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思维进阶四　水平圆　竖直圆　倾斜圆问题
对应学生用书P91
水平面内圆周运动的临界问题
【例1】 如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是(　　)
A.绳子的张力为FT＝3μmg
B.烧断绳子，物体A、B仍将随圆盘一块转动
C.圆盘的角速度为ω＝
D.A所受摩擦力方向沿绳指向圆外
【变式训练1】 如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为m、m、2m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同，转台旋转时，下列说法中正确的是(　　)
A.若三个物体均未滑动，A物体的向心加速度最大
B.若三个物体均未滑动，B物体所受到的摩擦力最大
C.转速增加，C物体先滑动
D.转速增加，A物体比B物体先滑动
题后反思：
角度突破
模型
过程 分析 向心力由静摩擦力提供
向心力由静摩擦力和绳的拉力提供
思维链
【例1】 解析：选B。两物体角速度相同，所以B所需向心力比A大，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B有背离圆心的离心趋势，A有指向圆心的近心趋势。设此时绳子的张力大小为T，圆盘的角速度为ω，分别对A、B应用牛顿第二定律有FT－μmg＝mω2r，FT＋μmg＝mω2·2r，联立解得FT＝3μmg，ω＝，A、C正确；此时A有指向圆心的近心趋势，所受摩擦力方向沿半径指向圆外，D正确；A、B以角速度ω＝ 做匀速圆周运动时所需的向心力大小分别为FA＝mω2r＝2μmg，FB＝mω2·2r＝4μmg，若此时烧断绳子，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，所以A、B都将做离心运动，B错误。
【变式训练1】 解析：选C。根据a＝ω2r，半径越大向心加速度越大，若三个物体均未滑动，C物体的向心加速度最大，A错误；根据Ff＝Mω2r，Mr越大摩擦力越大，若三个物体均未滑动，C物体所受的摩擦力最大，B错误；根据牛顿第二定律μMg＝Mω2r，解得ω＝ ，半径越大，临界角速度越小，越先滑动，所以C物体最先滑动，A、B同时滑动，C正确，D错误。
竖直面内圆周运动的临界问题 (绳模型)
【例2】 如图所示，杂技演员表演“水流星”节目。一根长为L的细绳两端系着盛水的小水桶(绳长远大于水桶的大小)，演员握住绳中间，随着演员的抡动，水桶在竖直平面内做圆周运动，水桶运动过程中水始终不会从水桶中洒出，重力加速度为g，每个水桶质量为m1，里面水的质量为m2。则：
(1)水桶运动到最高点的角速度ω至少是多少？
(2)水桶在最低点的角速度ω'＝时，绳子对最低点的水桶拉力是多少？
解析：(1)对最高点桶中的水研究，水桶运动到最高点水不会从水桶中洒出的角速度ω取最小值时，水的重力大小恰好等于水做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律有
m2g＝m2ω2r
且r＝
解出ω＝ 。
(2)对最低点的水桶(包括里面的水)研究，由牛顿第二定律则有
F－(m1＋m2)g＝(m1＋m2)ω'2r
解得F＝6(m1＋m2)g。
答案：(1) 　(2)6(m1＋m2)g
【变式训练2】 (休闲娱乐融通题)某特技演员曾飞车挑战世界最大环形车道。如图所示，环形车道竖直放置，半径为6 m，若汽车在车道上以12 m/s的恒定速率运动，特技演员与汽车的总质量为1 000 kg，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
A.汽车通过最低点时，特技演员处于失重状态
B.汽车通过最高点时对环形车道的压力为1.4×104 N
C.汽车在环形车道上的角速度为1 rad/s
D.若要挑战成功，汽车在最高点的速率至少为10 m/s
解析：选B。汽车通过最低点时，加速度方向竖直向上，特技演员处于超重状态，A错误；汽车在最高点，根据牛顿第二定律得FN＋mg＝m，解得FN＝m－mg＝1.4×104 N，B正确；汽车在环形车道上的角速度ω＝＝ rad/s＝2 rad/s，C错误；要想通过最高点，临界情况是环形车道对汽车的弹力为零，根据牛顿第二定律得mg＝m，解得v'＝＝ m/s＝2 m/s，即汽车在最高点的速率至少为2 m/s，D错误。
角度突破
模型 最高点无支撑
方程 mg＋FT＝m
分析 由mg＝可得v＝
破题路径
能力要语
