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8．3　实数及其简单运算
第1课时　无理数、实数与数轴
1．无限 小数叫作无理数．
2．实数的概念及分类
有理数和 统称为实数．
实数的分类：
3．每一个实数都可以用数轴上的 个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示 个实数，即实数和数轴上的点是 ．因此，数轴正好可以被实数“填满”．
考点1?　实数的分类
【典例1】把下列各数填入相应的集合内：
0，，，0.，－π，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，－49.
(1)有理数集合：{0，，0.，－，－49，…}；
(2)无理数集合：{，－π，1.234 56…，…}；
(3)正实数集合：{，，0.，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，…}；
(4)负实数集合：{－π，－49，…}．
将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．
【变式训练】
1．把下列各数分别填入相应的集合里：
－2.4，3，－，1，－0.，0，，－(－2.28)，3.14，－|－4|，0.141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1).
正有理数集合：{ 　…}．
负分数集合：{　 …}．
无理数集合：{　 …}．
考点2?　实数与数轴
【典例2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A左侧)，且AD＝AE，则点E所表示的数为 .
本题主要考查了实数与数轴，理解数轴上的点表示的数与哪些线段长度有关是解题的关键．
【变式训练】
2．如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是 ．
知识点1?　实数的有关概念及分类
1．(海南海口美兰区校级月考)在3.14，，－，，π，2.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0)中，无理数有( )
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(海南三亚二模)写出一个大于3且小于4的无理数 ．
3．将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①－|－2.5|，②0，③－(－5)2，④＋，⑤1.212 112 111 2…(每两个2之间依次多1个1)，⑥－，⑦－π.
正数集合：{ …}
整数集合：{ …}
负分数集合：{ …}
无理数集合：{ …}
知识点2?　实数与数轴上的点及实数的大小比较4.(海南万宁月考)如图，一条数轴被污迹覆盖了一部分，被污迹覆盖的数可能为( )
A．－π B．
C． D．
5．(海南琼海校级二模)请你写出一个大于1，且小于3的无理数是 ．
6．一个正方形的面积是10，它的边长a表示的点落在如图所示数轴的段 (填序号)上．
易错易混点一　错认为无限小数是无理数
7．下列说法中，正确的是( )
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
易错易混点二　错认为类似是有理数
8．下列各数：，－3.14，0，，，，，其中是有理数的数有 ．
9．手机通用的信号强度单位是dBm(分贝毫瓦)，通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是( )
A．－π B．－
C．－ D．－
10．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是( )
A．2 B． C．± D．
11．估计与的大小关系是 (填“>”“＝”或“<”).
【母题P53思考】以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？
【变式】　如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O.该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为 .
12．(数学运算)先阅读下面的文字，再回答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a＋b－的值；
(2)已知10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的相反数．
第2课时　实数的性质与运算
1．实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
(1)相反数：实数a的相反数是 ，0的相反数是 .
(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它 ，一个负实数的绝对值是它的 ，0的绝对值是 ．
(3)倒数：乘积为 的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝ ；反之，若ab＝ ，则a与b互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．
2．实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，而且有理数的运算法则和运算律等在实数范围内仍然 .
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序 ，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的．同级运算按照从左到右的顺序进行.
3．实数的大小比较
①数轴上两点对应的两个实数，右边的数总比左边的数 ；②正实数 0，负实数 0，正实数 一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而 ．
考点1?　相反数、绝对值和倒数的识别
【典例1】下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A．－3与 B．－3与
C．3与－ D．|－3|与3
此题主要考查绝对值的性质、相反数的定义，正确化简各数是解题关键．
【变式训练】
1．(湖北黄冈浠水县校级二模)下列各组数中，互为相反数的一组是( )
A.|3|和|－3| B．和－
C．和 D．52和(－5)2
考点2?　实数的运算
【典例2】计算：－22＋|1－|＋(－1)2 024－.
在进行实数的运算时首先要理清运算顺序，然后有顺序地分别进行计算，在计算过程中要关注基本的运算算理和计算技巧的使用，并要注意易错点，如在进行乘法计算时要先看清底数有没有括号等．
【变式训练】
2．(海南琼海期中)计算：
(1)(－2)3＋|1－|－；
(2)2(－3)＋＋3.
