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浙教版数学八年级下学期期末模拟试卷（一）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．二次根式 中x的取值范围是(　　)
A．x≥1 B．x>1 C．x>0 D．任意实数
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 有意义的条件是，
，
因此，x的取值范围是．
故选：A．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：，是一元二次方程，符合题意；
B：，不是一元二次方程，不符合题意；
C：，当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D：，不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明若，则”时，应先假设．
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，据此可求解.
5．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标.如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（　　)
A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是2180ml
B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是3550ml
C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大
D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高
【答案】C
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A选项：从箱线图中可以清晰看到，七年级箱子的下边界（即第一四分位数/Q1）对应纵坐标2180ml，故A选项正确；
B选项：从箱线图中可以清晰看到，八年级箱子的上边界（即第三四分位数/Q3）对应纵坐标3550ml，故B选项正确；
C选项：七年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2900ml，八年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2950ml，2900ml < 2950ml，即七年级中位数小于八年级中位数，故C选项错误；
D选项：最小值：七年级1500ml < 八年级1780ml，下四分位数：七年级2180ml < 八年级2400ml，中位数：七年级2900ml < 八年级2950ml，上四分位数：七年级3250ml < 八年级3550ml，最大值：七年级3640ml < 八年级3940ml，所有五个关键统计量八年级都高于七年级，说明整体肺活量水平确实提高了，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】 这道题考查的是对箱线图统计量的理解和判断。箱线图显示了数据的五个关键统计量：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。需要逐一验证每个选项的说法是否正确。
7．用配方法解方程时，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为：
第一步进行移项处理：
第二步配方，等式两边同时加上9（即一次项系数一半的平方）：
整理后得到完全平方式：
故选：A．
【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，解题关键在于：熟练运用完全平方公式，掌握等式的基本性质，正确进行配方操作（加一次项系数一半的平方）
8．对于四边形的以下说法：其中正确的个数有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立；
②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，属于矩形的判定定理，成立；
③两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，属于菱形的判定定理，成立；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形．不成立．
故题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定，是正确的，④只能判定是菱形而不具备矩形的条件．
故选C．
【分析】
①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故结论正确；
②先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线相等可得平行四边形是矩形，故结论正确；
③先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线垂直可得平行四边形是菱形，故结论正确；
④由中位线定理可知四边形的四条边相等可得该四边形是菱形，故结论错误．
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，若∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝2；③S四边形ABCD＝AB AC；④OE＝AD；⑤S△BOE＝．其中正确的个数有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝2，
故②正确；
∵∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，
故③正确；
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，
故④正确；
⑤∵BE＝EC＝2，
∴S△BOE＝S△EOC＝OE OC＝，
故⑤正确；
故选：D．
【分析】
①利用平行四边形对边平行、对角相等的性质，再结合角平分线的定义，进而推导角度关系即可；
②利用三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，再根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；
③根据题意和平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤由三角形中线的性质和三角形的面积公式可得：S△BOE＝S△EOC＝OE OC＝．
10．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
由勾股定理得对角线。
因为矩形对角线相等且互相平分，
所以OB=OC=AC=5，△BOC的面积为矩形面积的四分之一，即。
连接OE，△BOC的面积可拆分为S△BOE+ S△COE，
即。
代入OB= OC=5，S△BOC=12，
得，
化简得，
解得。
故答案为：A .
【分析】利用矩形性质求出对角线长度与△BOC的面积，再将EF+EG转化为点E到两对角线的距离和，通过面积分割法列方程求解。
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：　 　．
【答案】＞
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先将3写成开方根形式，再根据两个负数绝对值大的反而小进行比较即可．
12．一个凸n边形的内角中恰好有4个钝角，则n的最大值是　 　.
【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为凸n边形的内角中，恰有四个钝角，即外角中有四个锐角，这四个角最小，
另外的外角接近直角时n的值最大，360÷90=4，
则：n=4+4-1=7，
n的最大值是7.
故答案为：7.
【分析】利用凸n边形的外角和是360度，内角与外角互为邻补角，即可解决问题.
13．如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，以点 O为顶点的正方形 OEGF的两边 OE，OF分别交正方形 ABCD的两边 AB，BC于点 M，N，记△AOM的面积为 S1， △CON的面积为 S2，若正方形 ABCD的边长 AB=10，S1=16，则 S2的大小为　 　.