解题核心在于对特定位置进行受力分析，列出牛顿第二定律方程，并熟练掌握最高点仅由重力提供向心力的临界条件。
教学札记：
竖直面内圆周运动的临界问题(杆模型)
【例3】 如图所示，长L＝0.4 m、质量可忽略的硬杆，其一端固定于O点，另一端连有质量m＝1 kg的小球，它绕O点做竖直平面内的圆周运动，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)小球能通过最高点的最小速度；
(2)若小球通过最高点时，杆对小球的作用力为零，小球在最高点时速度大小；
(3)若小球以速度v＝3 m/s通过最高点，杆对小球的作用力的大小和方向。
解析：(1)小球通过最高点时，如果杆的弹力与小球的重力刚好平衡，则此时小球的速度最小，为0。
(2)若小球通过最高点时，杆对小球的作用力为零，则有mg＝
解得小球在最高点时速度大小为v1＝2 m/s。
(3)若小球以速度v＝3 m/s通过最高点，根据牛顿第二定律可得
mg＋F＝
代入数据解得F＝12.5 N
可知杆对小球的作用力大小为12.5 N，方向竖直向下。
答案：(1)0　(2)2 m/s　(3)12.5 N，方向竖直向下
【变式训练3】 如图所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是(　　)
A.若v0＝0，则小球对管内壁无压力
B.若v0＝，则小球对管内上壁有压力
C.若v0＝，则小球对管内下壁没有压力
D.不论v0多大，小球对管内壁都有压力
解析：选C。若v0＝0，可得小球所受的支持力FN＝mg，根据牛顿第三定律可知，小球对管内下壁有竖直向下的压力，A错误；设小球在最高点时管内壁对小球没有力的作用，则有mg＝m，解得v0＝，D错误；由上述分析可知，v0＞时，小球仅对管内上壁有压力，v0＜时，小球仅对管内下壁有压力，故B错误，C正确。
角度突破
模型 最高点有支撑
方程 mg±FN＝m
分析 小球恰能做圆周运动的临界速度v临＝0
能力要语
解题核心在于理解杆的弹力具有双向性。在最高点，根据牛顿第二定律列方程，弹力大小和方向(支持力或拉力)由该点速度决定，且最小速度可为零。
教学札记：
斜面内圆周运动的临界问题
【例4】 如图所示，倾角为30°的倾斜圆盘绕垂直盘面的轴以角速度ω匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的小物体(可视为质点)随圆盘一起转动。PQ、MN是小物体轨迹圆互相垂直的两条直径，P、Q、M、N是圆周上的四个点，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，则(　　)
A.小物体所受静摩擦力最大值为mω2r＋mg
B.小物体在P点最容易发生滑动
C.在最高点P处，小物体所受静摩擦力一定指向圆心
D.在M处，小物体所受静摩擦力大小为mω2r
角度突破
模型
分析 物块在最高点，所受摩擦力可能向上，可能向下，也可能为0； 物块在最低点所受摩擦力一定向上。
【例4】 解析：选A。物体在P点受重力、静摩擦力以及支持力，沿斜面方向的合力提供向心力，所以摩擦力可能背离圆心，也可能指向圆心，当摩擦力背离圆心时有mgsin 30°－f＝mω2r，解得f＝mg－mω2r，当摩擦力指向圆心时有mgsin 30°＋f＝mω2r，解得f＝mω2r－mg，物体在Q点时合力提供向心力，所以摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律有f－mgsin 30°＝mω2r，解得f＝mω2r＋mg，所以小物体所受静摩擦力最大值为mω2r＋mg，即小物体在Q点最容易发生滑动，A正确，B、C错误；小物体在M点所受的合力提供向心力，有f2＝(mω2r)2＋(mgsin 30°)2，解得f＝m ，D错误。
[思维进阶(四)]　水平圆　竖直圆　倾斜圆问题
(选择题每题5分，非选择题每题10分，建议用时：40分钟)
1.(生产生活融通题)游乐园里有一种叫“魔幻大转盘”的游戏项目，如图所示。质量相等的a、b两个小孩手拉手沿半径方向站在水平转盘上，两小孩与转盘间的动摩擦因数相同，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，且小孩a、b与转盘中心在同一条水平直线上。当圆盘转动到两小孩刚好还未发生滑动时，他们松开手，之后两小孩的运动情况是(　　)
A.两小孩仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动
B.小孩b仍随圆盘一起做匀速圆周运动
C.两小孩均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
