周运动的半径减小，则其速率比原来小，D错误。
“车辆过桥动力学”：分析汽车、摩托车通过凸凹桥面时的压力变化及临界速度条件
【例5】 胎压监测器可以实时监测汽车轮胎内部的气压，在汽车上安装胎压监测报警器，可以预防因汽车胎压异常而引发的事故。如图所示为一辆质量m＝1 000 kg的小汽车行驶在山区的路面的两种情况，路面可视为圆弧且圆弧半径相同，半径r＝40 m，其中A为路面最低点，B为路面最高点。根据胎压可计算出汽车受到的支持力，当支持力达到5.0×104 N时检测器报警。若忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2。
(1)若汽车以相同的速率通过这两段路面，请判断汽车通过A、B哪点更容易爆胎；
(2)求汽车在A点速度达到多大时会触发报警；
(3)若汽车不脱离路面，则在最高点B的速度不能超过多少。
解析：(1)略。
(2)汽车在凹形路面最底端受到重力和支持力作用，根据牛顿第二定律有
Fm－mg＝m
解得vm＝40 m/s。
(3)若汽车在最高点B对路面没有压力时，只受到重力作用提供向心力，则有mg＝m
代入数据解得vB＝20 m/s
所以车速不能超过20 m/s。
答案：(1)A点　(2)40 m/s　(3)20 m/s
角度突破
项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
竖直方向 受力分析
向心力 Fn＝G－FN＝m Fn＝FN－G＝m
对桥 的压力 FN'＝G－m FN'＝G＋m
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力 汽车对路面的压力大于汽车的重力
破题路径
“连接体约束动力学”：分析绳、弹簧、杆连接体的关联运动特征与约束条件
【例6】 如图所示为一种可测量角速度的简易装置，“V”形光滑支架可随水平面上的底座绕中轴线OO'旋转，支架两杆与水平面间夹角均为θ，两侧的杆长均为1.5L，一原长为L的轻弹簧套在AB杆上，下端固定于杆的B端，另一端与一小球拴接，已知小球的质量为m，重力加速度为g，轻弹簧的劲度系数k＝。现让小球随支架以角速度ω匀速转动，求：
(1)支架静止时弹簧的长度；
(2)轻弹簧恰为原长时，支架角速度ω1的大小；
(3)若已知θ＝53°，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，L＝ m，重力加速度g＝10 m/s2，小球不能从杆末端A滑脱，则支架角速度ω2的大小应满足什么要求。
解析：(1)
对小球进行受力分析如图所示
由平衡条件可得F1＝mgsin θ
其中F1＝kΔx
解得Δx＝0.5L
此时弹簧的长度为L－0.5L＝0.5L。
(2)
轻弹簧恰为原长时，小球只受重力和杆的支持力N2，受力分析如图所示
由几何关系可得r1＝Lcos θ
竖直方向有N2cos θ＝mg
水平方向有N2sin θ＝mr1
联立可得ω1＝ 。
(3)
球在A端随装置做匀速圆周运动时，弹簧的伸长量为L，受力分析如图所示
弹簧的弹力F2＝kL
圆周运动的半径r2＝Lcos θ
竖直方向有N3cos θ＝F2sin θ＋mg
水平方向有N3sin θ＋F2cos θ＝mr2
联立可得ω2＝ ＝ rad/s
故小球不滑脱需满足ω2≤ rad/s。
答案：(1)0.5L　(2) 　(3)ω2≤ rad/s
破题路径
能力要语
准确分析物体在特定位置(特别是最高点和最低点)的受力，明确向心力来源，并结合约束物的特性列出方程。
教学札记：
考点三　平抛运动与圆周运动的综合
“平抛切入圆周”：物体平抛后沿切线进入圆周轨道，求切入点的速度与角度条件
【例7】 如图所示，人骑摩托车做腾跃特技表演，沿曲面冲上高0.8 m顶部水平的高台，接着以v＝3 m/s的水平速度离开高台，落至地面时，恰能无碰撞地从A点沿圆弧切线方向进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。A、B为圆弧两端点，其连线水平。已知圆弧半径为R＝1.0 m，人和车的总质量为180 kg，在特技表演的全过程中，阻力忽略不计。(计算中取重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)