【答案】9
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEGF均为正方形，
∴∠EOF=∠BOC=90°，BO=CO，∠MBO=∠NCO，
∴∠MOB=∠NOC，
∴△OBM≌△OCN，
∴S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，
∵S1=16，
∴S2=25-16=9，
故答案为：9.
【分析】先证出△OBM≌△OCN，可得S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，再结合S1=16，求出S2=25-16=9即可.
14．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯， 如果一共碰杯 55 次， 求参加酒会的人数． 若设参加酒会的有 人，则可列方程为　 　
【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设 参加酒会的有 人，则可列方程为，
故答案为：.
【分析】设 参加酒会的有 人，根据“ 每两人都只碰一次杯， 一共碰杯 55 次”即可得到关于x的一元二次方程.
15．某学校要从两位同学中选拔1人担任运动会志愿者，选拔项目为普通话、体育知识和旅游知识，两人的得分如下表所示.若将普通话、体育知识和旅游知识依次按4 ：3：3计分，则最终胜出的同学是　 　.
　 普通话 体育知识 旅游知识
小聪 80 90 72
小慧 90 80 70
【答案】小慧
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小聪的成绩是(80×4+90×3+72×3)÷(4+3+3)=80.6(分)，
小慧的成绩是(90×4+80×3+70×3)÷(4+3+3)=81(分).
因为81>80.6，
所以最终胜出的同学是小慧.
故答案为：小慧.
【分析】根据不同的权计算每个人的平均分，即可作出比较.
16．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．
【答案】或9
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，
∴AC==15，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE=∠B=90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，
∴EB=EF，AB=AF=9，
∴CF=15-9=6，
设BE=x，则EF=x，CE=12-x，
在Rt△CEF中，
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+62=（12-x）2，
解得x=，
∴BE=；
②当点F落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE=AB=9．
综上所述，BE的长为或9．
故答案为或9．
【分析】分情况讨论：①当点F落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得∠AFE=∠B=90°，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，则点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，根据边之间的关系可得CF，设BE=x，则EF=x，CE=12-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当点F落在AD边上时，此时ABEF为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E，F是的中点，，求证：．
【答案】证明：在中，P，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先由等角对等边可得PE＝PF，再由三角形的中位线定理证明AB＝2PF、CD＝2PE，再等量代换即可．
18．已知，矩形．
（1）若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）
（2）在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究）
【答案】（1）解：如图，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴点E即为所求；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：，
在中，根据勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，长为半径画弧交于点即可.
（2）根据矩形性质可得，根据边之间的关系可得AE，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则．
（1）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并同类二次根式可求出答案；
（2）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式可得：原式，再进行合并同类二次根式可求出答案；
（3）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式可得：原式，再利用二次根式乘法和除法运算法则进行计算可求出答案；
（4）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式可得：原式，再利用二次根式乘法和除法运算法则进行计算可求出答案；
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，，
，
即；
（2）解：
原方程可化为
得或
即．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：
，，
，
即；
（2）原方程可化为
得或
即．
21．艺术测评主要是为了掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学。某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】
10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据经统计分析，列表如下：
分组 方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差 平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度，它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为　 　
（2） m=　 　，n=　 　.
（3）【判断与决策】
为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，在方式一和方式二中选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由。
【答案】（1）36°
（2）85；90
（3）解：方式二利于开展小组学习。理由如下：
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，同学之间水平接近，更利于开展小组学习，能够促进同学间的互帮互助、共同进步(答案不唯一，合理即可)。
【知识点】统计表；中位数；众数；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：36° ；
（2）把第一组的数据排列后居于中间的一个数为85，故m=85；
第二组数据中90出现两次，次数最多，故m=90；
故答案为：85；90；
【分析】（1）根据100分的占比乘以360°解答即可；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）比较两种方式的组内离差平方和解答即可.