知识点1?　实数的性质
1．实数－2的绝对值是( )
A.－2 B．2－
C．－－2 D．＋2
2．下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是( )
相反数 倒数 绝对值 平方根
2 ①－2 ② ③2 ④
A.① B．② C．③ D．④
3．已知正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，与互为相反数．求a＋2b的算术平方根．
知识点2?　实数的简单运算
4．计算－的结果是( )
A．0 B．16 C．12 D．4
5．(河北邯郸校级四模)若取1.442，计算－3－98的结果是( )
A．－100 B．－144.2
C．144.2 D．－0.014 42
6．(1)一个数的立方根是4，求这个数的算术平方根；
(2)计算：3－|－|＋5.
(2)原式＝3－＋＋5＝2＋6.
易错易混点　错认为无理数的和为无理数
7．下列说法正确的有( )
①带根号的数都是无理数；
②立方根等于本身的数是0和1；
③－a一定没有平方根；
④实数与数轴上的点是一一对应的；
⑤两个无理数的和还是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是( )
填空： ①－1的倒数是 ；(　) ② 的平方根，立方根都等于它本身；(　) ③＝ ；(　) ④|1－|＝ ；(　) ⑤＝ ；(　)
A.2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．在正实数范围内定义一种运算“ ”：当x≥y时，x y＝－；当x10．(黑龙江绥化海伦市开学)3是x的平方根，y是8的立方根，z是绝对值为9的数，求x＋y－z的值．
11．(重庆合川区期末)计算：
(1)×[(－2)2＋1]＋＋×；
(2)＋＋－5＋|7－5|.
【母题P57T4】计算(结果保留小数点后两位)：(1)π－；(2)3－.
【变式】　(海南期末)计算：
(1)(－2)2－＋＋|－3|；
(2)3－(2－)＋2.
12．(数学运算)(1)如果a，b互为相反数(a，b均不为0)，c，d互为倒数，|m|＝4，则＝ ，求－cd＋×m的值；
(2)若实数a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a第1课时　无理数、实数与数轴
1．无限不循环小数叫作无理数．
2．实数的概念及分类
有理数和无理数统称为实数．
实数的分类：
3．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数“填满”．
考点1?　实数的分类
【典例1】把下列各数填入相应的集合内：
0，，，0.，－π，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，－49.
(1)有理数集合：{0，，0.，－，－49，…}；
(2)无理数集合：{，－π，1.234 56…，…}；
(3)正实数集合：{，，0.，－，1.234 56…(后一个数比前一个数依次多1)，…}；
(4)负实数集合：{－π，－49，…}．
解析：解答本题时要注意以下几点：(1)对于－，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数也不是负数；(3)一切分数都是有理数．
将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．
【变式训练】
1．把下列各数分别填入相应的集合里：
－2.4，3，－，1，－0.，0，，－(－2.28)，3.14，－|－4|，0.141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1).
正有理数集合：{ 　…}．
负分数集合：{　 …}．
无理数集合：{　 …}．
－(－2.28)＝2.28，－|－4|＝－4，
正有理数集合：{3，1，－(－2.28)，3.14，…}；
负分数集合：{－2.4，－，－0.，…}；
无理数集合：{，0.141 041 004…(相邻两个1，4之间的0的个数逐次加1)，…}．
考点2?　实数与数轴
【典例2】数轴是一个非常重要的数学工具，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图所示，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上(点E在点A左侧)，且AD＝AE，则点E所表示的数为1－.
解析：∵正方形的面积为5，∴AD＝.
∵AD＝AE，∴AE＝.
∵A表示的数为1，且点E在点A左侧，
∴点E所表示的数为1－.
本题主要考查了实数与数轴，理解数轴上的点表示的数与哪些线段长度有关是解题的关键．
【变式训练】
2．如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是2－．
∵以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，∴AC＝AB.
∵A，B两点表示的数分别为1，，
∴AB＝－1，∴AC＝－1，
∴点C表示的数是1－(－1)＝2－.