(1)求从高台飞出至到达A点，人和车运动的水平距离s；
(2)若人和车运动到圆弧轨道最低点O时的速度v'＝ m/s，求此时对轨道的压力大小；
(3)求人和车从平台飞出后到达A点时的速度大小及圆弧轨道对应的圆心角θ。
解析：(1)人和车从高台飞出至到达A点做平抛运动，竖直方向上有
H＝g
水平方向上有s＝vt1
联立并代入数据解得t1＝0.4 s，s＝1.2 m。
(2)在圆弧轨道最低点O，由牛顿第二定律得
N－mg＝m
代入数据解得N＝7 740 N
由牛顿第三定律可知，人和车在圆弧轨道最低点O对轨道的压力大小为7 740 N。
(3)人和车到达A点时，竖直方向的分速度
vy＝gt1＝4 m/s
到达A点时的速度vA＝＝5 m/s
设vA与水平方向的夹角为α，则sin α＝＝，解得α＝53°，所以
θ＝2α＝106°。
答案：(1)1.2 m　(2)7 740 N　(3)5 m/s　106°
角度突破
1.模型
先做抛体运动后在竖直面内做圆周运动。
2.方法
先利用平抛运动规律解答，然后利用竖直面内圆周运动规律分析解答。
破题路径
“圆周抛离转平抛”：物体从圆周轨道脱离后做平抛运动，分析落点与脱离点关系
【例8】 (教材习题改编)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞离水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g。忽略手的运动半径和空气阻力。
(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。
(2)绳能承受的最大拉力是多大？
(3)绳能承受的最大拉力与第(2)小题结果相同的情况下，改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
解析：(1)绳断后，小球做平抛运动，竖直方向
d－ ＝gt2
解得t＝
水平方向d＝v1t
则绳断时小球速度大小
v1＝＝
小球落地时竖直分速度
vy＝gt＝
小球落地时速度大小
v2＝＝。
(2)绳断前，对小球受力分析，根据牛顿第二定律得
F－mg＝m
解得F＝mg。
(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，由牛顿第二定律得
F－mg＝m
解得v3＝
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d－l
设水平位移为x
竖直方向d－l＝gt'2
水平方向x＝v3t'
联立解得x＝4
当且仅当l＝d－l
即l＝时x有最大值xmax＝d。
答案：(1)　　(2)mg　(3)　d
角度突破
1.模型
先在竖直面内做圆周运动后做抛体运动。
2.方法
先利用小球在竖直面内圆周运动规律分析解答，然后利用平抛运动规律解答小球抛出后的问题。
破题路径
教学札记：
[课时通关精练(十二)]　圆周运动
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.如图所示为修正带里的两个齿轮，A、B分别为大、小齿轮边缘的两点，O1、O2分别为两齿轮的圆心。当大齿轮顺时针匀速转动时(　　)
A.小齿轮顺时针转动
B.A、B两点的角速度相等
C.A点的转动周期小于B点的转动周期
D.A点的向心加速度小于B点的向心加速度
解析：选D。由题意，可知小齿轮逆时针转动，A错误；A、B两点的线速度大小相等，半径不同，则角速度不相等，B错误；由T＝，而rA＞rB，则TA＞TB，C错误；由an＝，而rA＞rB，则anA＜anB，D正确。
2.如图所示，汽车以恒定速率先后经过某凹形桥面和拱形桥面，凹形桥面最低点为A点，拱形桥面最高点为B点。下列说法正确的是(　　)
A.过B点时，汽车对桥面压力小于自身重力
B.过A点时，汽车对桥面压力小于自身重力
C.拱形桥的B点汽车容易爆胎
D.凹形桥的A点容易脱离地面
解析：选A。汽车过B点时根据牛顿第二定律得mg－FNB＝m，可知mg＞FNB，故汽车对桥面压力小于自身重力，汽车过拱形桥的B点时不容易爆胎，A正确，C错误；汽车过A点时根据牛顿第二定律得FNA－mg＝m，可知mg＜FNA，故汽车对桥面压力大于自身重力，则汽车过凹形桥的A点不容易脱离地面，B、D错误。