22．如图，，点E是的延长线上的一点，交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】
（1）通过角度的和差运算可得，再利用平行线的性质可得，等量代换得，再等量代换可得，再根据平行线的判定得，解答即可；
（2）利用平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理计算可得，从而推导出，再根据三角形的外角性质计算角度，解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
23． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件．
（1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率．
（2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
（2）解：设降价y元，
，
整理得，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴，
答：每件应降价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为，根据“1月份的销售量3月份销售量”列方程求出x的值解答即可；
（2）设售价降低元，根据“总利润单件利润销售量”列方程求出y的值解答即可．
24．如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形和矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形存在性问题的探究。
(1)根据平行四边形的性质得到，推出，结合和对顶角相等，证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形；
(2)结合平行四边形和全等三角形的性质得到，再根据，利用等腰三角形三线合一的性质得到，即，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形；
(3)先在中利用勾股定理求出的长度，进而得到，表示出，分点P与Q在直线同侧、异侧两种情况讨论，同侧时列方程求解，异侧时，结合勾股定理列方程求解，即可得到符合条件的值。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，
∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
1 / 1浙教版数学八年级下学期期末模拟试卷（一）
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．二次根式 中x的取值范围是(　　)
A．x≥1 B．x>1 C．x>0 D．任意实数
3．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．“证明：若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设（　　）
A． B． C． D．
5．在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
6．肺活量可以反映肺的容积和扩张能力，是一项能够衡量身体健康的重要指标.如图是某班在七、八年级参加国家学生体质健康测试时的肺活量箱线图，下列说法中错误的是（　　)
A．该班在七年级时的肺活量下四分位数是2180ml
B．该班在八年级时的肺活量上四分位数是3550ml
C．该班在七年级时的肺活量中位数比八年级时大
D．相比七年级，该班在八年级时的肺活量有所提高
7．用配方法解方程时，配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．对于四边形的以下说法：其中正确的个数有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；
③对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC，BD于点E，P，连接OE，若∠ADC＝60°，AB＝BC＝2，下列结论：①∠CAD＝30°；②BD＝2；③S四边形ABCD＝AB AC；④OE＝AD；⑤S△BOE＝．其中正确的个数有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
10．出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：　 　．
12．一个凸n边形的内角中恰好有4个钝角，则n的最大值是　 　.
13．如图，正方形 ABCD的对角线相交于点 O，以点 O为顶点的正方形 OEGF的两边 OE，OF分别交正方形 ABCD的两边 AB，BC于点 M，N，记△AOM的面积为 S1， △CON的面积为 S2，若正方形 ABCD的边长 AB=10，S1=16，则 S2的大小为　 　.
14．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯， 如果一共碰杯 55 次， 求参加酒会的人数． 若设参加酒会的有 人，则可列方程为　 　
15．某学校要从两位同学中选拔1人担任运动会志愿者，选拔项目为普通话、体育知识和旅游知识，两人的得分如下表所示.若将普通话、体育知识和旅游知识依次按4 ：3：3计分，则最终胜出的同学是　 　.
　 普通话 体育知识 旅游知识
小聪 80 90 72
小慧 90 80 70
16．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝12，AB＝9，E是BC上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E，F是的中点，，求证：．
18．已知，矩形．
（1）若点E为边上一点，且，请在图1中用尺规作图确定点E的位置，并将图形补充完整；（不写作法，保留作图痕迹，并将痕迹描粗加黑）
（2）在（1）的条件下，已知线段，线段，求的长．（请用图2进行探究）
19．计算与化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．解方程：
（1）；
（2）．
21．艺术测评主要是为了掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学。某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】
10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据经统计分析，列表如下：
分组 方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差 平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度，它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为　 　
（2） m=　 　，n=　 　.
（3）【判断与决策】
为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，在方式一和方式二中选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由。
22．如图，，点E是的延长线上的一点，交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
23． 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件．
（1）求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率．
（2）义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1200元，则每件应降价多少元？
24．如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C、此选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式 有意义的条件是，
，
因此，x的取值范围是．
故选：A．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数解答即可．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A：，是一元二次方程，符合题意；
B：，不是一元二次方程，不符合题意；
C：，当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D：，不是一元二次方程，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明若，则”时，应先假设．
故答案为：B．
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，据此可求解.
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式，不符合题意；
B：，是最简二次根式，符合题意；
C：，不是最简二次根式，不符合题意；
D：，不是最简二次根式，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A选项：从箱线图中可以清晰看到，七年级箱子的下边界（即第一四分位数/Q1）对应纵坐标2180ml，故A选项正确；
B选项：从箱线图中可以清晰看到，八年级箱子的上边界（即第三四分位数/Q3）对应纵坐标3550ml，故B选项正确；
C选项：七年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2900ml，八年级中位数：箱子中间的线对应纵坐标2950ml，2900ml < 2950ml，即七年级中位数小于八年级中位数，故C选项错误；
D选项：最小值：七年级1500ml < 八年级1780ml，下四分位数：七年级2180ml < 八年级2400ml，中位数：七年级2900ml < 八年级2950ml，上四分位数：七年级3250ml < 八年级3550ml，最大值：七年级3640ml < 八年级3940ml，所有五个关键统计量八年级都高于七年级，说明整体肺活量水平确实提高了，故D选项正确；
故答案为：C.