D.小孩a仍随圆盘一起做匀速圆周运动
解析：选D。两小孩刚好还未滑动时，与转盘之间的摩擦力均达到了最大静摩擦力fm，设手上拉力为T，对a，fm－T＝mω2Ra，对b，T＋fm＝mω2Rb，突然撤去拉力T，a的最大静摩擦力大于所需要的向心力，所以a仍随圆盘一起做匀速圆周运动，b的最大静摩擦力不足以提供向心力，b之后会做离心运动，A、B、C错误，D正确。
2.相同的物块A、B叠放在一起，在水平转台上随圆盘一起做匀速圆周运动且和圆盘保持相对静止，则(　　)
A.B所需的向心力比A大
B.图中A对B的摩擦力是向左的
C.两物块所受的合力等大反向
D.圆盘对B的摩擦力大小是A对B摩擦力大小的2倍
解析：选D。由向心力公式F＝mω2r可知，相同的物块A、B叠放在一起做圆周运动，故向心力相同，A错误；图中A做圆周运动的向心力是B对其向左的摩擦力提供的，所以A对B的摩擦力是向右的，B错误；两物块所受的合力提供向心力，而A、B的向心力相同，C错误；物块A所受摩擦力为fBA＝mω2r，物块B所受圆盘提供的摩擦力和A对B的摩擦力的合力提供向心力f'－fAB＝mω2r，fAB与fBA等大，所以f'＝2mω2r＝2fAB，D正确。
3.如图所示，长为L的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，C为最高点，重力加速度为g，则小球(　　)
A.在A、B两点的速度相同
B.经过C点的最小速度为
C.在D点所受杆的作用力方向竖直向上
D.在A点所受杆的作用力方向水平向右
解析：选C。在A、B两点的速度大小相同，但是方向相反，A错误；经过C点时轻杆能对小球提供支撑力，则经过C点的最小速度为零，B错误；在D点时杆对球向上的拉力和小球向下重力的合力提供向心力，可知此位置时小球所受杆的作用力方向竖直向上，C正确；在A点球水平方向受杆的向右的拉力，竖直方向球受到向上的弹力，则此时球所受杆的作用力方向斜向右上方，D错误。
4.如图所示，在倾角为α＝53°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8 m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，斜面固定在地面，取g＝10 m/s2，小球在A点最小速度为(　　)
A. m/s B. m/s
C. m/s D.2 m/s
解析：选B。小球在A点速度最小时，小球所受重力沿斜面向下的分力提供向心力，则mgsin 53°＝m，解得v＝＝ m/s，B正确。
5.一根轻杆穿过两个固定轴承，可自由转动，相距为l的A、B两点固定两根长度也为l的轻绳，轻绳下端固定一个质量为m的小球，如图所示。现对小球施加一个始终与速度方向共线的力，使小球在竖直平面内做匀速圆周运动，在最高点时，绳子的拉力刚好为零，下列说法正确的是(　　)
A.小球的速度大小为
B.在最低点时，左侧轴承对轻杆的支持力为(1＋)mg
C.在最低点时，绳的拉力为mg
D.若速度加倍，在最低点时绳子的拉力变为原来的四倍
解析：选C。小球做圆周运动的半径为r＝lsin 60°＝l，在最高点时，绳子的拉力刚好为零，则mg＝m，解得小球的速度大小为v＝＝ ，A错误；在最低点时F－mg＝m，可得F＝2mg，则左侧轴承对轻杆的支持力为F1＝F＝mg，B错误；在最低点时2Tcos 30°＝F，解得绳的拉力为T＝mg，C正确；根据F'＝mg＋m可知，若速度加倍，在最低点时绳子的拉力不能变为原来的四倍，D错误。
6.(2025·镇江检测)如图所示，半径为r的圆筒绕竖直中心轴OO'匀速转动，质量为m的小物块A靠在圆筒的内壁上，质量为m的小物块B和质量为的小物块C分别放在筒底距中心轴、处，三个小物块均与圆筒保持相对静止。若三个小物块与圆筒接触面的动摩擦因数均为μ，则μ的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A。对圆筒底部小物块有f＝mRω2，N＝mg，当静摩擦力取最大值时，有f＝μN，联立解得ω＝ ，因为RB＞RC，可知转速增大时，B将先滑动。对小物块B有ω＝，对小物块A受力分析，有N'＝mω2r，f'＝mg，当静摩擦力取最大值时，有f'＝μN'，联立解得μ＝，所以联立可得μ的最小值为μ＝，A正确。
7.如图甲所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在水平地面上，轻质细绳一端固定在斜面上的O点，另一端连接一小球，使小球在斜面上以O为圆心做完整的圆周运动，小球运动到最高点时受到绳的拉力大小为F，速度大小为v，其F-v2图像如图乙所示。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A.小球的质量为