3.如图所示，普通轮椅一般由轮椅架、车轮、刹车装置等组成。车轮有大车轮和小车轮，大车轮上固定有手轮圈，手轮圈由患者直接推动。已知大车轮、手轮圈、小车轮的半径之比为9∶8∶1，假设轮椅在地面上做直线运动，手和手轮圈之间、车轮和地面之间都不打滑，则下列说法正确的是(　　)
A.大车轮与小车轮的角速度之比为9∶1
B.手轮圈与小车轮的角速度之比为8∶9
C.大车轮轴心与小车轮轴心的速度之比为1∶1
D.大车轮与手轮圈两边缘的角速度之比为8∶9
解析：选C。根据题意可知，大车轮与小车轮边缘的线速度大小相等，由公式ω＝可知，大车轮与小车轮的角速度之比＝＝，A错误；根据题意可知，大车轮与手轮圈的角速度相等，则＝＝＝，B、D错误；大车轮轴心与小车轮轴心保持相对静止，一起平动，则大车轮轴心与小车轮轴心的速度之比为1∶1，C正确。
4.如图所示，火车转弯时为减轻轮缘与轨道间的侧向挤压，修建铁路时要适当选择内、外轨的高度差。若弯道半径为r，内、外铁轨平面与水平面倾角为θ，当火车以规定的行驶速度v转弯时，轮缘与轨道间恰好无侧向挤压，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A.轨道对火车的支持力小于火车的重力
B.tan θ＝
C.其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应增大
D.其他条件不变，火车内的乘客增多时，v应减小
解析：选B。受力分析如图所示，
轨道对火车的支持力大于火车的重力，当火车以规定的安全行驶速度v通过弯道时，内、外轨道均不受侧压力，所受重力和支持力的合力提供向心力，即mgtan θ＝m，即tan θ＝，整理得v＝，A错误，B正确；根据v＝，其他条件不变，火车内的乘客增多时，v保持不变，C、D错误。
5.水平放置的圆筒绕其中心对称轴OO'匀速转动，转动的角速度ω＝10π rad/s，筒壁上P处有一小圆孔，筒壁很薄，筒的半径R＝2 m。当圆孔转至最高点时，一小球恰好从圆孔正上方h处由静止开始下落。已知圆孔的半径略大于小球的半径，则小球恰好落入圆筒小孔时，释放小球的高度h可能为(空气阻力不计，g取10 m/s2)(　　)
A.2.0 m B.1.8 m
C.1.6 m D.1.2 m
解析：选B。小球恰好落入圆筒小孔时则满足t＝ ＝n，解得h＝＝(n＝1、2、3、…)，当n＝3时，h＝1.8 m，B正确。
6.(体育运动融通题)如图甲所示，场地自行车赛道与水平面保持一定倾角，将赛道视作倾角为θ的坡道，简化为图乙。某运动员骑自行车在该赛道上运动时，可视作在水平面内做匀速圆周运动。已知该自行车在t时间内通过的路程为s，自行车恰好不受坡道的径向摩擦力，运动员和自行车的总质量为m，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A.自行车受到坡道的支持力大小为mgcos θ
B.自行车做圆周运动所需的向心力大小为mgsin θ
C.自行车的向心加速度大小为
D.自行车做圆周运动的半径为
解析：选D。对自行车受力分析，竖直方向上有FNcos θ＝mg，解得FN＝，A错误；水平方向上有FNsin θ＝F向，解得F向＝mgtan θ，B错误；由F向＝man，解得an＝gtan θ，C错误；自行车的线速度大小v＝，向心加速度大小为an＝，解得R＝，D正确。
7.(原创＋生产生活融通)一辆汽车以恒定速率通过一座圆弧形拱桥后，接着以相同速率通过一圆弧形凹形桥。设两桥圆弧半径相等，汽车通过拱桥最高点时对桥面的压力FN1为车重的，汽车通过凹形桥最低点时对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为(　　)
A.3∶5 B.1∶2
C.2∶3 D.3∶4
解析：选A。汽车通过拱桥最高点时，由牛顿第二定律得mg－FN1'＝m，其中FN1'＝FN1＝mg，解得m＝mg；汽车通过凹形桥最低点时，由牛顿第二定律得FN2'－mg＝m，其中FN2'＝FN2，代入得FN2＝mg＋mg＝mg，因此FN1∶FN2＝mg∶mg＝3∶5，A正确。