【分析】 这道题考查的是对箱线图统计量的理解和判断。箱线图显示了数据的五个关键统计量：最小值、第一四分位数（下四分位数）、中位数、第三四分位数（上四分位数）、最大值。需要逐一验证每个选项的说法是否正确。
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：原方程为：
第一步进行移项处理：
第二步配方，等式两边同时加上9（即一次项系数一半的平方）：
整理后得到完全平方式：
故选：A．
【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，解题关键在于：熟练运用完全平方公式，掌握等式的基本性质，正确进行配方操作（加一次项系数一半的平方）
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，属于平行四边形的判定定理，成立；
②两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形，属于矩形的判定定理，成立；
③两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，属于菱形的判定定理，成立；
④顺次连结对角线相等的四边形各边的中点所得到的四边形是菱形．不成立．
故题中①②③根据平行四边形、矩形、菱形的判定，是正确的，④只能判定是菱形而不具备矩形的条件．
故选C．
【分析】
①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故结论正确；
②先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线相等可得平行四边形是矩形，故结论正确；
③先由对角线互相平分可知四边形是平行四边形，再由对角线垂直可得平行四边形是菱形，故结论正确；
④由中位线定理可知四边形的四条边相等可得该四边形是菱形，故结论错误．
9．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE＝2，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE＝BE＝2，
∵BC＝4，
∴EC＝2，
∴AE＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACE＝30°，
故①正确；
②∵BE＝EC，OA＝OC，
∴OE＝AB＝1，OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，
Rt△EOC中，OC＝，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝120°，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACD＝90°，
Rt△OCD中，OD＝，
∴BD＝2OD＝2，
故②正确；
∵∠BAC＝90°，
∴S ABCD＝AB AC，
故③正确；
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AB，
∵AB＝BC，
∴OE＝BC＝AD，
故④正确；
⑤∵BE＝EC＝2，
∴S△BOE＝S△EOC＝OE OC＝，
故⑤正确；
故选：D．
【分析】
①利用平行四边形对边平行、对角相等的性质，再结合角平分线的定义，进而推导角度关系即可；
②利用三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，再根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；
③根据题意和平行四边形的面积公式可作判断；
④根据三角形中位线定理可作判断；
⑤由三角形中线的性质和三角形的面积公式可得：S△BOE＝S△EOC＝OE OC＝．
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，
由勾股定理得对角线。
因为矩形对角线相等且互相平分，
所以OB=OC=AC=5，△BOC的面积为矩形面积的四分之一，即。
连接OE，△BOC的面积可拆分为S△BOE+ S△COE，
即。
代入OB= OC=5，S△BOC=12，
得，
化简得，
解得。
故答案为：A .
【分析】利用矩形性质求出对角线长度与△BOC的面积，再将EF+EG转化为点E到两对角线的距离和，通过面积分割法列方程求解。
11．【答案】＞
【知识点】实数的大小比较；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先将3写成开方根形式，再根据两个负数绝对值大的反而小进行比较即可．
12．【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：因为凸n边形的内角中，恰有四个钝角，即外角中有四个锐角，这四个角最小，
另外的外角接近直角时n的值最大，360÷90=4，
则：n=4+4-1=7，
n的最大值是7.
故答案为：7.
【分析】利用凸n边形的外角和是360度，内角与外角互为邻补角，即可解决问题.
13．【答案】9
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD、四边形OEGF均为正方形，
∴∠EOF=∠BOC=90°，BO=CO，∠MBO=∠NCO，
∴∠MOB=∠NOC，
∴△OBM≌△OCN，
∴S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，
∵S1=16，
∴S2=25-16=9，
故答案为：9.
【分析】先证出△OBM≌△OCN，可得S1+S2=S△AOB=S正方形ABCD=25，再结合S1=16，求出S2=25-16=9即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设 参加酒会的有 人，则可列方程为，
故答案为：.
【分析】设 参加酒会的有 人，根据“ 每两人都只碰一次杯， 一共碰杯 55 次”即可得到关于x的一元二次方程.