B.轻绳的长度为
C.当F等于小球重力时，小球的加速度大小为g
D.当F等于小球重力时，v＝
解析：选D。在最高点根据牛顿第二定律有F＋mgsin θ＝m，上式可变式为F＝v2－mgsin θ，图像的斜率＝，可得m＝，将F＝0，v2＝b带入可得L＝，A、B错误；当F等于小球重力时，小球的加速度大小为a＝＝g，C错误；当F等于小球重力时，有mg＋mgsin θ＝m，联立上述分析可得v＝，D正确。
8.如图所示，水平转台上的小物体A、B通过轻弹簧连接，并随转台一起匀速转动，A、B的质量分别为m、2m，离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长为1.5r，劲度系数为k，A、B与转台间的动摩擦因数都为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且有kr＝2μmg。则以下说法中正确的是(　　)
A.当B受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为
B.当A受到的摩擦力为0时，转台转动的角速度为2
C.当转台转速逐渐增大时，A先发生滑动，即将滑动时转台转动的角速度为
D.当转台转速逐渐增大时，A、B同时开始滑动，此时转台转动的角速度为
解析：选D。弹簧的弹力为F＝kx＝kr＝2μmg，则当B受到的摩擦力为0时，F＝kr＝2μmg＝2mr，解得转台转动的角速度为ω1＝ ，A错误；当A受到的摩擦力为0时，F＝kr＝m·r，转台转动的角速度为ω2＝ ，B错误；当A达到最大静摩擦力时，有F＋μmg＝m·1.5r，解得ωm1＝＝ ，当B达到最大静摩擦力时，则F＋μ·2mg＝2mr，可得ωm2＝＝ ＝ωm1，可知当转台转速逐渐增大时，A、B同时开始滑动，此时转台转动的角速度为 ，C错误，D正确。
9.如图所示为水平转台的俯视图，转台上放有两个小物块A、B，A物块的质量为m，B物块的质量为2m，两物块到圆心的距离满足rB＝2rA，A、B间用沿直径方向的细线相连，A、B与转台之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当转台以不同的角速度ω匀速转动时，两物块均未滑动，则A与转台间的摩擦力fA与ω2的关系图像可能为(　　)
解析：选D。当转动的角速度很小时，细线上没有拉力，对于A物块有fA＝mω2rA，对于B物块有fB＝2mω2rB＝4mω2rA。当B物块的摩擦力达到最大静摩擦时，细线上开始有拉力，此时有μ×2mg＝4mω2rA，则A的摩擦力大小为fA＝μmg，此后细线有拉力，对于A物块有T＋fA＝mω2rA，对于B物块有μ×2mg＋T＝4mω2rA，联立以上的两个式子可知fA＝2μmg－3mω2rA，可知后半段图像斜率较大，D正确。
10.如图甲所示，倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为m的小球相连，另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔O的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0，此后传感器记录细线拉力T的大小随细线扫过角度α的变化图像如图乙所示，图中F0已知，小球到O点距离为l，重力加速度为g，则下列说法不正确的是(　　)
A.小球位于初始位置时的加速度为
B.小球通过最高点时速度为
C.小球通过最高点时速度为v0
D.小球通过最低点时速度为 v0
解析：选A。位于初始位置时的向心加速度大小为a1＝，沿斜面向下的加速度大小为a2＝gsin θ，根据平行四边形定则知，小球位于初始位置时的加速度大于，A错误；由图乙可知，小球通过最高点时细线的拉力最小，为零，则有mgsin θ＝m，解得小球通过最高点时的速度v1＝，B正确；小球在初始位置时，有F0＝m，则小球通过最高点时的速度v1＝＝v0，C正确；小球通过最低点时，细线的拉力最大，根据牛顿第二定律有2F0－mgsin θ＝m，联立解得小球通过最低点的速度为v2＝v0，D正确。(共51张PPT)
高三一轮总复习高效讲义
物 理
01
第四章
曲线运动
思维进阶四　水平圆　竖直圆　倾斜圆问题
角度突破
思维链
角度突破
破题路径
能力要语
角度突破
能力要语
角度突破
思维进阶四　
水平圆　竖直圆　倾斜圆问题
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