8.如图甲是某花样滑冰运动员在赛场上的情形，假设在比赛的某段时间她单脚着地，以速度v做匀速圆周运动，转弯时冰刀嵌入冰内从而受到与冰面夹角为53°的支持力，如图乙冰刀与冰面的夹角为53°，该运动员的质量为m，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计一切摩擦，下列说法正确的是(　　)
A.该运动员受重力、冰面的支持力、向心力的作用
B.冰面对该运动员的支持力大小为5mg
C.该运动员做匀速圆周运动的半径为
D.该运动员做匀速圆周运动的向心加速度大小为g
解析：选C。运动员此时只受到重力和冰面的支持力的作用，两个力的合力充当做圆周运动的向心力，A错误；运动员受到的力，水平方向有FNcos 53°＝ma＝m，竖直方向有FNsin 53°＝mg，联立解得FN＝mg，r＝，a＝g，C正确，B、D错误。
9.(传统文化融通题)图甲为古代一种投石装置工作时候的场景，展现了我国古代人民的智慧，图乙为该装置的简化模型。在一次投石过程中，将一可视为质点的石块放在与转轴O相距L＝5 m的长臂末端网袋中，众人共同用力快速向下拉动短臂，使石块在长臂转到竖直位置时被水平抛出，刚好砸在正前方30 m处与O点等高的城门上。不计空气阻力，g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A.石块被抛出后在空中运动时间为1.2 s
B.石块抛出时的速度大小为15 m/s
C.石块被抛出前的瞬间机械臂转动的角速度为5 rad/s
D.石块砸在城门上的瞬间速度大小为10 m/s
解析：选D。石块被抛出后在空中做平抛运动，竖直方向有L＝gt2，解得运动时间为t＝1 s，A错误；石块抛出时的速度大小为v0＝＝ m/s＝30 m/s，B错误；石块被抛出前的瞬间机械臂转动的角速度为ω＝＝ rad/s＝6 rad/s，C错误；石块砸在城门上的瞬间速度大小为v＝＝10 m/s，D正确。
10.如图所示，水平地面上固定有倾角为45°，高为h的斜面。O点位于A点正上方且与B点等高。细绳一端固定于O点，另一端与质量为m的小球相连。小球在竖直平面内做圆周运动，到最低点时细绳恰好拉断，之后做平抛运动并垂直击中斜面的中点(重力加速度为g)，下列说法正确的是(　　)
A.细绳的长度为
B.绳刚要拉断时张力为2mg
C.小球做平抛运动的时间为
D.若球击中斜面后反弹的速度大小为击中前的一半，则反弹后球能落到A点
解析：选D。小球做平抛运动并垂直击中斜面的中点，有tan 45°＝＝，x＝＝v0t，解得t＝ ，v0＝ 。小球做平抛运动的竖直位移为y＝gt2＝，所以细绳的长度为l＝－＝，A、C错误；在圆周运动的最低点，有F－mg＝m，解得绳刚要拉断时张力为F＝3mg，B错误；球击中斜面时的速度为v＝＝，反弹的速度大小为v'＝，设反弹后能击中A点，则水平方向位移为，有＝v'cos 45°t'，解得t'＝ ，竖直位移为y'＝v'sin 45°t'－gt'2＝－，所以反弹后球恰好能落到A点，D正确。
11.如图所示，细绳一端系着质量M＝1 kg的物体A(可视为质点)，另一端通过圆盘中心的光滑小孔吊着质量m＝0.5 kg的物体B，物体A与小孔的距离为rA＝1 m。物体B与小孔的距离为rB＝1 m。已知物体A和水平圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.3，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取g＝10 m/s2。则：
(1)若B处于静止状态，圆盘绕中心轴顺时针转动(如图甲)，求圆盘转动的角速度大小ωA的取值范围；
(2)若B在水平面内做匀速圆周运动(如图乙)，A的质量增加到M1＝2 kg且与圆盘均静止不动，求此时ωB的最大值和OB与竖直方向夹角θ的余弦值。
解析：(1)对B受力分析有T1＝mg
对A受力分析
当角速度最大时T1＋μMg＝MrA
当角速度最小时T1－μMg＝MrA
综上，代入数据可得
rad/s≤ωA≤2 rad/s。
(2)对A受力分析有T2＝μM1g
设此时OB与竖直方向的夹角为θ，对B受力分析有
T2sin θ＝mrBsin θ
T2cos θ＝mg
代入数据可得ωBm＝2 rad/s，cos θ＝。
答案：(1) rad/s≤ωA≤2 rad/s
(2)2 rad/s　

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