知识点1?　实数的有关概念及分类
1．(海南海口美兰区校级月考)在3.14，，－，，π，2.101 001 000 1…(每两个1之间依次多1个0)中，无理数有(C)
A.1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(海南三亚二模)写出一个大于3且小于4的无理数π(答案不唯一)．
3．将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①－|－2.5|，②0，③－(－5)2，④＋，⑤1.212 112 111 2…(每两个2之间依次多1个1)，⑥－，⑦－π.
正数集合：{③④⑤…}
整数集合：{②③…}
负分数集合：{①⑥…}
无理数集合：{⑤⑦…}
－|－2.5|＝－2.5，－(－52)＝25，＋＝.
正数集合：{③④⑤…}
整数集合：{②③…}
负分数集合：{①⑥…}
无理数集合：{⑤⑦…}．
故答案为：③④⑤；②③；①⑥；⑤⑦.
知识点2?　实数与数轴上的点及实数的大小比较4.(海南万宁月考)如图，一条数轴被污迹覆盖了一部分，被污迹覆盖的数可能为(C)
A．－π B．
C． D．
5．(海南琼海校级二模)请你写出一个大于1，且小于3的无理数是(答案不唯一)．
6．一个正方形的面积是10，它的边长a表示的点落在如图所示数轴的段④(填序号)上．
易错易混点一　错认为无限小数是无理数
7．下列说法中，正确的是(C)
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
易错易混点二　错认为类似是有理数
8．下列各数：，－3.14，0，，，，，其中是有理数的数有－3.14，0，，．
9．手机通用的信号强度单位是dBm(分贝毫瓦)，通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是(D)
A．－π B．－
C．－ D．－
10．有一个数值转换器，流程如图：当输入的x值为64时，输出的y值是(B)
A．2 B． C．± D．
11．估计与的大小关系是<(填“>”“＝”或“<”).
【母题P53思考】以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少？
点O′对应的数为π.
【变式】　如图，在数轴上竖直摆放一个直径为4个单位长度的半圆，A是半圆的中点，半圆直径的一个端点位于原点O.该半圆沿数轴从原点O开始向右无滑动滚动，当点A第一次落在数轴上时，此时点A表示的数为4＋π.
12．(数学运算)先阅读下面的文字，再回答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：因为＜＜，即2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
(1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a＋b－的值；
(2)已知10＋＝x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x－y的相反数．
(1)∵4＜5＜9，∴2＜＜3，
∴的小数部分a＝－2.
∵9＜13＜16，∴3＜＜4，
∴的整数部分b＝3，
∴a＋b－＝－2＋3－＝1；
(2)∵1＜3＜4，∴1＜＜2，
∴的整数部分是1，小数部分是－1.
∴x＋y＝10＋＝10＋1＋(－1)＝11＋(－1)＝x＋y.
又∵x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝－1.
∴x－y＝11－(－1)＝12－.
∴x－y的相反数为－12.
第2课时　实数的性质与运算
1．实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．
(1)相反数：实数a的相反数是－a，0的相反数是0.
(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．
2．实数的运算
当数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运算，而且有理数的运算法则和运算律等在实数范围内仍然成立.
实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的．同级运算按照从左到右的顺序进行.
3．实数的大小比较
①数轴上两点对应的两个实数，右边的数总比左边的数大；②正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小．
考点1?　相反数、绝对值和倒数的识别
【典例1】下列各组数中，互为相反数的一组是(A)
A．－3与 B．－3与
C．3与－ D．|－3|与3
解析：A.－3与＝3，两数是互为相反数，故此选项符合题意；B.－3与＝－3，两数相等，故此选项不合题意；C.3与－，两数不是互为相反数，故此选项不合题意；D.|－3|＝3与3，两数相等，故此选项不合题意．
此题主要考查绝对值的性质、相反数的定义，正确化简各数是解题关键．
【变式训练】
1．(湖北黄冈浠水县校级二模)下列各组数中，互为相反数的一组是(B)
A.|3|和|－3| B．和－
C．和 D．52和(－5)2
考点2?　实数的运算
【典例2】计算：－22＋|1－|＋(－1)2 024－.
解：－22＋|1－|＋(－1)2 024－
＝－4＋－1＋1－(－2)
＝－4＋－1＋1＋2
＝－2.