15．【答案】小慧
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：小聪的成绩是(80×4+90×3+72×3)÷(4+3+3)=80.6(分)，
小慧的成绩是(90×4+80×3+70×3)÷(4+3+3)=81(分).
因为81>80.6，
所以最终胜出的同学是小慧.
故答案为：小慧.
【分析】根据不同的权计算每个人的平均分，即可作出比较.
16．【答案】或9
【知识点】勾股定理；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；分类讨论
【解析】【解答】解：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：
①当点F落在矩形内部时，如图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=9，BC=12，
∴AC==15，
∵∠B沿AE折叠，使点B落在点F处，
∴∠AFE=∠B=90°，
当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，如图，
∴EB=EF，AB=AF=9，
∴CF=15-9=6，
设BE=x，则EF=x，CE=12-x，
在Rt△CEF中，
∵EF2+CF2=CE2，
∴x2+62=（12-x）2，
解得x=，
∴BE=；
②当点F落在AD边上时，如图2所示．
此时ABEF为正方形，
∴BE=AB=9．
综上所述，BE的长为或9．
故答案为或9．
【分析】分情况讨论：①当点F落在矩形内部时，连结AC，根据勾股定理可得AC，根据折叠性质可得∠AFE=∠B=90°，当△CEF为直角三角形时，只能得到∠EFC=90°，则点A、F、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，根据边之间的关系可得CF，设BE=x，则EF=x，CE=12-x，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；②当点F落在AD边上时，此时ABEF为正方形，根据正方形性质即可求出答案.
17．【答案】证明：在中，P，F是的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理，
∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】先由等角对等边可得PE＝PF，再由三角形的中位线定理证明AB＝2PF、CD＝2PE，再等量代换即可．
18．【答案】（1）解：如图，以点B为圆心，长为半径画弧交于点E，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
∴点E即为所求；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知：，
在中，根据勾股定理得：
∴
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，长为半径画弧交于点即可.
（2）根据矩形性质可得，根据边之间的关系可得AE，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则．
（1）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并同类二次根式可求出答案；
（2）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式可得：原式，再进行合并同类二次根式可求出答案；
（3）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式可得：原式，再利用二次根式乘法和除法运算法则进行计算可求出答案；
（4）先利用二次根式的运算性质：将各二次根式化为最简二次根式可得：原式，再利用二次根式乘法和除法运算法则进行计算可求出答案；
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
20．【答案】（1）解：
，，
，
即；
（2）解：
原方程可化为
得或
即．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据公式法解方程即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
（1）解：
，，
，
即；
（2）原方程可化为
得或
即．
21．【答案】（1）36°
（2）85；90
（3）解：方式二利于开展小组学习。理由如下：
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，同学之间水平接近，更利于开展小组学习，能够促进同学间的互帮互助、共同进步(答案不唯一，合理即可)。
【知识点】统计表；中位数；众数；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：36° ；
（2）把第一组的数据排列后居于中间的一个数为85，故m=85；
第二组数据中90出现两次，次数最多，故m=90；
故答案为：85；90；
【分析】（1）根据100分的占比乘以360°解答即可；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）比较两种方式的组内离差平方和解答即可.
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】
（1）通过角度的和差运算可得，再利用平行线的性质可得，等量代换得，再等量代换可得，再根据平行线的判定得，解答即可；
（2）利用平行线的性质可得，再根据三角形内角和定理计算可得，从而推导出，再根据三角形的外角性质计算角度，解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴的度数为．
23．【答案】（1）解：设月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
（2）解：设降价y元，
，
整理得，
解得：，
∵尽快减少库存，
∴，
答：每件应降价5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设月平均增长率为，根据“1月份的销售量3月份销售量”列方程求出x的值解答即可；
（2）设售价降低元，根据“总利润单件利润销售量”列方程求出y的值解答即可．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形和矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及菱形存在性问题的探究。
(1)根据平行四边形的性质得到，推出，结合和对顶角相等，证明，得到，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，判定四边形为平行四边形；
(2)结合平行四边形和全等三角形的性质得到，再根据，利用等腰三角形三线合一的性质得到，即，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，判定四边形为矩形；
(3)先在中利用勾股定理求出的长度，进而得到，表示出，分点P与Q在直线同侧、异侧两种情况讨论，同侧时列方程求解，异侧时，结合勾股定理列方程求解，即可得到符合条件的值。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
（3）解：∵，，，
∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则，
，
∴，
解得；
如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形．
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