在进行实数的运算时首先要理清运算顺序，然后有顺序地分别进行计算，在计算过程中要关注基本的运算算理和计算技巧的使用，并要注意易错点，如在进行乘法计算时要先看清底数有没有括号等．
【变式训练】
2．(海南琼海期中)计算：
(1)(－2)3＋|1－|－；
(2)2(－3)＋＋3.
(1)原式＝－8＋－1－5＝－14；
(2)原式＝2－6＋6＋3＝5.
知识点1?　实数的性质
1．实数－2的绝对值是(B)
A.－2 B．2－
C．－－2 D．＋2
2．下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是(D)
相反数 倒数 绝对值 平方根
2 ①－2 ② ③2 ④
A.① B．② C．③ D．④
3．已知正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，与互为相反数．求a＋2b的算术平方根．
∵正数a的两个平方根分别是2x－3和1－x，∴2x－3＋1－x＝0，∴x＝2，∴a＝(1－x)2＝(1－2)2＝1.∵与互为相反数，∴1－2b＋(3b－5)＝0，∴b＝4，∴a＋2b＝1＋2×4＝9，∴a＋2b的算术平方根是3.
知识点2?　实数的简单运算
4．计算－的结果是(D)
A．0 B．16 C．12 D．4
5．(河北邯郸校级四模)若取1.442，计算－3－98的结果是(B)
A．－100 B．－144.2
C．144.2 D．－0.014 42
6．(1)一个数的立方根是4，求这个数的算术平方根；
(2)计算：3－|－|＋5.
(1)∵一个数的立方根是4，∴这个数是43＝64，
∴这个数的算术平方根为＝8；
(2)原式＝3－＋＋5＝2＋6.
易错易混点　错认为无理数的和为无理数
7．下列说法正确的有(A)
①带根号的数都是无理数；
②立方根等于本身的数是0和1；
③－a一定没有平方根；
④实数与数轴上的点是一一对应的；
⑤两个无理数的和还是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．图中的内容是某同学完成的作业，嘉琪帮他做了批改，嘉琪批改正确的题数是(C)
填空： ①－1的倒数是1；(×) ②1的平方根，立方根都等于它本身；(√) ③＝9；(×) ④|1－|＝－1；(√) ⑤＝－；(√)
A.2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．在正实数范围内定义一种运算“ ”：当x≥y时，x y＝－；当x10．(黑龙江绥化海伦市开学)3是x的平方根，y是8的立方根，z是绝对值为9的数，求x＋y－z的值．
由题意，可知x＝9，y＝2，z＝±9.
当z＝9时，x＋y－z＝9＋2－9＝2.
当z＝－9时，x＋y－z＝9＋2＋9＝20.
11．(重庆合川区期末)计算：
(1)×[(－2)2＋1]＋＋×；
(2)＋＋－5＋|7－5|.
(1)×[(－2)2＋1]＋＋×
＝×(4＋1)－3＋×
＝×5－3＋×
＝8－3＋3＝8；
(2)＋＋－5＋|7－5|
＝4＋3＋2－5＋5－7＝2.
【母题P57T4】计算(结果保留小数点后两位)：(1)π－；(2)3－.
(1)π－≈3.142－3.162＝－0.02；
(2)3－≈3×1.414－1.260≈2.98.
【变式】　(海南期末)计算：
(1)(－2)2－＋＋|－3|；
(2)3－(2－)＋2.
(1)原式＝4－4＋2＋3＝5；
(2)原式＝3－2＋＋2
＝(3＋1)
＝4.
12．(数学运算)(1)如果a，b互为相反数(a，b均不为0)，c，d互为倒数，|m|＝4，则＝－1，求－cd＋×m的值；
(2)若实数a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a(1)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，|m|＝4，
即m＝±4，∴＝－1，
当m＝4时，原式＝－1＋(－1)×4＝－5；
当m＝－4时，原式＝－1＋(－1)×(－4)＝3；
综上所述，原式的值是－5或3.
(2)∵|a|＝3，|b|＝5，∴a＝±3，b＝±5.
∵a当a＝3，b＝5时，a＋b＝3＋×5＝；
当a＝－3，b＝5时，a＋b＝－3＋×5＝－，
综上所述，a＋b的值是或－.

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